山东省临沂市兰山区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份山东省临沂市兰山区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣3＝0B．x2+x+3＝0C．x2﹣5x﹣3＝0D．x2﹣x+3＝0
3．（3分）若二次函数y＝（m﹣1）x2﹣mx+m2+2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．1或﹣3B．1C．﹣3D．﹣1或3
4．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
5．（3分）从长度分别为1，3，4，6的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．15
6．（3分）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
7．（3分）设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
8．（3分）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（−3，1）D．（﹣2，1）
9．（3分）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3πB．6πC．5πD．4π
10．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）已知，PA和PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝64°，则∠ACB的度数是（ ）
A．68°B．112°C．68°或112°D．122°或58°
12．（3分）已知a是方程x2﹣2022x+1＝0的一个根，则a2﹣2021a+2022a2+1的值为（ ）
A．12022B．2022C．2021D．无法计算
13．（3分）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．2：3：1D．3：1：2
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c＝0．其中，正确的结论有（ ）
A．②③④B．①③⑤C．②④⑤D．①③④
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞上来50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．一周后，再从鱼塘中打捞出100条鱼．如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，那么我们可以估计鱼塘中鱼的总条数为 ．
16．（3分）把抛物线y＝2x2+8x+5的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的图象的解析式是 ．
17．（3分）在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为 ．
18．（3分）圆锥的底面直径为40cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为 ．
19．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
三、解答题（本大题共6小题，共63分）
20．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x+2＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
21．（9分）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区规内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
22．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（2）求出（1）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号π）；
（3）在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请求出点P的坐标．
23．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（3）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，求图中阴影部分的面积．
25．（14分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+12与y轴交于点A，与x轴交于点E，点B（点E在左侧）．
（1）请写出这个二次函数的顶点坐标 ；
（2）请利用描点法，先填表，再在图（1）中画出这个二次函数的图象，并在图中标出点A，点B，点E的位置；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
参考答案
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中。
1．（3分）保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣3＝0B．x2+x+3＝0C．x2﹣5x﹣3＝0D．x2﹣x+3＝0
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【解答】解：x2﹣3（x+1）＝2x，
去括号，得x2﹣3x﹣3＝2x．
移项、合并同类项，得x2﹣5x﹣3＝0．
故选：C．
3．（3分）若二次函数y＝（m﹣1）x2﹣mx+m2+2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．1或﹣3B．1C．﹣3D．﹣1或3
【分析】将原点（0，0）代入解析式求得m的值，再根据二次函数的定义取舍可得答案．
【解答】解：根据题意，将点（0，0）代入解析式得：m2+2m﹣3＝0，
解得：m＝﹣3或m＝1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
则m＝﹣3，
故选：C．
4．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
【分析】利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，正确，是真命题，符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
5．（3分）从长度分别为1，3，4，6的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】画树状图，共有24种等可能的结果，三条线段能构成三角形的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，三条线段能构成三角形的结果有6种，
∴能构成三角形的概率为624=14，
故选：C．
6．（3分）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
【分析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
7．（3分）设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，C（2，y3）点离直线x＝1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
8．（3分）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（−3，1）D．（﹣2，1）
【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵AE⊥OB，
∴OE＝EB＝1，
∴AE=AO2−OE2=22−12=3，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，
∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A′OH＝∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H＝OE＝1，OH＝AE=3，
∴A′（−3，1），
故选：C．
9．（3分）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3πB．6πC．5πD．4π
【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积．即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积．
则阴影部分的面积是：60π×62360=6π
故选：B．
10．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题可先由一次函数y＝﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝x2+m的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选：D．
11．（3分）已知，PA和PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝64°，则∠ACB的度数是（ ）
A．68°B．112°C．68°或112°D．122°或58°
【分析】连接OA，OB，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBA＝90°，再根据四边形内角和定理得∠AOB＝116°，再根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵PA和PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBA＝90°，
∵∠P＝64°，
∴∠AOB＝116°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB=12∠AOB＝58°，
当点C'在劣弧AB上时，∠AC'B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣58°＝122°，
故选：D．
12．（3分）已知a是方程x2﹣2022x+1＝0的一个根，则a2﹣2021a+2022a2+1的值为（ ）
A．12022B．2022C．2021D．无法计算
【分析】由a是方程x2﹣2022x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2022x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2022a+1＝0，
即a2+1＝2022a，a2＝2022a﹣1，
则a2﹣2021a+2022a2+1=a﹣1+1a=a2+1a−1＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
13．（3分）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．2：3：1D．3：1：2
【分析】如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，利用等边三角形的性质得AH平分∠BAC，则可判断点O在AH上，所以OH＝r，连接OB，再证明OA＝OB＝2r，则AH＝3r，所以OH：OA：AH＝1：2：3．
【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点O在AH上，
∴OH＝r，
连接OB，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
故选：B．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c＝0．其中，正确的结论有（ ）
A．②③④B．①③⑤C．②④⑤D．①③④
【分析】①根据函数图象和x轴的交点个数与b2﹣4ac的关系进行判断；
②判断横坐标为﹣2的点的纵坐标的位置进行判断；
③根据点的对称性，由0＜x2＜1，确定x2的取值范围；
④由x＝﹣1时，函数取最小值为y＝a﹣b+c，得a﹣b+c≤am2+bm+c，进而判断；
⑤由x＝1时，y＝a+b+c＞0，与对称轴结合进行判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，当x＝0时的函数值小于﹣1，
∴x＝﹣2时的函数值和x＝0时的函数值相等，都小于﹣1，
∴4a﹣2b+c＜﹣1，故②错误；
∵该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1，
∴﹣3＜x，1＜﹣2，故③正确；
∵当x＝﹣1时，该函数取得最小值，
∴当m为任意实数时，则a﹣b+c≤am2+bm+c，即a﹣b≤am2+bm，故④正确；
∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴3a+c＞0，故⑤错误；
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞上来50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．一周后，再从鱼塘中打捞出100条鱼．如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，那么我们可以估计鱼塘中鱼的总条数为 1000 ．
【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵5100×100%＝5%，
∴50÷5%＝1000．
故答案为：1000．
16．（3分）把抛物线y＝2x2+8x+5的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的图象的解析式是 y＝2x2﹣6 ．
【分析】先利用配方法将已知函数表达式转化为顶点式，然后根据图象右移减，下移减，可得答案．
【解答】解：y＝2x2+8x+5＝2（x+2）2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式是y＝2（x+2﹣2）2﹣3﹣3，即y＝2x2﹣6．
故答案为：y＝2x2﹣6．
17．（3分）在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为 30°或150° ．
【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是60°，要计算它所对的圆周角，
应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是30°；
当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是150°．
【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，
∴先AB所对的圆心角＝60°，
①圆周角在优弧上时，圆周角＝30°，
②圆周角在劣弧上时，圆周角＝180°﹣30°＝150°．
∴圆周角的度数为30°或150°．
18．（3分）圆锥的底面直径为40cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为 80° ．
【分析】根据S=12LR求出扇形面积，根据S=nπr2360计算即可．
【解答】解：设它的侧面展开图的圆心角度数为n°，
∵圆锥的底面直径为40cm，母线长90cm，
∴侧面展开图的面积=12×40π×90＝1800π，
则nπ×902360=1800π，
解得，n＝80，
故答案为：80°．
19．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 10 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
三、解答题（本大题共6小题，共63分）
20．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x+2＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2=±2，
∴x1＝2+2，x2＝2−2；
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
∴x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝﹣5+2x，
∴x1=83，x2＝2．
21．（9分）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区规内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据各自得出的概率得出游戏不公平，再根据概率公式直接修改为两人获胜的概率相等就行，答案不唯一．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
由上图可知，共有12种等可能的情况数，其中指针所指区规内两数和小于11有3种，两数和大于11有6种，
则小李获胜的概率是312=14，小王获胜的概率是612=12；
（2）由（1）知，小李获胜的概率是14，小王获胜的概率是12，
所以游戏不公平；
游戏规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和不大于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
22．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（2）求出（1）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号π）；
（3）在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据A（2，4），B（1，1），C（4，3）．即可画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（2）根据弧长公式即可求出（1）中C点旋转到C2点所经过的路径长；
（3）作点B作x轴的对称点B1，连接B1A交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，进而可以求出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求；
（2）C点旋转到C2点所经过的路径长为：90π×13180=132π；
（3）如图，点P即为所求．
∵A（2，4），B（1，1），点B作x轴的对称点B1，
∴B1（1，﹣1），
∴直线AB1解析式为：y＝3x﹣4，
当y＝0时，x=43．
∴点P的坐标为（43，0）．
23．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（3）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润可列出关于x的关系式；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案；
（3）把w关于x的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得w＝（40−30−x）（4×x0.5+48）＝﹣8x2+32x+480，
答：w与x的函数关系式是w＝﹣8x2+32x+480；
（2）由题意得，510＝﹣8x2+32x+480，
解得：x1＝1.5，x2＝2.5，
答：每件商品应降价2.5元或1.5元；
（3）∵w＝﹣8x2+32x+480＝﹣8（x﹣2）2+512，
∴当x＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38（元），
答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用已知得出∠ODP＝90°，进而得出答案；
（2）直接利用△ODP的面积减去扇形DOB的面积进而得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△POD中，OD＝2cm，∠APD＝30°，
∴PD＝23，∠BOD＝60°，
∴图中阴影部分的面积=12×2×23−16×π×22
=23−23π．
25．（14分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+12与y轴交于点A，与x轴交于点E，点B（点E在左侧）．
（1）请写出这个二次函数的顶点坐标 （2，16） ；
（2）请利用描点法，先填表，再在图（1）中画出这个二次函数的图象，并在图中标出点A，点B，点E的位置；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）根据函数解析式，列出下x，y的对应值表，再用描点法画出二次函数图象；
（3）根据题意画出图象，先用待定系数法求出直线AB的解析式，设出点P坐标（m，﹣m2+4m+12）（0＜m＜4），求出D点坐标（m，﹣2m+12），再根据四边形的面积＝三角形APD的面积+三角形CPD的面积得出关于关于m的二次函数，根据函数的性质求面积的最大值，并求出点P坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16，
∴抛物线的顶点为（2，16），
故答案为：（2，16）；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x+12＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴E（﹣2，0），B（6，0）；
令x＝0，则y＝12，
∴A（0，12），
x，y的对应值表如下表所示：
则函数图象为：
（3）如图所示：
∵过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，
∴点A，C关于对称轴x＝2对称，
∴C（4，12），
∵A（0，12），B（6，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则6k+b=0b=12，
解得：k=−2b=12，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
设点P（m，﹣m2+4m+12）（0＜m＜4），
则D（m，﹣2m+12），
∴PD＝﹣m2+4m+12﹣（﹣2m+12）＝﹣m2+6m，
∴S四边形PADC=12×4×（﹣m2+6m）＝﹣2m2+12m＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴当m＝3时，四边形APCD面积最大，最大值为18，
此时P（3，15），
∴当点P为（3，15）时，四边形APCD的面积最大，最大面积为18．
x
…







…
y＝﹣x2+4x+12
…







…
x
…
﹣4
﹣2
0
2
4
6
8
…
y＝﹣x2+4x+12
…
﹣20
0
12
16
12
0
﹣20
…
x
…
﹣4
﹣2
0
2
4
6
8
…
y＝﹣x2+4x+12
…
﹣20
0
12
16
12
0
﹣20
…