河北省石家庄市辛集市2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份河北省石家庄市辛集市2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1．观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
2．下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部
B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
3．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣5
4．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a•4ab
B．﹣ab3﹣2ab2﹣ab＝﹣ab（b2+2b）
C．4x2+8x﹣4＝4x（x+2﹣）
D．4my﹣2＝2（2my﹣1）
6．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（ ）分为两截．
A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行
7．在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
9．若二次三项式x2﹣6x+k是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．9B．±9C．36D．±36
10．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
11．（2分）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
12．（2分）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折．
下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）
14．（2分）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c＝，d＝，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
16．（2分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝5bB．2a＝3bC．a＝3bD．a＝2b
二、填空题（每小题3分，共12分）
17．若am＝2，an＝3，则a3m+2n＝ ．
18．在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 ．
19．如图，△ABE、△BDC和△ABC分别是关于AB，BC边所在直线对称的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝9：2：1，则∠4的度数为 ．
20．已知分式，当x＝2时，分式的值为0，当x＝1时，分式无意义，则m+n＝ ．
三、计算题（共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.）
21．（14分）计算
（1）（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2；
（2）（﹣3ab﹣1）2•（a﹣2b2）﹣3；
（3）先化简，再求值：，其中a＝2﹣1+（π﹣2018）0．
22．（8分）解分式方程：
（1）＝；
（2）．
23．（9分）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 条对角线；同样，经过B点可以做 条对角线；经过C点可以做 条对角线；经过D点可以做 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 对角线．
24．（9分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
25．（9分）我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍；
C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4（+）+＝1．
（1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是： ；
（2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
26．（12分）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，
故选：B．
【点评】考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
2．下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部
B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
【分析】根据三角形的角平分线、高和中线的定义判断即可．
【解答】解：A、三角形的三条高不一定在三角形内部，错误；
B、三角形的三条中线交于一点，正确；
C、三角形具有稳定性，错误；
D、三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；
故选：B．
【点评】此题考查三角形的角平分线、高和中线，关键是根据三角形的角平分线、高和中线的定义解答．
3．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a•4ab
B．﹣ab3﹣2ab2﹣ab＝﹣ab（b2+2b）
C．4x2+8x﹣4＝4x（x+2﹣）
D．4my﹣2＝2（2my﹣1）
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解答】解：A、8a2b＝2a•4ab，不是因式分解，不合题意；
B、﹣ab3﹣2ab2﹣ab＝﹣ab（b2+2b+1）＝﹣ab（b+1）2，不合题意；
C、4x2+8x﹣4＝4（x2+2x﹣1），不合题意；
D、4my﹣2＝2（2my﹣1），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
6．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（ ）分为两截．
A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行
【分析】利用三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，
如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，
而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
7．在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：在，，，，中，是分式的为：，，，
所以共有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
8．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】解：如图：
由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，
∴∠G+∠EDG＝90°，
∵，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
9．若二次三项式x2﹣6x+k是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．9B．±9C．36D．±36
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵二次三项式x2﹣6x+k＝x2﹣2•x•3+32是一个完全平方式，
∴k＝32＝9．
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
11．（2分）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
【分析】如图，过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，
∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12．（2分）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折．
下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可．
【解答】解：根据真正合同三角形，真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，
选项B是真正合同三角形，
故选：B．
【点评】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，
点A第二次关于x轴对称后在第四象限，
点A第三次关于y轴对称后在第三象限，
点A第四次关于x轴对称后在第二象限，
即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2分）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c＝，d＝，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2＝，c＝＝9，d＝＝1，
∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE＝CD，求出∠A＝∠DBA＝∠CBD＝30°，推出AD＝BD，CD＝BD，求出CD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝60°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠DBA＝∠CBD＝30°，
∴AD＝BD，CD＝BD＝AD，
∵AD+CD＝AC＝12，
∴CD＝4，
∵DE⊥AB，∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
16．（2分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝5bB．2a＝3bC．a＝3bD．a＝2b
【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b．
【解答】解：S1＝b（a+b）×2++（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共12分）
17．若am＝2，an＝3，则a3m+2n＝ 72 ．
【分析】利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m+2n
＝（am）3×（an）2
＝23×32
＝72．
故答案为：72．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
18．在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 三角形的内角和是180° ．
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【解答】解：根据折叠的性质，∠A＝∠1，∠B＝∠2，∠C＝∠3，
∵∠1+∠2+∠＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，
∴定理为：三角形的内角和是180°．
故答案为：三角形的内角和是180°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
19．如图，△ABE、△BDC和△ABC分别是关于AB，BC边所在直线对称的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝9：2：1，则∠4的度数为 90° ．
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
【解答】解：延长AB交DC于点F，
∵∠1：∠2：∠3＝9：2：1，
∴设∠1＝9x，∠2＝2x，∠3＝x，
由∠1+∠2+∠3＝180°得：
9x+2x+x＝180°，
解得x＝15，
故∠1＝9×15＝135°，∠2＝2×15＝30°，∠3＝1×15＝15°，
∴∠DCB＝∠E＝∠3＝15°，∠2＝∠EAB＝∠D＝30°，
∴∠EAC＝60°，∠DCA＝30°，
∴∠4＝∠EAC+∠DCA＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
20．已知分式，当x＝2时，分式的值为0，当x＝1时，分式无意义，则m+n＝ 3 ．
【分析】分式分母的值为0时分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子2x﹣m＝2×2﹣m＝0，解得：m＝4；
由分母x+n＝1+n＝0解得：n＝﹣1．
所以m+n＝4﹣1＝3．
故答案为3．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式属于没有意义．
三、计算题（共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.）
21．（14分）计算
（1）（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2；
（2）（﹣3ab﹣1）2•（a﹣2b2）﹣3；
（3）先化简，再求值：，其中a＝2﹣1+（π﹣2018）0．
【分析】（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算单项式乘法，最后计算加法即可；
（2）先计算乘方，再计算乘法；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由负整数指数幂和零指数幂得出a的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2
＝﹣2x3•（﹣8x3）+x6
＝16x6+x6
＝17x6；
（2）原式＝9a2b﹣2•（a6b﹣6）
＝9a8b﹣8；
（3）原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当时，
原式＝．
【点评】本题主要考查整式的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（8分）解分式方程：
（1）＝；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）方程两边乘（x﹣1）（x﹣2），得2（x﹣2）＝x﹣1，
去括号得：2x﹣4＝x﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣2）（x﹣1）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝3；
（2）方程两边同乘以a（a﹣1），得a2﹣a（a﹣1）＝3，
解得：a＝3，
检验：当a＝3时，a（a﹣1）≠0，
所以原分式方程为a＝3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．（9分）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 1 条对角线；同样，经过B点可以做 1 条对角线；经过C点可以做 1 条对角线；经过D点可以做 1 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 2 条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 5 条对角线；
图3共有 9 条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 35 对角线．
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
【解答】解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
十边形有＝35对角线．
故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点评】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键．
24．（9分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
25．（9分）我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍；
C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4（+）+＝1．
（1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是： 甲、乙两队合作4天 ；
（2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
【分析】（1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程为：4（+）+＝1，可知方案C中“星号”部分为：若甲、乙两队合作4天；
（2）根据题意先求得规定的天数，然后算出A、C两方案的价钱之后，再根据题意选择节省工程款的方案．
【解答】解：（1）根据题意及所列的方程可知被损毁的部分为：甲、乙两队合作4天；
故答案为：甲、乙两队合作4天；
（2）解：解方程，得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，
所以规定的工期为8天．
如期完成的两种施工方案需要的费用分别为：
A方案：1.1×8＝8.8（万元）；
C方案：4×1.1+8×0.5＝8.4（万元），
∵8.8＞8.4，
∴C方案更省钱．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
26．（12分）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1．
【解答】解：（1）故答案为：＝．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝BD，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM＝，
∴CN＝1+＝，
∴CD＝2CN＝3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝1，
∴CN＝1﹣＝，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．