河北省石家庄市正定县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份河北省石家庄市正定县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．约分﹣3xy2•＝（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
4．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．∠C＝∠C′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′
C．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．＝D．
6．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2
7．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A．B．6C．4.8D．
8．对于近似数3.07×104，下列说法正确的是（ ）
A．精确到 0.01B．精确到千分位
C．精确到万位D．精确到百位
9．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
10．5﹣，2+，2+的大小关系是（ ）
A．2+＞2+＞5﹣B．5﹣＞2+＞2+
C．2+＞5﹣＞2+D．5﹣＞2+＞2+
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（ ）
A．45°∠AB．90∠AC．90°﹣∠AD．180°﹣∠A
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB＝13，BC＝5，则△BCD的周长为（ ）
A．18B．17C．11.5D．11
13．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
14．在西线高铁工程中，某路段需铺轨．先由甲队单独做2天后，再由乙队单独做3天刚好完成．已知乙队单独完成比甲队单独完成多用2天，求甲、乙队单独完成各需要多少天？若设甲队单独完成需x天，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
16．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（ ）
A．14B．13C．12D．10
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.）
17．计算：﹣＝ ．
18．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，点B，F，C，E在同一条直线上．若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C＝60°，若点P为BC边中点，则DP长为 ．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为 时，△BCP为等腰三角形．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）解方程：＝﹣2；
（2）先化简，再求值：A＝（），其中x＝+1．
22．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
23．如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
24．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．
25．某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
26．如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝12，CE＝4，求线段ED的长．
参考答案
一、（本大题共16个小题，每个小题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
解：A.，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
3．约分﹣3xy2•＝（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】原式约分即可得到结果．
解：原式＝＝﹣．
故选：A．
4．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．∠C＝∠C′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′
C．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件进行判断即可．
解：A、∠C＝∠C′，AC＝A′C′，BC＝B′C′，根据SAS可以判定△ABC≌△A′B′C′；
B、∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′，根据AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′；
C、∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，SSA不能判定两个三角形全等，故C选项符合题意；
D、AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C，根据SSS可以判定△ABC≌△A′B′C′，
故选：C．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．＝D．
【分析】利用二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
解：A、原式＝＝，所以A选项正确；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝2﹣，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：A．
6．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．
解：式子有意义，
则a+1≥0，且a﹣2≠0，
解得：a≥﹣1且a≠2．
故选：C．
7．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A．B．6C．4.8D．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：设AC边上的高线为h，
∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴62+82＝102，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB•BC＝
即×6×8＝
h＝4.8．
故选：C．
8．对于近似数3.07×104，下列说法正确的是（ ）
A．精确到 0.01B．精确到千分位
C．精确到万位D．精确到百位
【分析】近似数3.07×104中3表示3万，是万位，因而最后一位7是百位．
解：3.07×104＝30700，7在百位上，所以近似数3.07×104精确到百位．
故选：D．
9．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
10．5﹣，2+，2+的大小关系是（ ）
A．2+＞2+＞5﹣B．5﹣＞2+＞2+
C．2+＞5﹣＞2+D．5﹣＞2+＞2+
【分析】先根据，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小．
解：∵5＜8，
∴，
∴，
∴2+＜2+，
∵（5﹣）﹣（2+）＝3﹣2＞0，
∴5﹣＞2+；
故选：D．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（ ）
A．45°∠AB．90∠AC．90°﹣∠AD．180°﹣∠A
【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BD＝CF，BE＝CD
∴△BDE≌△CFD，
∴∠BDE＝∠CFD，
∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°．
∴∠A+2∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝90°﹣∠A．
故选：B．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB＝13，BC＝5，则△BCD的周长为（ ）
A．18B．17C．11.5D．11
【分析】由勾股定理得AC＝12，再由垂直平分线的性质得BD＝AD，从而得出答案．
解：由勾股定理得：AC＝＝12，
∵斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，
∴BD＝AD，
∴△BCD的周长为BC+CD+BD＝BC+CD+DA＝BC+AC＝17，
故选：B．
13．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
14．在西线高铁工程中，某路段需铺轨．先由甲队单独做2天后，再由乙队单独做3天刚好完成．已知乙队单独完成比甲队单独完成多用2天，求甲、乙队单独完成各需要多少天？若设甲队单独完成需x天，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由乙队单独完成比甲队单独完成多用2天可得出乙队单独完成需要（x+2）天，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵乙队单独完成比甲队单独完成多用2天，甲队单独完成需x天，
∴乙队单独完成需要（x+2）天．
依题意得：+＝1．
故选：A．
15．关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，
代入整式方程得：﹣5＝﹣2+2+m，
解得：m＝﹣5，
故选：A．
16．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（ ）
A．14B．13C．12D．10
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝7，
∴BG＝2BF＝14，
∴EG＝8，
∴CE＝CG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.）
17．计算：﹣＝ ．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
解：＝2﹣＝．
故答案为：．
18．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，点B，F，C，E在同一条直线上．若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 BC＝EF（答案不唯一） （只填一个即可）．
【分析】先根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，再根据全等三角形的判定定理：ASA、AAS进行添加即可．
解：添加的条件可以是BF＝EC或者BC＝EF或者AB＝DE或者AC＝DF．理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E．
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
如果添加BF＝EC或者BC＝EF，根据ASA可证△ABC≌△DEF；
如果添加AB＝DE或者AC＝DF，根据AAS可证△ABC≌△DEF．
故答案为：BC＝EF（答案不唯一）．
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C＝60°，若点P为BC边中点，则DP长为 ．
【分析】首先在Rt△ABD中，由∠ADB＝60°，AD＝3得，BD＝2AD＝6，再证△DPC是等边三角形，得DP＝CD＝2．
解：在Rt△ABD中，由∠ADB＝60°，AD＝3得，
BD＝2AD＝6，
∵∠C＝60°，∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝CD＝6，
∴CD＝2，
∵∠BDC＝90°，点P为BC的中点，
∴DP＝CP，
∴△DPC是等边三角形，
∴DP＝CD＝2，
故答案为：2．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为 1或或 时，△BCP为等腰三角形．
【分析】当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况，画出图形，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴PB＝AB，即5﹣2t＝，
解得：t＝，
②PB＝BC，
即5﹣2t＝3，
解得：t＝1，
③PC＝BC，
如图3，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm）．
∵S△ABC＝×AB×CD，
∴CD＝＝，
∴BD＝＝，
∵PC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝BP，
∴＝×（5﹣2t），
解得：t＝，
∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．
故答案为：1或或．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）解方程：＝﹣2；
（2）先化简，再求值：A＝（），其中x＝+1．
【分析】（1）方程两边都乘2（x﹣1）得出2x＝3﹣4（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先根据分式的减法法则算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出即可．
解：（1）＝﹣2，
方程两边都乘2（x﹣1），得2x＝3﹣4（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原方程的解，
故原方程的解是x＝；
（2）A＝（）
＝[﹣]•
＝•
＝，
当时，A＝
＝
＝．
22．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
解：如图：
点C即为所求作的点．
23．如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
【分析】（1）根据正方体的体积公式求出棱长即可；
（2）求出每个小正方体的棱长，再根据勾股定理求出CD即可；
（3）求出a的值，再代入化简即可．
解：（1）这个魔方的棱长为：＝4；
（2）每个小正方体的棱长为：4÷2＝2；
阴影部分的边长为：CD＝＝2，
阴影部分的面积为：CD2＝（2）2＝8；
（3）根据图可知a＝2﹣1，
（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|
＝（2﹣1﹣1）×（2﹣1+1）﹣|2﹣（2﹣1）|
＝（2﹣2）×2﹣|3﹣2|
＝8﹣4﹣3+2
＝5﹣2．
24．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．
【分析】（1）依据等边三角形的性质，即可得到AD的长，进而运用勾股定理得出BD的长；
（2）依据等腰三角形的性质，即可得到BF＝EF；
（3）先求得BE＝BC+CE＝9，再根据∠DBE＝30°，DB＝3，即可得出DF＝DB＝，进而得到△BDE的面积．
解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF；
（3）∵AD＝CD，CE＝CD，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵∠DBE＝30°，DB＝3，
∴DF＝DB＝×3＝，
∴△BDE的面积＝BE•DF＝×9×＝．
25．某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，根据总价＝单价×数量结合此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+20）元，
根据题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝70．
答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要70元．
（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，
根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+70×（1﹣10%）m≤2910，
解得：m≤20．
答：这所学校最多可购买20个乙种足球．
26．如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 BD⊥CE ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： BC＝CD+CE ．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝12，CE＝4，求线段ED的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，得到答案；
（2）证明△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，结合图形解答即可；
（3）证明∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；BC＝CD+CE；
（2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由如下：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；
（3）如图3，由（1）可得，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝135°，
∴CD＝16，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE＝＝＝4．