2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第7讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第7讲　高效演练分层突破学案，共7页。

1．(2020·山西吕梁4月模拟)函数f(x)＝|x|sin x的图象大致是( )
解析：选A.函数f(x)＝|x|sin x为奇函数，图象关于原点对称，可排除，B，C；又f(π)＝|π|sin π＝0，故排除D.故选A.
2．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0＜x≤1，))则下列函数的图象错误的是( )
解析：选D.在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝eq \r(x)，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.
3．(2020·湖南娄底二模)函数f(x)＝eq \f(（ex－e－x）cs x,x2)的部分图象大致是( )
解析：选A.f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除C和D，因为f(π)<0，所以排除B.故选A.
4.
若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为( )
A．a＝1，b＝2
B．a＝1，b＝－2
C．a＝－1，b＝2
D．a＝－1，b＝－2
解析：选B.令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(b,a)，由图象可知，－eq \f(b,a)＞1，又当x＞－eq \f(b,a)时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.
5.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
解析：选A.当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝eq \f(1,2)QC×BP＝eq \f(1,2)(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为eq \f(4,5)t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝eq \f(1,2)QC×eq \f(4,5)t＝eq \f(1,2)(2t－8)×eq \f(4,5)t＝eq \f(4,5)(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝eq \f(1,2)QC×CPsin ∠ACB＝eq \f(1,2)(2t－8)(14－t)×eq \f(3,5)＝eq \f(3,5)(t－4)(14－t)．综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A，故选A.
6.若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<－1，,ln（x＋a），x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于________．
解析：由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5，x<－1，,ln（x＋2），x≥－1，))
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
7．定义在R上的奇函数f(x)，满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为________．
解析：因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，
因为当x＜0，若－eq \f(1,2)＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，
当x＞0，若0＜x＜eq \f(1,2)时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，综上xf(x)＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
8．给定min{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，b＜a，))已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4，5)．
答案：(4，5)
9．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求当x＜0时，f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；
(3)求f(x)在[－2，5]上的最小值，最大值．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
因为x＞0时，f(x)＝x2－2x.
所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x.
因为y＝f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x.
(2)函数f(x)的图象如图所示：
由图可得：函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)．
(3)由(2)中函数图象可得：在[－2，5]上，
当x＝±1时，取最小值－1，
当x＝5时，取最大值15.
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x－4）＝（x－2）2－4，x≥4，,－x（x－4）＝－（x－2）2＋4，x<4，))
f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
[综合题组练]
1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选C.f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；
当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅.
当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．
故x∈(－1，0)∪(1，3)．
2．(2020·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)) D．(1，2)
解析：选C.作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝eq \r(2)，结合函数图象可得b的取值范围是(1，eq \r(2))．
3．(2020·昆明检测)若平面直角坐标系内A、B两点满足：(1)点A、B都在f(x)图象上；(2)点A、B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x（x<0），,\f(2,ex)（x≥0），))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝eq \f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．选B.
4．直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝eq \f(5x＋17,x＋3)的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2＝________．
解析：因为y＝eq \f(5x＋17,x＋3)＝eq \f(2,x＋3)＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A，B关于点(－3，5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.
所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.
答案：4
5．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋eq \f(1,x)＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)(x≠0)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－eq \f(1,x)＋2，
即y＝f(x)＝x＋eq \f(1,x)(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)＝x＋eq \f(a＋1,x)，g′(x)＝1－eq \f(a＋1,x2).
因为g(x)在(0，2]上为减函数，
所以1－eq \f(a＋1,x2)≤0在(0，2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
6．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．
解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq \f(3,4)x－1，
当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当0即a2－1≤eq \f(3,4)×2－1，
解得a≤eq \f(1,2)，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).