2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第6讲　对数与对数函数学案

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[学生用书P26]
一、知识梳理
1．对数
2.对数函数的图象与性质
续 表
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①lgab＝eq \f(1,lgba)；
②lgambn＝eq \f(n,m)lgab；
③lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故00，a≠1，函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象可能是________．(填序号)
解析：函数y＝lga(－x)的图象与y＝lgax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.
答案：②
2．函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有lga4－lga2＝1，解得a＝2；②当00，且a≠1)的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg3x|，0＜x＜3,\f(1,3)x2－\f(10,3)x＋8，x≥3))，若存在实数a，b，c，d，满足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围________．
【解析】 (1)对于函数y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，当y＝0时，有x＋eq \f(1,2)＝1，得x＝eq \f(1,2)，即y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))的图象恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，排除选项A、C；函数y＝eq \f(1,ax)与y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)
由题意可得－lg3a＝lg3b＝eq \f(1,3)c2－eq \f(10,3)c＋8＝eq \f(1,3)d2－eq \f(10,3)d＋8，
可得lg3(ab)＝0，故ab＝1.
结合函数f(x)的图象，在区间[3，＋∞)上，
令f(x)＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21.
令f(x)＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24.
故有21＜abcd＜24.
【答案】 (1)D (2)(21，24)
eq \a\vs4\al()
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1.已知函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1，0lg2e＝a，所以c>a.
因为b＝ln 2＝eq \f(1,lg2e)a>b.
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
比较对数值大小的常见类型及解题方法
角度二 解简单对数不等式
已知不等式lgx(2x2＋1)1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝lga(3－a)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－2a>0，,lga（3－a）＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a