湖北省恩施州咸丰县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份湖北省恩施州咸丰县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1．下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
B．明天太阳从东方升起
C．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标
D．购买一张体育彩票，中奖500万元
3．如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．
4．二次函数y＝﹣2x2+8x﹣8的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，﹣32）C．（4，﹣8）D．（﹣4，﹣72）
5．如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
6．若关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b＝0（a≠0）有两个实数根，则这两个实数根的和是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．无法确定
7．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（ ）
A．B、E的对应点C、G和点A在同一直线上
B．∠FDG＝∠FDE＝60°
C．FE＝FG
D．∠DCG＝∠DEB
8．抛掷一枚均匀的硬币，前4次都是正面朝上，第5次正面朝上的概率（ ）
A．大于B．等于C．小于D．不能确定
9．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元B．400元C．800元D．1250元
10．如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，3），B（﹣4，1），C（﹣2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A．＜m＜B．＜m＜C．＜m＜D．＜m＜
12．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上）．
13．若抛物线y＝x2+bx的对称轴是直线x＝1，则b的值是 ．
14．若一元二次方程x2﹣2x﹣3a＝0无实根，则a取值范围是 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为 ．
16．九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为 （用含a的式子表示）
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）x2+x﹣6＝0．
18．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝7，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．
19．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
21．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
22．某商场销售一种小商品，进货价为8元件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销量就减少1件．
设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；
（2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价： ；
（3）若每件该小商晶的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．
24．抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填涂在答题卷的相应位置）．
1．下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
B．明天太阳从东方升起
C．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标
D．购买一张体育彩票，中奖500万元
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，这是随机事件，故A不符合题意；
B．明天太阳从东方升起，这是必然事件，故B符合题意；
C．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标，这是随机事件，故C不符合题意；
D．购买一张体育彩票，中奖500万元，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
3．如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．
【分析】将x＝2代入方程得出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
∴方程为x2﹣4＝0，
则x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
即这个方程的另一个根为x＝﹣2，
故选：C．
4．二次函数y＝﹣2x2+8x﹣8的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，﹣32）C．（4，﹣8）D．（﹣4，﹣72）
【分析】先化成顶点式，然后直接得到顶点坐标．
解：∵y＝﹣2x2+8x﹣8＝﹣2（x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0）．
故选：A．
5．如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】首先过点O作OC⊥AB于C，连接OA，由垂径定理，即可求得AC的长，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理即可求得⊙O的半径长．
解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
∴OC＝3cm，AC＝AB＝×8＝4（cm），
∴在Rt△AOC中，OA＝＝5cm．
故选：C．
6．若关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b＝0（a≠0）有两个实数根，则这两个实数根的和是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．无法确定
【分析】根据根与系数的关系即可求出求解．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b＝0（a≠0）有两个实数根，
∴这两个实数根的和是：﹣＝2．
故选：B．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（ ）
A．B、E的对应点C、G和点A在同一直线上
B．∠FDG＝∠FDE＝60°
C．FE＝FG
D．∠DCG＝∠DEB
【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质依次判断可求解．
解：∵将△DBE绕点D顺时针旋转120°，
∴△BDE≌△CDG，∠EDG＝120°，
∴DE＝DG，BD＝DC，∠DBE＝∠DCG，
∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠DCA＝180°，
∴∠DCG+∠ACD＝180°，
∴B、E的对应点C、G和点A在同一直线上，故选项A不合题意；
∵∠BDC＝∠EDG＝120°，∠EDF＝60°
∴∠EDF＝∠FDG＝60°，故选项B不合题意；
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，故选项C不合题意，
故选：D．
8．抛掷一枚均匀的硬币，前4次都是正面朝上，第5次正面朝上的概率（ ）
A．大于B．等于C．小于D．不能确定
【分析】根据概率的意义判断即可．
解：抛掷一枚均匀的硬币，前4次都是正面朝上，第5次正面朝上的概率等于，
故选：B．
9．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元B．400元C．800元D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
10．如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，根据垂径定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根据勾股定理求出OM＝ON＝OQ，可得点O是△ABC的内心即可解决问题．
解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．
由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝115°，
故选：B．
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，3），B（﹣4，1），C（﹣2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A．＜m＜B．＜m＜C．＜m＜D．＜m＜
【分析】将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，与直线x＝2交于点D，E，则点M在线段DE上（不含端点），据此可得m的取值范围．
解：如图所示：将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则
A'（3，3），B'（1，4），C'（1，2），
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x+，
直线A'C'的解析式为y＝x+，
设直线x＝2与△A'B'C'的边交于点D，E，
y＝﹣x+中，令x＝2，则y＝；
y＝x+中，令x＝2，则y＝；
∴当点M（2，m）在线段DE上（不含端点）时，＜m＜，
故选：A．
12．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上）．
13．若抛物线y＝x2+bx的对称轴是直线x＝1，则b的值是 ﹣2 ．
【分析】利用对称轴公式可求得对称轴，再利用条件可得到关于b的方程，可求得答案．
解：∵y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．若一元二次方程x2﹣2x﹣3a＝0无实根，则a取值范围是 a＜﹣ ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＜0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3a＝0无实根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3a）＜0，
∴a＜﹣．
故答案为：a＜﹣．
15．如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为 πa2﹣2a2 ．
【分析】连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝a，
∴＝，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝﹣×2a×2a＝πa2﹣2a2．
故答案为：πa2﹣2a2．
16．九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为 9a﹣ （用含a的式子表示）
【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得x＝a+，进一步求出这9个数的和即可．
解：如图所示：
a+a﹣5+x＝3a+5﹣2x+2a﹣x+a﹣5
解得x＝a+，
所以3（2a+x﹣5）＝9a﹣．
故答案为：9a﹣．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）x2+x﹣6＝0．
【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上4配方后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程利用十字相乘法分解因式，即可求出解．
解：（1）x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝，
∴，；
（2）x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
18．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝7，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．
【分析】依据旋转的性质可得到AD＝AB，然后结合∠B＝45°可证明△ABD为等腰直角三角形，依据勾股定理可求得BD的长，于是可求得CD的长．
解：∵由旋转的性质可知AD＝AB＝2，
∴∠B＝∠BDA＝45°．
∴∠DAB＝90°．
∴DB＝＝4．
∴CD＝BC﹣DB＝7﹣4＝3．
19．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
【分析】（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2．
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，
可得（x﹣2）（x﹣m+2）＝0，
解得x1＝2，x2＝m﹣2，
若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，
故m＜2，
∴正整数m＝1．
21．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【分析】（1）设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．
（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．
22．某商场销售一种小商品，进货价为8元件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销量就减少1件．
设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： y＝﹣10x2+280x﹣1600 ；
（2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价： 11元或17元 ；
（3）若每件该小商晶的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．
【分析】（1）根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与x的函数关系式并化简；
（2）令y＝270得关于x的一元二次方程，求得方程的解；
（3）由每件该小商品的利润不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得x的范围，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）由题意得：
y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；
故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600；
（2）令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，
解得：x1＝11，x2＝17，
∴销售单价为11元或17元；
故答案为：11元或17元；
（3）∵每件该小商品的利润不超过100%，
∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16，
∵每天的进货总成本不超过800元，
∴销售单价x≥10，
故销售单价的范围是10≤x≤16，
由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，
当x＝14时，利润最大是360元，
当x＝10时，利润y＝200元，
所以利润的取值范围是200≤y≤360．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．
【分析】（1）如图，连接OD，OE，先证明OBE≌△ODE，得到∠ODE＝∠OBE＝90°，于是得到结论；
（2）设设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8﹣x，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】
解：（1）相切
证明：连接OD，OE
∵点E是AB中点，点O是BC中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3
∵OC＝OD，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2
∵OB＝OD，OE＝OE，
∴△OBE≌△ODE（SAS）
∴∠ODE＝∠OBE＝90°
∴OD⊥DE，
∴直线DF与⊙O相切．
（2）设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8﹣x
在Rt△FOD中，
OD2+FD2＝OF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3
∴⊙O半径为3；
∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，
∴△FBE∽△FDO，
∴，
∵BF＝FC﹣BC＝2，OD＝3，DF＝4，
∴BE＝，
∵点E是AB中点，
∴AB＝2BE＝3
在Rt△ABC中，AC＝＝．
24．抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标．
【分析】（1）利用直线y＝﹣x+4经过B、C两点，先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据表达式m＝PD+DE，设出D点坐标（t，﹣t+4），P（t，t2+t+4），用含t的代数式分别表达出线段PD、DE，转化成m关于t的二次函数，再求m的最大值及P点坐标；
（3）根据条件∠ANM+∠ACM＝180°，且AN＝MN，利用三角形的全等去确定满足条件的M、N点，再根据函数解析式求它们的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝4；
∴B（4，0），C（0，4），
∵点B，C在抛物线上，
∴，解得：，
∴y＝x2+x+4；
（2）如图1，连接AD，延长PD交x轴于H，
∵PD∥y轴，
∴PH⊥x轴，
设D（t，﹣t+4），P（t，t2+t+4），
∵PD＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ADB，且A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴×7×4＝AC•DE+（﹣t+4），
∵AC＝＝5，
∴DE＝t，
∵m＝PD+DE，
∴m＝﹣t2+t+•t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣3）2+3，
∴当t＝3时，m有最大值是3，
此时P（3，2）；
（3）过N作NF⊥MC交MC于点F，过N点作NG⊥AC，交CA的延长线于点G，则∠G＝∠CFN＝90°，
∴∠ACM+∠GNF＝180°，
由旋转得：AN＝MN，
∵∠ANM+∠ACM＝180°，
∴∠ANM＝∠GNF，
∴∠ANG＝∠MNF，
∵∠G＝∠MFN＝90°，
∴△NGA≌△NFM（AAS），
∴NG＝NF，
∴NC平分∠ACM，
∵CO⊥AB，
∴OK＝OA＝3，
∴K（3，0），
∴CK的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2+x+4，
解得：x1＝0，x2＝5，
∴M（5，﹣），
设N（0，y），
∵AN＝MN，
∴（﹣3）2+y2＝52+（y+）2，
解得：y＝﹣，
∴N（0，﹣）．