高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差巩固练习

第六章概率

§3　离散型随机变量的均值与方差

3.2　离散型随机变量的方差

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估计(　　)

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较

答案B

解析∵DX甲>DX乙,∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.

2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=3,6,9,则DX等于(　　)

A.6 B.9 C.3 D.4

答案A

解析EX=3+6+9=6.DX=(3-6)2+(6-6)2+(9-6)2=6.

3.随机变量X的分布列如下:

若EX=,则DX的值是(　　)

A B C D

答案D

解析由题设可得a+b=,b-a=a=,b=,

则DX=-1-2+0-2+1-2

4.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P(X=3)=,EX=,则DX=(　　)

A B C D

答案C

解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,

所以EX=p+2q+3, ①

+p+q=1, ②

由①②得,p=,q=,

所以DX=1-2+2-2+3-2=

5.已知随机变量ξ,η的分布列如下表所示,则(　　)

A.Eξ<Eη,Dξ<Dη B.Eξ<Eη,Dξ>Dη

C.Eξ<Eη,Dξ=Dη D.Eξ=Eη,Dξ=Dη

答案C

解析由题意得Eξ=1+2+3,

Dξ=1-2+2-2+3-2;Eη=1+2+3,

Dη=1-2+2-2+3-2,

所以Eξ<Eη,Dξ=Dη.

6.已知随机变量X的分布列为

若EX=

(1)求DX的值;

(2)若Y=3X-2,求DY的值.

解由+p=1,得p=,

又EX=0+1x=,所以x=2.

(1)DX=0-2+1-2+2-2

(2)因为Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.

7.有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工,而你能获得如下信息:

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解根据月工资的分布列,可得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,

DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1=40000;

EX2=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,

DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.1=160000.

因为EX1=EX2,DX1<DX2,

所以两家单位的工资的期望相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.

这样,我希望不同职位的工资差距小一些,可选择甲单位;如果我希望不同职位的工资差距大一些,可选择乙单位.(言之有理即可)

8.甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为,乙每次射击命中的概率为,且每次射击互不影响,约定由甲先射击.

(1)求甲获胜的概率;

(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望及方差.

解(1)记甲第i次射中获胜为Ai(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的事件为A1+A2+A3,

因为P(A1)=,

P(A2)=,

P(A3)=2×2,

所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=,

即甲获胜的概率为

(2)X所有可能的取值为1,2,3,则

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=2×2×1=

所以X的分布列为

所以X的数学期望EX=1+2+3,

X的方差DX=1-2+2-2+3-2

等级考提升练

9.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知EX=,DX=,则x1+x2的值为(　　)

A B C.3 D

答案C

解析∵EX=x1+x2=,

∴x2=4-2x1,

DX=-x12+-x22

∵x1<x2,x1+x2=3.

10.已知ξ的分布列为

则在下列式子①Eξ=-;②Dξ=;③P(ξ=0)=,正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案C

解析由题意,根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得Eξ=(-1)+0+1=-,所以①正确;Dξ=-1+2+0+2+1+2,所以②不正确;又由分布列可知P(ξ=0)=,所以③正确.

11.设0<p<1,随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内逐渐增大时(　　)

A.Dξ增大 B.Dξ减小

C.Dξ先增大后减小 D.Dξ先减小后增大

答案A

解析因为0<p<1,所以由随机变量ξ的分布列的性质得Eξ=(-1)+0+1,Dξ=-2+2+2=--12+,所以当p在(0,1)内增大时,Dξ递增.

12.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有(　　)

A.q=0.1 

B.EX=2,DX=1.4

C.EX=2,DX=1.8 

D.EY=5,DY=7.2

答案ACD

解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又EX=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,DX=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故B不正确,C正确;因为Y=2X+1,所以EY=2EX+1=5,DY=4DX=7.2,故D正确.

13.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,EX,DX分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)

A.P(X=1)=EX B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4 D.D(X)=

答案AB

解析随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,所以P(X=1)=,EX=0+1,DX=0-2+1-2,在A中,P(X=1)=EX,故A正确;在B中,E(3X+2)=3EX+2=3+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9DX=9=2,故C错误;在D中,DX=,故D错误.

14.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,Eξ=1,则Dξ=　　　　. 

答案

解析设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,则解得所以Dξ=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2

15.变量ξ的分布列如下:

其中2b=a+c,若Eξ=,则Dξ的值是　　　　. 

答案

解析∵2b=a+c,且a+b+c=3b=1,

∴b=,a+c=

又Eξ=-a+c=,∴a=,c=,

故分布列为

∴Dξ=-1-2+0-2+1-2

16.为了丰富学生的课余生活,促进校园文化建设,我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求:

(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;

(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的均值和方差.

解(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A,

则P(A)=

所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=

随机变量X的分布列为

因此,EX=0+1+2+3+4

DX=0-2+1-2+2-2+3-2+4-2=

新情境创新练

17.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:

(1)工期延误天数Y的均值与方差;

(2)在降水量至少是300 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.

解(1)由已知条件有

P(X<300)=0.3,

P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.

所以Y的分布列为

于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,

DY=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.

故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,

又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,

由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=

故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是