高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布复习练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布复习练习题，共16页。

题组一 超几何分布及其概率计算
1.设10件产品中有3件次品,现从中抽取5件,则C32C73C105表示( )
A.5件产品中有3件次品的概率
B.5件产品中有2件次品的概率
C.5件产品中有2件正品的概率
D.5件产品中至少有2件次品的概率
2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张A牌的概率为( )
A.C43C482C525 B.C42C483C525
C.1-C44C481C525 D.C43C482+C44C481C525
3.(多选题)已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=1645,则这10件产品中的次品数可能为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
4.(2020山东烟台栖霞四中高二下月考)盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( )
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
5.一个盒子里装有大小相同的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个球,其中取到白球的个数记为X,则结果为C221C41+C222C262的是( )
A.P(0C.P(X≥1) D.P(X≥2)
6.(2019辽宁抚顺高三一模)学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务,若用X表示抽取的志愿者中女生的人数,请写出随机变量X的分布列.(结果用分数表示)
7.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背出其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背出的课文的数量的分布列;
(2)他能及格的概率.
8.(2020青海西宁高二期末)在10件产品中有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件.求:
(1)取出的3件产品中一等品的件数X的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率.
题组二 超几何分布的期望与方差
9.(2020四川宜宾高三二模)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”,另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,绘成如下频率分布直方图.
(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数;
(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40]内的选手中随机选取3名选手,以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数,求X的分布列和数学期望.
10.(2020陕西旬邑月考)为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众低碳出行,某甲、乙两个单位各有200名员工,为了了解员工低碳出行的情况,统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如下:
(1)若甲单位数据的平均数是122,求x;
(2)现从如图所示的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天),记其中甲、乙两单位员工低碳出行的人数不低于130人的天数为ξ1,ξ2,令η=ξ1+ξ2,求η的分布列和期望.
能力提升练
题组一 超几何分布的期望与方差的应用
1.(2020湖北十堰高二期末,)在中华人民共和国成立70周年之际,《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映,拉开国庆档电影大幕.据统计,《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元,《中国机长》票房收入为29.12亿元,《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片,在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查,其中观看了《我和我的祖国》的有49人,观看了《中国机长》的有46人,观看了《攀登者》的有34人,统计图如下.
(1)计算图中a,b,c的值;
(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层随机抽样的方法抽取了7人,进行观影体验的访谈,了解到他们均表示要观看第三部电影,现从这7人中随机选出4人,用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数,求X的分布列及数学期望.
2.(2019山东日照高二下期中,)微信是现代生活中信息交流的重要工具,随机对使用微信的100人进行统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”,不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”,已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3∶2.
(1)确定x,y,p,q的值;
(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“微信依赖”和“非微信依赖”的100人中用分层随机抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设选取的3人中“微信依赖”的人数为X,求X的分布列;
(3)求(2)中选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率.
题组二 超几何分布与二项分布的综合运用
3.(2020辽宁省实验中学高二期末,)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望.
4.()某市居民用天然气实行阶梯价格制度,具体见下表:
从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式;
(2)现要在这10户居民中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;
(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市中依次抽取10户,其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k),求P(k)取最大值时k的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 根据超几何分布的定义可知C32表示从3件次品中任选2件,C73表示从7件正品中任选3件,故C32C73C105表示5件产品中有2件次品的概率.故选B.
2.D 设X为抽出的5张扑克牌中A牌的张数,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C43C482C525+C44C481C525.
3.AD 设10件产品中有x件次品,则P(ξ=1)=Cx1C10-x1C102=x(10-x)45=1645,解得x=2或x=8.
4.C 对于选项A,其概率为C31C73C104=12.对于选项B,其概率为C74C104=16.对于选项C,其概率为C32C72C104=310.对于选项D,其包括没有坏的,有1个是坏的,有2个是坏的三种情况,根据A选项,恰好有1个是坏的概率为12>310,故D选项不正确.故选C.
5.B 依题意知随机变量X服从参数为26,4,2的超几何分布,其分布列为P(X=k)=C4kC222-kC262(k=0,1,2).
∴P(X=0)=C222C262,P(X=1)=C41C221C262,
P(X=2)=C42C262.
∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C222+C41C221C262.
6.答案
解析 X的可能取值为0,1,2,
当X=0时,表示没有抽到女生;当X=1时,表示抽到1名女生;当X=2时,表示抽到2名女生,
∴P(X=0)=C52C72=1021,
P(X=1)=C51C21C72=1021,
P(X=2)=C22C72=121.
7.信息提取 ①从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵,至少要背出两篇才能及格;②某同学只能背出其中的6篇.
数学建模 本题以教学为背景,通过老师让学生背诵课文建立概率模型.本题先设抽到他能背出的课文的数量为X,求出X取每个值时的概率,进而列出分布列,由分布列求出他能及格的概率.
解析 (1)设抽到他能背出的课文的数量为X,依题意知X服从参数为10,6,3的超几何分布,其分布列为P(X=k)=C6kC43-kC103(k=0,1,2,3).
P(X=0)=C60C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,
P(X=2)=C62C41C103=12,P(X=3)=C63C40C103=16.
如表所示:
(2)他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=12+16=23.
8.解析 (1)由题意知X服从参数为10,3,3的超几何分布,
其分布列为P(X=k)=C3kC73-kC103(k=0,1,2,3).
P(X=0)=C30C73C103=35120=724,
P(X=1)=C31C72C103=63120=2140,
P(X=2)=C32C71C103=21120=740,
P(X=3)=C33C70C103=1120.
如表所示:
(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3,
则P(A1)=C31C32C103=340,
P(A2)=P(X=2)=740,
P(A3)=P(X=3)=1120,
由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=340+740+1120=31120.
所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.
9.解析 (1)由题图知,所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数有0.0050×20×20=2,得分落在(20,40]内的人数有0.0075×20×20=3.
(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C33C53=110,
P(X=1)=C21C32C53=610=35,
P(X=2)=C22C31C53=310,
所以X的分布列为
所以EX=0×110+1×35+2×310=65.
10.解析 (1)由题意得
110×[105+107+113+115+119+126+(120+x)+132+134+141]=122,
解得x=8.
(2)由题意知,η的可能取值为0,1,2,3,4.
P(η=0)=C72C62C102C102=745,
P(η=1)=C71C31C62+C41C61C72C102C102=91225,
P(η=2)=C32C62+C72C42+C71C31C61C41C102C102=13,
P(η=3)=C32C61C41+C71C31C42C102C102=22225,
P(η=4)=C32C42C102C102=2225,
∴η的分布列为
∴Eη=0×745+1×91225+2×13+3×22225+4×2225=75.
能力提升练
1.解析 (1)由题意可得
27+a+b+4=46,30+a+c+4=49,18+b+c+4=34,解得a=9,b=6,c=6.
(2)记“只观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组,共9人;
“只观看了《中国机长》和《攀登者》”的为B组,共6人;
“只观看了《我和我的祖国》和《攀登者》”的为C组,共6人.
所以按分层随机抽样,A,B,C组被抽取的人数分别为9×721=3,6×721=2,6×721=2.
在被抽取的7人中,没有观看《我和我的祖国》的有2人,
所以X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C54C74=17,
P(X=1)=C21C53C74=47,
P(X=2)=C22C52C74=27,
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=0×17+1×47+2×27=87.
2.解析 (1)由题可知“非微信依赖”人数为100×35=60,则“微信依赖”人数为40,
故可得x=60-(5+15+15)=25,则p=25100=0.25;y=40-30=10,则q=10100=0.10.
(2)根据题意,10人中“非微信依赖”人数为60×110=6,“微信依赖”人数为40×110=4.
则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C41C62C103=12,
P(X=2)=C42C61C103=310,P(X=3)=C43C103=130.
故X的分布列为
(3)由题可知选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为P(X≥2),
由(2)中分布列可得P(X≥2)=310+130=13.
故选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为13.
3.解析 (1)设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)=20100=15,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z~B4,15,
∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)=C42152452=96625.
(2)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个.
现从中随机抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=12,
P(X=2)=C61C42C103=310,P(X=3)=C43C103=130.
∴X的分布列为
∴EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
4.解析 (1)由题意,当x∈(0,228]时,y=3.25x;
当x∈(228,348]时,y=3.83x-132.24;
当x∈(348,+∞)时,y=4.7x-435,
所以年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式为
y=3.25x,x∈(0,228],3.83x-132.24,x∈(228,348],4.7x-435,x∈(348,+∞).
(2)由题知10户居民中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,
设抽到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C73C103=724,P(ξ=1)=C72C31C103=2140,
P(ξ=2)=C71C32C103=740,P(ξ=3)=C33C103=1120,
故ξ的分布列为
所以Eξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.
(3)由题意知P(k)=C10k35k2510-k(k=0,1,2,3,…,10),
由C10k35k2510-k≥C10k+135k+12510-k-1,C10k35k2510-k≥C10k-135k-12510-k+1,
解得285≤k≤335,
所以当k=6时,P(k)取得最大值.
X
0
1
2
P



使用微信
时间(单
位:小时)
(0,0.5]
(0.5,1]
(1,1.5]
(1.5,2]
(2,2.5]
(2.5,3]
合计
频数
5
15
15
x
30
y
100
频率
0.05
0.15
0.15
p
0.30
q
1.00
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
阶梯
年用气量(立方米)
价格(元/立方米)
第一阶梯
不超过228的部分
3.25
第二阶梯
超过228而不超过348的部分
3.83
第三阶梯
超过348的部分
4.70
居民用气户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量(立方米)
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457
X
0
1
2
P
1021
1021
121
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120
X
0
1
2
P
110
35
310
η
0
1
2
3
4
P
745
91225
13
22225
2225
X
0
1
2
P
17
47
27
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
ξ
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120