高中数学第六章 概率3 离散型随机变量的均值与方差3.2 离散型随机变量的方差教案配套ppt课件

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第六章 概率
3.2　离散型随机变量的方差
课标要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
素养要求
通过研究离散型随机变量的方差，进一步提升数学抽象及数据分析素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：
如何比较甲、乙两人的技术？提示　EX＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，它们的均值相等，只根据均值无法区分甲、乙两人的技术，可以根据样本方差，方差刻画了样本数据的稳定性.
2.填空　(1)若离散型随机变量X的分布列为
偏离程度
方差
标准差
(2)随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于______的平均程度.方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度______；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越______.(3)若随机变量X服从两点分布，则DX＝______________；(4)若a、b为常数，则D(aX＋b)＝__________.温馨提醒　方差越小，随机变量的取值越集中，方差越大，随机变量的取值越分散.
均值
越小
分散
p(1－p)
a2DX
3.做一做　(1)有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(　　) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　由EX甲＝EX乙，DX甲＞DX乙知B正确.
B
(2)设随机变量X的分布列为
B
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 设离散型随机变量X的分布列为
C
求离散型随机变量的方差的类型及方法(1)已知分布列(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式DX＝p(1－p)求解.(3)未知分布列：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.
训练1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列为
ABD
(2)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝__________，b＝__________.
例2 已知X的分布列如下：
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
解　因为随机变量Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法一是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.
训练2 (1)设随机变量X的分布列为
D
(2)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值.解　(1)X的分布列为
(2)由DY＝a2DX，得a2·2.75＝11，得a＝±2.又EY＝aEX＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度.在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
解　EXA＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，EXB＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，DXA＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，DXB＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见EXA＝EXB，DXA＜DXB，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好.
均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.
训练3 袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球. (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；
解　记“第二次取球后才停止取球”为事件A.
第二次取球时袋中有三个奇数，
(2)若第一次取到编号为偶数的球，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.
解　若第一次取到编号为2的球，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到编号为4的球，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球.所以X的可能取值为3，5，6，7，
所以X的分布列为
课堂小结
1.牢记1个知识点：离散型随机变量的方差.2.辨清1个易错点：方差公式的应用与计算易出现错误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设随机变量X的方差DX＝1，则D(2X＋1)的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5
C
D
解析　由题意知X服从两点分布，故DX＝m(1－m).
B
4.以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为
A
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？(　　)A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定解析　EX1＝EX2＝1.1，DX1＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，DX2＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴DX15.(多选)已知随机变量X的分布列如表，且EX＝2，则下列说法正确的是(　　)
BC
6.已知随机变量X的分布列为
0.49
且EX＝1.1，则DX＝__________.
7.设0则实数c的值为________；随机变量ξ的方差为________.
8.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表：
11
9.已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
解　由题意得，EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2.DX1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，DX2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴DX1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、期望及标准差.
故X的分布列为
11.已知a，b，c是不相等的实数，且a＋b＝8，随机变量X的分布列为11.已知a，b，c是不相等的实数，且a＋b＝8，随机变量X的分布列为
C
二、能力提升
则下列说法正确的是(　　)A.EX＝1，DX>1 B.EX＝1，01 D.EX＝3，012.(多选)已知随机变量ξ的分布列是
BC
随机变量η的分布列是
则当p在(0，1)内增大时，下列选项中正确的是(　　)A.Eξ＝Eη B.Dξ＝DηC.Eξ增大 D.Dη先增大后减小
∴当p在(0，1)内增大时，Dη单调递增，故D错误.
13.甲口袋里有大小相同编号不同的2个黑球和3个白球，乙口袋里有大小相同编号不同的3个黑球和2个白球，现从甲口袋中取出3个球，记黑球个数为ξ，从乙口袋中也取出3个球，记黑球个数为η. (1)求ξ>η时的概率；
解　当ξ>η时，即ξ＝2，η＝1，
(2)若ξ＋η＝3，求随机变量ξ的数学期望Eξ及η的方差Dη.
则随机变量ξ的分布列如下表：
14.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表所示：
三、创新拓展
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
解　根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
从而EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6，DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.
当x＝75时，f(x)取得最小值3.