数学第二章 圆锥曲线与方程综合与测试综合训练题

这是一份数学第二章 圆锥曲线与方程综合与测试综合训练题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程(x2+y2-4)x+y+1=0的曲线形状是( )
2.抛物线y2=4x上的点与其焦点的距离的最小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.12
3.焦点在x轴上的椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为b3,则椭圆的离心率为( )
A.14 B.13 C.12 D.23
4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与圆(x-m)2+y2=1(m>0)相切,若双曲线的离心率为3,则m的值为( )
A.62 B.6 C.63 D.233
5.椭圆x25+y24=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )
A.55 B.655 C.855 D.455
6.已知椭圆x27+y2b2=1,过原点O且斜率为3的直线与椭圆交于C,D两点,若|CD|=4,则椭圆的标准方程为( )
A.x27+y24=1 B.x27+y23=1
C.x27+y26=1 D.x27+2y27=1
7.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积是1,且a+b=3,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.5 C.52 D.32
8.已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,一条渐近线为l,抛物线C2:y2=4x的焦点为F,点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点,则|PF|=( )
A.3 B.4 C.6 D.5
9.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中,把到定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线C.已知点P(x0,y0)是双纽线C上一点,下列说法中正确的有( )
①双纽线经过原点O;
②双纽线C关于原点O中心对称;
③-a2≤y0≤a2;
④双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有两个.
A.①② B.①②③ C.②③ D.②③④
10.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=2px上,过焦点F且斜率为1的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N,则△MFN的面积为( )
A.43 B.833 C.42 D.423
11.已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C1于不同的两点A,B,交y轴于点N,若NA=λ1AF,NB=λ2BF,则λ1+λ2的值为( )
A.32 B.1 C.22 D.-1
12.已知椭圆x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A,左顶点为B,点P为椭圆上任意一点,△PAB面积的最大值为2+1,若点M(-3,0),N(3,0),点Q为椭圆上任意一点,则1|QN|+4|QM|的最小值为( )
A.2 B.94 C.3 D.3+22
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知椭圆C:x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m= .
14.如图所示,圆柱形玻璃杯中的液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为 .
15.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点F重合,抛物线的准线与双曲线交于A,B两点,且△OAB的面积为6(O为原点),则双曲线的标准方程为 .
16.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线3x-y+43=0过点F1且与C在第二象限的交点为P,若∠POF1=60°(O为原点),则F2的坐标为 ,C的离心率为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知P是x轴上的动点(异于原点O),点Q在圆O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ的中点为M.
(1)若直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限,求直线OM的斜率;
(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.
18.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,其中一个焦点为F1(-1,0),离心率为e=12,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AB的倾斜角为135°,求|AB|.
19.(本小题满分12分)某探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为ab百公里时进行变轨,其中a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).
20.(本小题满分12分)已知一动圆P与圆C1:(x+3)2+y2=9外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=1内切.
(1)求动圆P的圆心的轨迹方程;
(2)是否存在过点Q(4,1)的直线l与P交于A,B两点,且点Q是线段AB的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(-2,0),2,22,抛物线C2的顶点在原点,焦点在x轴上,准线方程为x=-1.
(1)求C1、C2的标准方程;
(2)是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交不同两点M、N,且满足直线OM与直线ON垂直?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.
答案全解全析
一、选择题
1.C 由(x2+y2-4)x+y+1=0可得x2+y2-4=0,x+y+1≥0或x+y+1=0,
表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.
2.C 设抛物线的焦点为F.由题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1.
设抛物线上的动点为P(x0,y0),
根据抛物线的定义可知,|PF|=1+x0,
因为x0∈[0,+∞),所以|PF|=1+x0≥1,
故抛物线y2=4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选C.
3.C 根据三角形的面积公式以及椭圆的定义,可得12×2c×b=12(2a+2c)×b3,即a=2c,所以e=ca=12.故选C.
4.A 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax.
因为双曲线的离心率e=ca=3,c2=a2+b2,所以c2a2=a2+b2a2=3,即b2a2=2,
所以ba=2,故渐近线方程为y=±2x.
因为两条渐近线与圆(x-m)2+y2=1(m>0)相切,所以1=|±2m-0|2+1,解得m=62.
5.C 设椭圆的右焦点为F',则|MF'|+|NF'|≥|MN|,当M,N,F'三点共线时,等号成立,所以△FMN的周长=|MF|+|NF|+|MN|≤|MF|+|NF|+|MF'|+|NF'|=45,当M,N,F'三点共线,即m=1时,等号成立,所以△FMN的周长最大时,|MN|=2b2a=855,此时△FMN的面积S=12×855×2=855,故选C.
6.D 由题意可知,直线CD的方程为y=3x.不妨设点C在第一象限,则OC=2,因此可得C(1,3),又点C在椭圆x27+y2b2=1上,所以17+3b2=1⇒b2=72,所以椭圆的标准方程为x27+2y27=1,故选D.
7.C 解法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,
由PF1⊥PF2,△PF1F2的面积是1,得12mn=1,即mn=2.
在Rt△PF1F2中,由勾股定理得m2+n2=4c2.
∴(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4.
由双曲线的定义,得(m-n)2=4a2,
∴4c2-4=4a2,化简并整理,得c2-a2=1,即b2=1,∴b=1,
又a+b=3,∴a=2,∴c=a2+b2=5,
∴该双曲线的离心率e=ca=52.故选C.
解法二:设∠F1PF2=θ,则双曲线的焦点三角形的面积S=b2tanθ2.由PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=b2tan45°=b2=1,解得b=1,又a+b=3,∴a=2,∴c=a2+b2=5,
∴该双曲线的离心率e=ca=52.故选C.
8.D ∵双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴ca=a2+b2a2=2,∴a=b,
∴渐近线方程为y=±x.不妨设l:y=x,代入C2:y2=4x,可得P(4,4),又F(1,0),
∴|PF|=(4-1)2+42=5.故选D.
9.B 设动点C(x,y),由已知得动点C的轨迹方程为(x-a)2+y2·(x+a)2+y2=a2,即(x2+y2)2=2a2(x2-y2),将原点O(0,0)代入,显然成立,①正确;
把(x,y)关于原点对称的点(-x,-y)代入轨迹方程,显然成立,②正确;
由题意得12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=12×2a×|y0|,即|y0|=a2sin∠F1PF2≤a2,
∴-a2≤y0≤a2,③正确;
若双纽线C上点P满足|PF1|=|PF2|,则点P在y轴上,即x0=0,代入方程得y0=0,∴这样的点P只有一个,④不正确.故选B.
10.C ∵点A(1,2)在抛物线C:y2=2px上,∴2p=4,解得p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),∴过焦点F且斜率为1的直线方程为y=x-1.
联立y=x-1,y2=4x,消去x得y2-4y-4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=4,y1y2=-4,∴|MN|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=42.
设抛物线的准线与x轴的交点为D,
则|FD|=2.
∴S△MFN=12|MN|·|FD|=12×42×2=42.故选C.
11.D 抛物线C1:y2=4x的焦点为F(1,0).易知直线AB的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则N(0,-k).由y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴Δ=16k2+16>0,且x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
∵NA=(x1,y1+k),AF=(1-x1,-y1),NB=(x2,y2+k),BF=(1-x2,-y2),
∴由NA=λ1AF,NB=λ2BF,得λ1(1-x1)=x1,λ2(1-x2)=x2,整理得λ1=x11-x1,λ2=x21-x2,∴λ1+λ2=x1+x2-2x1x21-(x1+x2)+x1x2=2k2+4k2-21-2k2+4k2+1=-1.
12.B 由题意得直线AB的方程为y=1ax+1.
当△PAB面积取得最大值时,存在一条直线,过点P且与直线AB平行,与椭圆相切.设该直线的方程为y=1ax+m,
联立x2a2+y2=1,y=1ax+m,消去y,可得2x2+2amx+a2m2-a2=0,
令Δ=4a2m2-8(a2m2-a2)=0,得m2=2,
易知m=-2,所以切线的方程为y=1ax-2,此时点P到直线AB的距离d=2+11a2+(-1)2=a(2+1)a2+1,
又|AB|=a2+1,所以12|AB|·d=2+1,解得a=2,
则M(-3,0),N(3,0)分别为椭圆的左、右焦点,
所以|QM|+|QN|=2a=4,所以1|QN|+4|QM|=1|QN|+4|QM|·14·(|QM|+|QN|)=1+14+|QM|4|QN|+|QN||QM|≥94,当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.
故1|QN|+4|QM|的最小值为94.
二、填空题
13.答案 14
解析 因为椭圆C:x2+my2=1的焦点在y轴上,
所以其标准方程为y21m+x2=1,其中a=1m,b=1.
因为长轴长是短轴长的两倍,所以a=2b,
则有1m=2,解得m=14.
14.答案 32
解析 如图,作平面α平行于底面,交水面于点C,连接BC、AC.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆柱底面半径为r.由图及题意知△ABC为直角三角形,且∠ACB=
60°,∴b=r,a=rcs60°=2r,∴c=4r2-r2=3r,∴e=ca=32.
15.答案 x2-y23=1
解析 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0).
设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),∴a2+b2=4.①
∵△OAB的面积为6,
∴12×2×2b2a=6,∴b2=3a.②
由①②得a2=1,b2=3,∴双曲线的方程为x2-y23=1.
16.答案 (4,0);3-1
解析 直线3x-y+43=0与x轴的交点为(-4,0),即F1(-4,0),∴c=4,∴F2(4,0).
∵直线3x-y+43=0的斜率为3,∴倾斜角为60°,又∠POF1=60°,∴△POF1是等边三角形,∴P(-2,23).
∴4a2+12b2=1,a2-b2=c2=16,解得a=2+23,b2=83,
∴离心率e=ca=42(3+1)=3-1.
三、解答题
17.解析 (1)连接OQ.
若直线PQ与圆O相切于点Q,则OQ⊥PQ.
又|OQ|=|PQ|=2,所以|OP|=22.
又点Q在第一象限,
所以P(22,0),Q(2,2).(2分)
由M为PQ的中点,得M322,22,(4分)
所以直线OM的斜率为13.(5分)
(2)设M(x,y)(x≠0),由|OQ|=|PQ|=2,知△OPQ为等腰三角形.(6分)
设Q(x0,y0),则P(2x0,0).
因为M为PQ的中点,所以x0+2x02=x,y0+02=y,
解得x0=23x,y0=2y.
所以P4x3,0,Q2x3,2y.(8分)
把Q2x3,2y代入x2+y2=4,整理得x29+y2=1.(9分)
所以点M的轨迹方程为x29+y2=1(x≠0).(10分)
18.解析 (1)因为椭圆的一个焦点为F1(-1,0),所以可设椭圆的方程为x2a2+y2b2=
1(a>b>0),且c=1,(2分)
由离心率e=12得a=2,(3分)
∴b=a2-c2=3,(4分)
∴椭圆的方程为x24+y23=1.(5分)
(2)直线AB的倾斜角为135°,则斜率为-1,(6分)
又直线AB过点(-1,0),所以直线AB的方程为y=-x-1.(7分)
由y=-x-1,x24+y23=1,消去y,得7x2+8x-8=0.(9分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-87,x1x2=-87,(10分)
故|AB|=k2+1|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2×6449+327=247.(12分)
19.解析 设探测器的运行轨道方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),且c=a2-b2.(1分)
∵a+c=800+34,a-c=8+34,
∴a=438,c=396.(3分)
于是b2=a2-c2=35 028.(4分)
∴探测器的运行轨道方程为x2191 844+y235 028=1.(5分)
设变轨时,探测器位于点P(x0,y0),(6分)
则x02+y02=ab≈81 975,①
x02191 844+y0235 028=1,②(8分)
由①②得x0≈240,y0≈157.(10分)
∴(x0-c)2+y02-R≈187.
故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.(12分)
20.解析 (1)设动圆圆心P(x,y),半径为r.
根据题意得|PC1|=r+3,|PC2|=r-1,(2分)
所以|PC1|-|PC2|=4b>0),
得4a2=1,2a2+12b2=1,(1分)
解得a2=4,b2=1.(2分)
所以椭圆C1的标准方程为x24+y2=1.(3分)
设抛物线方程为y2=2px(p>0),
因为准线方程为x=-1,
所以p2=1,即p=2.(4分)
所以抛物线的标准方程为y2=4x.(5分)
(2)假设存在满足题意的直线l.由抛物线C2:y2=4x得F(1,0),设直线l的方程为x-1=my,M(x1,y1),N(x2,y2).(6分)
由x-1=my,x24+y2=1,消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,∴Δ=16(m2+3)>0,
y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4.(8分)
∴x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2=1+m·-2mm2+4+m2·-3m2+4=4-4m2m2+4.(10分)
由直线OM与直线ON垂直,得OM·ON=0,即x1x2+y1y2=0,
∴4-4m2m2+4+-3m2+4=0,解得m=±12.(11分)
∴存在直线l满足条件,且l的方程为y=2x-2或y=-2x+2.(12分)
22.解析 (1)证明:因为圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
所以圆心M(1,0),半径|MB|=4.(1分)
因为过点N作AM的平行线交BM于点C,所以AM∥NC,
又因为|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,所以|CN|=|CB|, (3分)
所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,(4分)
所以点C的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0).(6分)
(2)由(1)可知点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0),
易知k≠0,设P(x1,y1),
由y=kx,x24+y23=1,消去y,得(3+4k2)x2=12,
解得 x12=123+4k2,y12=12k23+4k2,(7分)
则|OP|=x12+y12=123+4k2+12k23+4k2=12(1+k2)3+4k2, (8分)
∵△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,
∴RO⊥PQ,∴kRO·kPQ=-1,则kRO=-1k.
同理,|OR|=121+-1k23+4-1k2=12(1+k2)3k2+4.(9分)
∴S△RPQ=12×|PQ|×|OR|
=12×2×12(1+k2)3+4k2×12(1+k2)3k2+4
=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2).(10分)
解法一:S△RPQ=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)≥12(1+k2)3+4k2+4+3k22=12(1+k2)72(1+k2)=247,
当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,(11分)
∴(S△RPQ)min=247.(12分)
解法二:S△RPQ=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)
=12k4+2k2+112k4+25k2+12
=12k4+2k2+112(k4+2k2+1)+k2
=12112+k2k4+2k2+1=1212+1k2+2+1k2
≥1212+14=247, 当且仅当k2=1k2,即k=±1时取等号,(11分)
∴(S△RPQ)min=247.(12分)