高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用课时练习

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用课时练习，共20页。试卷主要包含了3　导数在研究函数中的应用，函数f=ex的图象大致是等内容，欢迎下载使用。

1.3.1 函数的单调性与导数
基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
2.(2019内蒙古集宁一中高二下期中)f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( )
3.(2020辽宁大连高二期末)函数f(x)=(x2-2x)ex的图象大致是( )
题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间
4.(2021湖南张家界民族中学高二上学期第一次月考)函数y=x2+2x的单调递增区间为( )
A.(-∞,1)B.(2,+∞)
C.(1,+∞)D.(-∞,0)
5.(2020北京人大附中高二下期末)下列区间是函数y=xsin x+cs x的单调递减区间的是( )
A.(0,π)B.π2,3π2
C.(π,2π)D.3π2,5π2
6.(2021安徽六安第二中学高二开学考试)已知函数f(x)在定义域R内是增函数,且f(x)<0,则g(x)=x2f(x)的单调情况一定是( )
A.在(-∞,0]上递增B.在(-∞,0]上递减
C.在R上递减 D.在R上递增
7.(2020江苏无锡太湖高级中学高二下期中)函数f(x)=(2-x)ex的单调递减区间为 .
8.(2019北京海淀一零一中学高二下期中)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间为 .
9.(2020北京东城高二下期末)已知函数f(x)=12x2-2x-3ln x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
题组三 利用导数处理含参函数的单调性
10.(2020浙江台州五校高二下学期期中)函数y=13x3+x2+mx+2是R上的单调函数,则m的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
11.(2020江苏镇江高二下期中)设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,2]B.(0,3]C.[4,+∞)D.(-∞,2]
12.(2019天津耀华中学高二下期中)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间12,2内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2]B.-18,+∞
C.-2,-18D.(-2,+∞)
13.(2019福建厦门一中高二下期中)已知函数f(x)=1+lnxx在区间(a,a+2)上不是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1)B.[0,1]
C.[0,1)D.0,1e
14.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
15.(2019辽宁丹东高三期末)已知a≤0,设函数f(x)=ax2+x+aex,试讨论f(x)的单调性.
题组四 利用导数解决不等式问题
16.(2020四川成都树德中学高二下期中)已知a=ln 32-32,b=ln π-π,c=ln 3-3,则( )
A.a>c>bB.a>b>c
C.b>c>aD.b>a>c
17.(2020辽宁大连庄河高级中学高二月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),e为自然对数的底数,∀x∈R均有f(x)+xf'(x)>xf(x)成立,且f(2)=e2,则不等式xf(x)>2ex的解集是( )
A.(-∞,e)B.(e,+∞)
C.(-∞,2)D.(2,+∞)
18.(2020江西赣州高二下学期期末)已知函数f(x)(x∈R)满足f(3)=4,且f(x)的导函数f'(x)<1,则不等式f(x2-1)A.(-2,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-3,3)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
19.(2020北京人大附中高二下期末)对于R上连续且可导的任意函数f(x),若当x≠2时,满足 f'(x)x-2≤0,则必有( )
A. f(1)+f(3)<2f(2)B. f(1)+f(3)≤2f(2)
C. f(1)+f(3)≥2f(2)D. f(1)+f(3)>2f(2)
能力提升练
一、选择题
1.(2019河南郑州高三预测,)下列函数既是奇函数,又在[-1,1]上单调递增的是( )
A.f(x)=|sin x|B.f(x)=ln e-xe+x
C.f(x)=12(ex-e-x)D.f(x)=ln(x2+1-x)
2.()已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
3.(2019山西太原高三上期中,)函数y=x+3x+2ln x的单调递减区间是( )
A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)
4.(2020北京首师大附中高二下期末,)已知函数f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f'(x)为f(x)的导函数,函数y=f'(x)的图象如下图所示.若实数a满足f(2a+1)<1,则a的取值范围是( )

A.-32,32B.-12,32 C.-32,32D.-12,32
5.(2020重庆高二下学期期末,)若函数f(x)=2x+sin xcs x+acs x在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,3]D.[-3,-1]
6.(2020安徽滁州高二下期末,)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则不等式xf(x)>0的解集是( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-2,2)
C.(-2,0)∪(2,+∞) D.以上都不正确
7.(2020安徽黄山屯溪第一中学高二下期中,)已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数,且f(1+x)=f(1-x)e2x,当x>1时,f'(x)>f(x)恒成立,则下列判断正确的是( )
A.e5f(-2)>f(3)B.f(-2)>e5f(3) C.e5f(2)e5f(-3)
二、填空题
8.(2020北京第八中学高二下期末,)已知函数f(x)=13x3+ax2+x+1在(-∞,0),(3,+∞)上为增函数,在(1,2)上为减函数,则实数a的取值范围为 .
9.(2020辽宁师范大学附属中学高二下期末,)已知函数f(x)是定义在R上的函数,若f(x)e2x-f(-x)=0,当x≤0时,f(x)+f'(x)<0,则不等式f(x)e2x-1≥f(1-x)的解集为 .
三、解答题
10.(2019河北石家庄高二下期末,)已知函数f(x)=ln x+ax-1x.
(1)若f(x)的图象在x=1处的切线与x轴平行,求实数a的值;
(2)当a=-2时,求f(x)的单调区间.
答案全解全析
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
基础过关练
1.D 由题图知,当x>0时, f'(x)>0,当x<0时, f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,故选D.
2.D 由题图知,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f'(x)>0,排除A,C,当x∈(0,+∞)时,函数f(x)的单调性为“增”“减”“增”,导数值符号为“正”“负”“正”,只有D满足,故选D.
3.B 函数f(x)=(x2-2x)ex,则f'(x)=(x2-2)ex,令f'(x)>0,则x>2或x<-2,令f'(x)<0,则-2所以f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,故排除A、D;又当x<0时,f(x)恒为正,所以排除C.
故选B.
4.C y'=2x-2x2=2x3-2x2,由y'>0,得2x3-2>0,即x>1,所以函数y=x2+2x的单调递增区间为(1,+∞).
5.B 由已知得y'=x'sin x+x(sin x)'+(cs x)'=sin x+xcs x-sin x=xcs x,
A.当x∈0,π2时,cs x>0,所以y'=x·cs x>0,所以y=xsin x+cs x在0,π2上单调递增,故A错误;
B.当x∈π2,3π2时,cs x<0,所以y'=xcs x<0,所以y=xsin x+cs x在π2,3π2上单调递减,故B正确;
C.当x∈3π2,2π时,cs x>0,所以y'=x·cs x>0,所以y=xsin x+cs x在3π2,2π上单调递增,故C错误;由对C的分析可知D错误.
6.A ∵函数f(x)在定义域R内是增函数,
∴f'(x)>0在定义域R上恒成立.
∵g(x)=x2f(x),
∴g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),
∵f(x)<0,f'(x)>0,∴x<0时,2xf(x)>0,x2f'(x)>0,∴g'(x)>0,
即g(x)=x2f(x)在(-∞,0)上递增;
当x>0时,2xf(x)<0,x2f'(x)>0,则g'(x)的符号不确定,从而单调性不确定.
故选A.
7.答案 (1,+∞)
解析 由f(x)=(2-x)ex,得f'(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,
令f'(x)=(1-x)ex<0,解得x>1,所以函数f(x)=(2-x)ex的单调递减区间为(1,+∞).
8.答案 (0,1)
解析 f'(x)=2x-2x=2(x2-1)x,其中x>0,令f'(x)<0,则x∈(0,1),故函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间为(0,1).
9.解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=12x2-2x-3ln x,
∴f(1)=-32,
f'(x)=x-2-3x,
∴f'(1)=-4.
由点斜式得切线方程为y+32=-4(x-1),即8x+2y-5=0.
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为8x+2y-5=0.
(2)由(1)知,f'(x)=x-2-3x=x2-2x-3x=(x+1)(x-3)x(x>0),
令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0∴f(x)的单调递增区间为(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(0,3).
10.D ∵函数y=13x3+x2+mx+2是R上的单调函数,∴y'=x2+2x+m≥0或y'=x2+2x+m≤0(舍去)在R上恒成立,
∴Δ=4-4m≤0,解得m≥1.
11.A f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=12x2-9ln x,得f'(x)=x-9x=x2-9x(x>0),
当x∈(0,3)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;
当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增.
因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以a-1>0,a+1≤3,解得1所以实数a的取值范围是(1,2].
12.D 因为f(x)=ln x+ax2-2在区间12,2内存在单调递增区间,
所以f'(x)=1x+2ax>0在区间12,2上有解,即2a>-1x2在区间12,2上有解,
因此,只需2a>-1122=-4,解得a>-2.
13.C 因为f(x)=1+lnxx(x>0),
所以f'(x)=1-1-lnxx2=-lnxx2,
由f'(x)=0得x=1,
所以当00,即f(x)=1+lnxx单调递增;
当x>1时, f'(x)<0,即f(x)=1+lnxx单调递减.
又函数f(x)=1+lnxx在区间(a,a+2)上不是单调函数,
所以有a≥0,a<1,a+2>1,解得0≤a<1.
14.解析 由题意得f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f'(x)=0的两根,
∴3-2a3=1,∴a=0.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.
又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1,
∴3-2a3≥1,∴a≤0.
∴实数a的取值范围为{a|a≤0}.
15.解析 f'(x)=-(x-1)(ax+1-a)ex.
若a=0,则 f'(x)=-x-1ex,当x<1时, f'(x)>0,当x>1时, f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
若a<0,则由f'(x)=0得x=1或x=1-1a,因为1-1a>1,所以当x<1或x>1-1a时, f'(x)>0,当116.A 构造函数f(x)=ln x-x,因为f'(x)=1x-1<0对任意x∈(1,+∞)恒成立,
所以函数f(x)=ln x-x在(1,+∞)上是减函数,从而有f32>f(3)>f(π),
即a>c>b.
17.D 不等式xf(x)>2ex等价于xf(x)ex>2,
令g(x)=xf(x)ex,
则g'(x)=f(x)+xf'(x)-xf(x)ex>0恒成立,∴g(x)在R上是增函数,
∵f(2)=e2,∴g(2)=2,
∴原不等式为g(x)>g(2),解得x>2.故选D.
18.B 令g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1<0,所以g(x)在R上单调递减.
因为不等式f(x2-1)所以x2-1>3,解得x>2或x<-2.
19.B 因为 f'(x)x-2≤0,所以当x-2>0,即x>2时,f'(x)≤0,则f(3)≤f(2);
当x-2<0,即x<2时,f'(x)≥0,则f(1)≤f(2).
由不等式的性质,得f(1)+f(3)≤2f(2).
能力提升练
一、选择题
1.C 对于A, f(x)=|sin x|,其定义域为R,为偶函数,不符合题意;
对于B, f(x)=ln e-xe+x,其定义域为(-e,e),且f(-x)=ln e+xe-x=-ln e-xe+x=-f(x),
所以f(x)=lne-xe+x为奇函数,
设t=e-xe+x=-1+2ex+e,则t=-1+2ex+e在(-e,e)上为减函数,而y=ln t为增函数,
所以f(x)=ln e-xe+x在(-e,e)上为减函数,不符合题意;
对于C, f(x)=12(ex-e-x),其定义域为R,且f(-x)=12(e-x-ex)=-12(ex-e-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f'(x)=12(ex+e-x)>0,所以f(x)在R上为增函数,符合题意;
对于D, f(x)=ln(x2+1-x),其定义域为R,
f(-x)=ln(x2+1+x)=-ln(x2+1-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,
设t=x2+1-x=1x2+1+x,y=ln t,因为t=1x2+1+x在R上为减函数,而y=ln t为增函数,
所以f(x)=ln(x2+1-x)在R上为减函数,不符合题意.故选C.
2.C 由题图知,当0∴f'(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数;
当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,
故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.
3.B 易知函数的定义域是(0,+∞),
y'=1-3x2+2x=(x+3)(x-1)x2,
令y'<0,解得0故函数的单调递减区间为(0,1),故选B.
4.A 由题中导函数的图象知,x∈(-2,0)时,
f'(x)<0,x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
因为f(2a+1)<1,f(-2)=1,f(4)=1,
所以-2<2a+1<4,可得-32所以a的取值范围是-32,32.
5.A 由函数f(x)=2x+sin xcs x+acs x得f'(x)=3-2sin2x-asin x,由题意可得f'(x)≥0,即3-2sin2x-asin x≥0恒成立,
设t=sin x(-1≤t≤1),则2t2+at-3≤0恒成立.
当t=0时,不等式显然成立,a∈R;
当0当-1≤t<0时,a≥3t-2t恒成立,由y=3t-2t在[-1,0)上单调递减,可得t=-1时,y=3t-2t取得最大值-1,所以a≥-1.
综上,实数a的取值范围是[-1,1].
6.C 令g(x)=f(x)x,则当x>0时,g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>0,
即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
由g(2)=0,可得当x∈(0,2)时,g(x)<0;当x∈(2,+∞)时,g(x)>0,
所以当x∈(0,2)时,xf(x)<0;当x∈(2,+∞)时,xf(x)>0.
所以不等式xf(x)>0在(0,+∞)上的解集为(2,+∞).
因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以xf(x)是定义在R上的奇函数.所以不等式xf(x)>0在(-∞,0)上的解集为(-2,0).
综上,不等式xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).
7.A 构造函数g(x)=f(x)ex,因为f(1+x)=f(1-x)e2x,所以 f(1+x)e1+x=f(1-x)e1-x,
则g(1+x)=g(1-x),所以g(x)的图象关于直线x=1对称.
因为当x>1时,f'(x)>f(x),所以g'(x)=f'(x)-f(x)ex>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以有g(-3)=g(5)>g(2),g(-2)=g(4)>g(3),
所以f(-3)e-3>f(2)e2,f(-2)e-2>f(3)e3,即e5f(-3)> f(2),e5f(-2)>f(3).
二、填空题
8.答案 -53,-54
解析 因为函数f(x)=13x3+ax2+x+1,所以f'(x)=x2+2ax+1,
因为f(x)在(-∞,0),(3,+∞)上为增函数,在(1,2)上为减函数,所以方程f'(x)=0的两个根分别在区间[0,1]和[2,3]上,
所以f'(0)≥0,f'(1)≤0,f'(2)≤0,f'(3)≥0,即1≥0,1+2a+1≤0,4+4a+1≤0,9+6a+1≥0,
解得-53≤a≤-54,所以实数a的取值范围为-53,-54.
9.答案 xx≥12
解析 令g(x)=f(x)ex,
则g(-x)=f(-x)e-x,
因为f(x)e2x-f(-x)=0,所以f(x)ex=f(-x)·e-x,即g(x)=g(-x),又g(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以函数g(x)为偶函数.
因为g'(x)=f'(x)ex+f(x)ex=[f'(x)+f(x)]ex,当x≤0时,f(x)+f'(x)<0,
所以g'(x)=[f'(x)+f(x)]ex<0在x∈(-∞,0]上恒成立,即函数g(x)在(-∞,0]上单调递减,
则g(x)在(0,+∞)上单调递增.
不等式f(x)e2x-1≥f(1-x)可化为f(x)ex≥f(1-x)e1-x,即g(x)≥g(1-x),
所以只需|x|≥|1-x|,即x2≥(1-x)2,解得x≥12.
所以不等式的解集为xx≥12.
三、解答题
10.解析 (1)f'(x)=1x+a+1x2=ax2+x+1x2(x>0),由题意知f'(1)=0,解得a=-2.
(2)当a=-2时, f'(x)=-2x2+x+1x2(x>0),
令f'(x)=0,解得x=1或x=-12(舍去).
当x∈(0,1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减.
综上,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
x
-2
0
4
f(x)
1
-1
1
函数f(x)在R上是单调函数,等价于导函数f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立,且f'(x)不恒等于0,列不等式求出参数的取值范围即可.