2022届高考数学二轮专题测练-抛物线中的弦长与面积

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-抛物线中的弦长与面积，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过点 F 作斜率为 33 的直线 l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交于点 A，过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则 △AHF 的面积是
A. 4B. 33C. 43D. 8

2. 已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为
A. 34B. 32C. 1D. 2

3. 过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 Px1,y1，Qx2,y2 两点，如果 x1+x2=6，则 ∣PQ∣=
A. 9B. 8C. 7D. 6

4. 过点 1,0 作斜率为 −2 的直线，与抛物线 y2=8x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为
A. 213B. 215C. 217D. 219

5. 已知 F 为抛物线 C：x2=4y 的焦点，直线 y=2x+1 与抛物线 C 交于点 A，B，则 ∣AB∣=
A. 162B. 16C. 12D. 82

6. 已知抛物线 x2=8y 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，且 ∣PF∣=6，点 Q 为抛物线的对称轴与其准线的交点，则 △PFQ 的面积为
A. 202B. 162C. 122D. 82

7. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若 AF=5，则 △AOB 的面积为
A. 5B. 52C. 32D. 178

8. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1 Bx2,y2 两点，如果 x1+x2=6，那么 ∣AB∣=
A. 6B. 8C. 9D. 10

9. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则 AB =
A. 8B. 6C. 12D. 73

10. 抛物线 y2=12x 截直线 y=2x+1 所得弦长等于
A. 15B. 215C. 152D. 15

11. 已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，则 ∣FA−FB∣ 的值为
A. 42B. 8C. 82D. 16

12. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l2:x+2y+5=0，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为
A. x220−y25=1B. x25−y220=1C. 3x225−3y2100=1D. 3x2100−3y225=1

13. 等腰直角三角形 ABO 内接于抛物线 y2=2pxp>0，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则 △ABO 的面积是
A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2

14. 过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，若 ∣AB∣=10，则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于
A. 4B. 5C. 6D. 7

15. 设点 F 是抛物线 E:y2=2pxp>0 的焦点，直线 l 过点 F 且与抛物线 E 交于 A，B 两点，若 F 是 AB 的中点且 ∣AB∣=8，则 p 的值是
A. 14B. 2C. 4D. 6

16. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=axa≠0 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A．若 △OAF（O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为
A. x2=−8yB. y2=−8xC. y2=8xD. y2=±8x

17. 已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 与直线 l2，直线 l1 与抛物线交于 A，B 两点，直线 l2 与抛物线交于 C，D 两点，则 AB+CD 的最小值为
A. 10B. 12C. 14D. 16

18. 已知直线 ax+y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为
A. 9B. 8C. 7D. 6

19. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 π3 的弦 AB，则 AB 的值为
A. 873B. 163C. 83D. 1673

20. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，AB=12，P 为 C 的准线上一点，则 △ABP 的面积为
A. 18B. 24C. 36D. 48

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 P 是抛物线 y2=4x 上任意一点，点 Q3,0 是 x 轴上的定点，则 ∣PQ∣ 的最小值为 ．

22. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若 A，B 两点的横坐标之和为 103，则 AB= ．

23. 已知直线 l:x−y+1=0 与抛物线 C:x2=4y 交于 A，B 两点，点 P 为抛物线 C 上一动点，且在直线 l 下方，则 △PAB 的面积的最大值为 ．

24. 过抛物线 y2=4x 的焦点，斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为 ．

25. 抛物线 y2=4x 的弦 AB 长为 6，则 AB 中点的横坐标的最小值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 求直线 y=x+12 被曲线 y=12x2−1 截得的线段 AB 的长．

27. 在直角坐标系中，一物体经过点 A0,9，其轨迹方程为 y=ax2+ca0 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，∣AB∣=8．
（1）求 l 的方程；
（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．

29. 抛物线 y=−12x2 与过点 M0,−1 的直线 l 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 和 OB 的斜率之和为 1．
（1）求直线 l 的方程；
（2）求 △AOB 的面积．

30. 已知点 P 是直角坐标平面内的动点，点 P 到直线 x=−p2−1（p 是正常数）的距离为 d1，到点 Fp2,0 的距离为 d2，且 d1−d2=1．
（1）求动点 P 所在曲线 C 的方程；
（2）直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A，B，分别过点 A，B 作直线 l1:x=−p2 的垂线，对应的垂足分别为 M，N．记 S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A，B，M，N 是（2）中的点），λ=S22S1S3，求 λ 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】由抛物线的定义可得 ∣AF∣=∣AH∣，
因为 AF 的斜率为 33，
所以 AF 的倾斜角为 30∘，
因为 AH 垂直于准线，
所以 ∠FAH=60∘，
故 △AHF 为等边三角形．设 Am,m24，m>0，
过 F 作 FM⊥AH 于 M，则在 Rt△FAM 中，
∣AM∣=12∣AF∣，
所以 m24−1=12m24+1，
解得 m=23，故等边三角形 AHF 的边长 ∣AH∣=4，
所以 △AHF 的面积是 12×4×4sin60∘=43．
故选C．
2. D【解析】抛物线的焦点 F0,1，AB 的中点为 M，准线方程为 y=−1，则点 M 到准线的距离 d=12∣AF∣+∣BF∣≥12∣AB∣=3（易知等号能取到），即点 M 到准线的距离的最小值为 3，所以点 M 到 x 轴的最短距离为 2．故选D．
3. B【解析】抛物线 y2=4x 的焦点为 F1,0，准线方程为 x=−1．
根据题意可得，∣PQ∣=∣PF∣+∣QF∣=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8．
4. B【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2．
由题意知 AB 的方程 y=−2x−1，即 y=−2x+2．
由 y2=8x,y=−2x+2 得 x2−4x+1=0，所以 x1+x2=4，x1⋅x2=1．
所以 AB=1+k2x1+x22−4x1x2=1+416−4=5×12=215．
5. C
6. D
7. B
8. B【解析】由题意，p=2，故抛物线的准线方程是 x=−1，
因为抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1 Bx2,y2 两点
所以 ∣AB∣=x1+x2+2，
又 x1+x2=6
所以 ∣AB∣=x1+x2+2=8
9. A【解析】抛物线焦点 1,0，且斜率为 1，
则直线方程为 y=x−1，代入抛物线方程 y2=4x 得
x2−6x+1=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2
所以 x1+x2=6
根据抛物线的定义可知 AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=6+2=8．
10. A
11. C【解析】依题意知 F2,0，所以直线 l 的方程为 y=x−2，
联立方程，得 y=x−2,y2=8x, 消去 y 得 x2−12x+4=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1x2=4，x1+x2=12，
则
∣FA−FB∣=x1+2−x2+2=x1−x2=x1+x22−4x1x2=144−16=82.
12. A【解析】双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线为 y=±bax，
而渐近线与 x+2y+5=0 平行．
故 ba=12，
所以 a=2b, ⋯⋯①
又因为双曲线的一个焦点为 −c,0，则 −c+5=0，
所以 c=5，
又 c2=a2+b2，即 a2+b2=25, ⋯⋯②
由①②可求得 a2=20，b2=5，
所以双曲线方程为 x220−y25=1．
13. B
14. A【解析】结合题意，由于过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，且 ∣AB∣=10，则由抛物线的定义可知，AB 的中点 P 到准线的距离为 5，那么 AB 中点 y 轴的距离等于 5−1=4．
15. B
16. D
17. D【解析】由 l1⊥l2，设直线 l1 倾斜角为 θ，则直线 l2 倾斜角为 θ+π2，
由焦点弦弦长公式得 AB=2psin2θ=4sin2θ，CD=2psin2θ+π2=4cs2θ，
所以 AB+CD=4sin2θ+4cs2θ=4sin2θcs2θ=16sin22θ≥16，
当且仅当 θ=π4 时取等号，所以 AB+CD 的最小值为 16．
18. B
19. B
20. C
【解析】不妨设抛物线方程为 y2=2pxp>0．
因为当 x=p2 时，y=p，
所以 p=AB2=122=6．
又 P 到直线 AB 的距离为 p，
所以 S△ABP=12×12×6=36．
第二部分
21. 22
【解析】因为点 P 在抛物线 y2=4x 上，设 Px0,y0，则 y02=4x0，
所以∣PQ∣=x0−32+y02=x02−6x0+9+4x0=x0−12+8.
因为 x0≥0，
所以当 x0=1 时，∣PQ∣ 取得最小值 22．
22. 163
【解析】根据抛物线中，曲线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离得到 AB=xA+xB+103=163．
23. 42
24. 8
25. 2
【解析】当直线的斜率不存在时，AB 中点的横坐标为 94；
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 x=my+n，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线 AB 与抛物线方程得 y2−4my−4n=0，则 y1+y2=4m，y1y2=−4n，
则 ∣AB∣=41+m2m2+n=6，即 1+m2m2+n=94，
设 AB 的中点的横坐标为 t，
则 t=2m2+n=2m2+941+m2−m2=m2+1+941+m2−1≥2，
当且仅当 m2=12 时取得" = "．所以 AB 中点的横坐标的最小值为 2 .
第三部分
26. 42．
27. （1） 因为过点 A0,9，
所以 y=ax2+9a