2022届高考数学二轮专题测练-棱锥的表面积与体积

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-棱锥的表面积与体积，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，则该三棱锥的体积为
A. 223B. 233C. 22D. 23

2. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果全等的等腰直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为
A. 1B. 12C. 13D. 16

3. 如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，其体积是
A. 36B. 423C. 433D. 83

4. 图中的三个直角三角形是一个体积为 30 cm3 的几何体的三视图，则侧视图中的 h 为
A. 5 cmB. 6 cmC. 7 cmD. 8 cm

5. 如图所示，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，则三棱锥 D1−ADC 的体积是
A. 16B. 13C. 12D. 1

6. 已知高为 3 的三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图所示，则三棱锥 B1−ABC 的体积为
A. 14B. 12C. 36D. 34

7. 已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为
A. 23B. 3+3C. 9+32D. 23

8. 如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得 AC=1，则三棱锥 A−BCD 的体积为
A. 36B. 33C. 32D. 13

9. 三棱锥 P−ABC 的底面 △ABC 是边长为 3 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径为 2 的球上，则三棱锥 P−ABC 的体积最大值为
A. 23−34B. 334C. 3+234D. 9+634

10. 四面体 ABCD 的四个顶点都在某个球 O 的表面上，△BCD 是边长为 33 的等边三角形，当 A 在球 O 表面上运动时，四面体 ABCD 所能达到的最大体积为 8134，则四面体 OBCD 的体积为
A. 8138B. 2734C. 93D. 2732

11. 如图，E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，点 G，H 分别为面对角线 AC 和棱 AA1 上的动点，则下列关于四面体 E−FGH 的体积正确的是
A. 该四面体体积有最大值，也有最小值
B. 该四面体体积为定值
C. 该四面体体积只有最小值
D. 该四面体体积只有最大值

12. 某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为 48 m3，高为 3 m，如果箱底每 1 m2 的造价为 15 元，箱壁每 1 m2 的造价为 12 元，则箱子的最低总造价为
A. 900 元B. 840 元C. 818 元D. 816 元

13. 正四棱锥的侧棱长为 6，底面边长为 2，则该棱锥的体积为
A. 8B. 83C. 6D. 2

14. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，CE=2EP，若三棱锥 P−EBD 的体积为 V1，三棱锥 P−ABD 的体积为 V2，则 V1V2 的值为
A. 12B. 13C. 14D. 16

15. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1，点 P 在线段 AC1 上，当 ∠BPD 最大时，四棱锥 P−ABCD 的体积与正方体的体积之比为
A. 124B. 118C. 19D. 112

16. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC=25，则棱锥 O−ABCD 的侧面积为
A. 20+85B. 44C. 205D. 46

17. 如图所示，在四面体 EHGF 中，E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，点 G，H 分别为面对角线 AC 和棱 DD1 上的动点（包括端点）．对于四面体 EHGF，下列说法正确的是
A. 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值
B. 此四面体的体积为定值
C. 此四面体体积只存在最小值
D. 此四面体体积只存在最大值

18. 一个等腰三角形的周长为 10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为
A. 500281B. 500227C. 53D. 152

19. 一个正三棱锥底面是边长为 6 的等边三角形，侧棱长为 15，则其体积为
A. 9B. 92C. 272D. 932

20. 设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为 93，则三棱锥 D−ABC 体积的最大值为
A. 123B. 183C. 243D. 543

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是矩形，E 为 PD 上一点，且 PE=2ED．设三棱锥 P−ACE 的体积为 V1，三棱锥 P−ABC 的体积为 V2，则 V1:V2= ．

22. 侧棱长为 2 的正三棱锥，若其底面周长为 9，则该正三棱锥的体积是 ．

23. 如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，已知 AB=AA1=3，点 P 在棱 CC1 上，则三棱锥 P−ABA1 的体积为 ．

24. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动．平面区域 W 由所有满足 A1P≤5 的点 P 组成，则 W 的面积是 ；四面体 P−A1BC 的体积的最大值是 ．

25. 在正三棱锥 P−ABC 内有一个半球，其底面与三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正棱锥的体积最小时，其高等于 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一个三棱锥．问 a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少?

27. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB=60∘，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO⊥平面ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60∘，求四棱锥 P−ABCD 的体积．

28. 如图，求证三棱柱 ABC−A1B1C1 可分割为三个体积相等的三棱锥．

29. 如图所示，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E 是 A1C1 的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求三棱锥 E−ABC 的体积．

30. 如图，四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求四面体 N−BCM 的体积．
答案
第一部分
1. B【解析】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥 A−BCD，
所以几何体的体积为 V=13⋅12⋅2⋅2⋅3=233．
故选：B．
2. D
3. C
4. B
5. A
【解析】三棱锥 D1−ADC 的体积 V=13S△ADC×D1D=13×12×AD×DC×D1D=13×12=16．
6. D【解析】设三棱锥 B1−ABC 的高为 h，则 V三棱锥B1−ABC=13S△ABCh=13×34×3=34．
7. B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 ABCD−A1B1C1D1 截去三棱锥 D1−ACD 和三棱锥 B−A1B1C1 后的剩余部分．
其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为 2 的等边三角形，
所以其表面积为 6×12×12+2×34×22=3+3．
8. A【解析】如图所示，图 1 中，连接 AC 与 BD 相交于点 O，
AC⊥BD，
则 OA=OC=12AC=1，
图 2 中，△OAC 是等边三角形，OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC=O，OA⊂平面OAC，OC⊂平面OAC，
所以 BD⊥平面OAC，
所以三棱锥 A−BCD 的体积 =13×S△OAC×BD=13×34×12×2=36．
9. C
10. C
【解析】四面体 ABCD 达到最大体积时，AO⊥平面BCD，设此时的高为 h，
则 13×34×332h=8134，
所以 h=9，设球的半径为 R，则 R2=33×332+9−R2，
所以 R=5，
所以四面体 OBCD 的体积为 13×34×332×9−5=93．
11. D【解析】因为 E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，
所以 EF∥A1C1，
又 A1C1∥AC，
故点 G 到 EF 的距离为定值，
则 △EFG 面积为定值，
当点 H 与点 A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 A，
当点 H 与点 A1 重合时，h 有最大值，体积有最值，
所以四面体体积有最大值，无最小值．
12. D【解析】设箱底一边的长度为 x m，箱子的总造价为 l 元，
根据题意，得 l=240+72x+16x，lʹ≡721−16x2．
令 lʹ=0，则 x=4 或 x=−4 （舍去），即当 x=4 时，l 有最小值 816．因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816 元．
13. B
14. B【解析】设点 E 到平面 PBD 的距离为 h1，点 C 到平面 PBD 的距离为 h2，
由 CE=2EP 得 h1:h2=1:3，
因为点 A 到平面 PBD 的距离与点 C 到平面 PBD 的距离相等，
所以三棱锥 P−ABD 的体积 V2=VA−PBD=13S△PBD⋅h2，
又三棱锥 P−EBD 的体积 V1=VE−PBD=13S△PBD⋅h1，
则 V1V2=h1h2=13，故选B．
15. C
16. B【解析】由题意可知四棱锥 O−ABCD 的侧棱长为 5．
因为侧面中底面边长为 6 和 25，它们的斜高为 4 和 25，
所以棱锥 O−ABCD 的侧面积为 S=4×6+25×25=44．
17. A【解析】因为 E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，
所以连接 A1C1，则 EF∥A1C1，而 A1C1∥AC，
所以 EF∥AC．
而 G 为面对角线 AC 上的动点，
所以点 G 到直线 EF 的距离为定值．
所以三角形 EFG 的面积为定值，
此四面体体积 V=13S△EFG（h 为点 H 到平面 EFG 的距离）
根据直线 D1D 与平面 EFG 相交，知当点 H 在 D1 处时 h 取最大值，在点 D 处时 h 取最小值，
所以此四面体体积既存在最大值，也存在最小值．
18. A【解析】四棱锥如图，
设底面正方形边长的一半为 x，
则有 AO=5−x2−x2−x2=−x2−10x+25，
V=43⋅x2⋅−x2−10x+25=43−x6−10x5+25x4．
设 y=−x6−10x5+25x4，
则 yʹ=−6x5−50x4+100x3=2x3−3x2−25x+50=2x3x+10−3x+5，
由 yʹ=0，可得 x=−10（舍）或 x=53，
所以 Vmax=500281．
19. A
20. B
第二部分
21. 2:3
【解析】因为四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是矩形，E 为 PD 上一点，且 PE=2ED．
设 P 到平面 ACD 的距离为 h，则 E 到平面 ACD 的距离为 h3，
设三棱锥 P−ACE 的体积为 V1，
三棱锥 P−ABC 的体积为 V2，
则 V2=VP−ABC=VP−ACD=13×S△ACD×h，
V1=VP−ACE=VP−ACD−VE−ACD=13S△ACD×h−13S△ACD⋅h3=2313×S△ACD×h=23V2.
所以 V1:V2=2:3．
22. 334
23. 934
【解析】因为在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB=AA1=3，点 P 在棱 CC1 上，
所以点 P 到平面 ABA1 的距离即为 △ABC 的高，
即为 h=32−322=332，
S△ABA1=12×3×3=92，
三棱锥 P−ABA1 的体积为：V=13×S△ABA1×h=13×92×332=934．
24. π4，43
25. 23
【解析】如图，
O 是正三棱锥 P−ABC 底面的中心，也是半球的球心，CD 是正三棱锥底面的高，侧面 PAB 与半球相切于点 E，OE⊥PD，OE=2，PO=h．
设 ∠PDO=αα∈0,90∘，
所以 h=2csα．
设正三棱锥底面三角形的边长为 a，则 OD=36a=2sinα，即 a=43sinα，
所以正三棱锥的体积 V=83sin2αcsα．
因为 sin4αcs2α=12sin2αcs2α2sin2α≤12sin2α+sin2α+2cs2α33=427，
所以 sin2αcsα≤239，那么 V=83sin2αcsα≥36，当且仅当 sin2α=2cs2α，即 csα=33，上式取等号，即体积取最小值，此时 h=2csα=23．
第三部分
26. 构成三棱锥，这 6 条线段作为棱有两种摆放方式．
（1）2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中．
如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．
欲使体积达到最大，必有 BA⊥底面BCD，且 BA=2，AC=AD=a=22，
此时 V=13×34×22×2=233．
（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD=BC=a，BD=CD=AB=AC=2．
取 BC 中点 E，连接 AE，DE（见下图）．
则 AE⊥BC,DE⊥BC⇒BC⊥平面AED，V=13S△AED⋅BC，
在 △AED 中，AE=DE=4−a24，AD=a，
S△AED=12a4−a24−a24=12a4−a22，
所以 V=16a24−a22=16a2a216−2a2⋅14，
由均值不等式 a2a216−2a2≤1633，
等号当且仅当 a2=163 时成立，即 a=433，
所以此时 Vmax=161633⋅14=16273．
27. 由题意，得 ∠PBO=60∘．而底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB=60∘，
所以 BD=2，AC=2AO=23，从而 PO=3．
所以 VP−ABCD=13×23×3=2．
28. 由祖暅原理可知底面积和高分别相等的两个三棱锥的体积相等．
所以 VA1−ABC=VB−B1A1C．
又 S△BB1C1=S△BC1C，
所以 VA1−BB1C1=VA1−BCC1，且 VB−B1A1C1=VA1−BB1C1（它们是同一三棱锥），
所以 VA1−ABC=VB−B1A1C1=VA1−BCC1．
故三棱柱 ABC−A1B1C1 可分割为三个体积相等的三棱锥，它们是三棱锥 A1−ABC，三棱锥 B−A1B1C1，三棱锥 A1−BCC1．
29. （1） 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，BB1⊥底面ABC，
所以 BB1⊥AB．
又 AB⊥BC，BC∩BB1=B，
所以 AB⊥平面B1BCC1．
又 AB⊂平面ABE，
所以 平面ABE⊥平面B1BCC1．
（2） 因为 AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
所以 AB=AC2−BC2=3．
所以三棱锥 E−ABC 的体积
V=13S△ABC⋅AA1=13×12×3×1×2=33．
30. （1） 由已知条件，得 AM=23AD=2．
取 BP 的中点 T，连接 AT，TN．
因为 N 为 PC 的中点，
所以 TN∥BC，TN=12BC=2，
所以 TN=AM．
又 AD∥BC，
所以 TN∥AM，且 TN=AM，
故四边形 AMNT 为平行四边形，
所以 MN∥AT．
因为 AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以 MN∥平面PAB．
（2） 因为 PA⊥平面ABCD，N 为 PC 的中点，
所以 N 到平面 ABCD 的距离为 12PA．
取 BC 的中点 E，连接 AE．
因为 AB=AC=3，
所以 AE⊥BC，AE=AB2−BE2=5．
因为 AM∥BC，
所以点 M 到 BC 的距离为 5，
故 S△BCM=12×4×5=25．
所以四面体 N−BCM 的体积 VN−BCM=13×12PA⋅S△BCM=453．