2022届高考数学二轮专题测练-球的表面积与体积

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-球的表面积与体积，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 半径为 2 的球的表面积为
A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π

2. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于
A. 3B. 2C. 1D. 12

3. 已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的所有顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
A. 4π3B. 2πC. 4πD. 32π3

4. 已知球 O 与各条棱长均为 4 的四面体的各棱都相切，则球 O 的表面积为
A. 8πB. 823πC. 32πD. 24π

5. 已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙O1 为 △ABC 的外接圆．若 ⊙O1 的面积为 4π，AB=BC=AC=OO1，则球 O 的表面积为
A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π

6. 直三棱柱 ABC−­A′B′C′ 的所有棱长均为 23，则此三棱柱的外接球的表面积为
A. 12πB. 16πC. 28πD. 36π

7. 体积相等的球和正方体的表面积的大小关系是
A. S球>S正方体B. S球=S正方体C. S球
8. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为
A. 1:3B. 1:3C. 1:33D. 1:9

9. 用与球心距离为 2 的平面去截球，所得的截面面积为 π，则球的体积为
A. 20π3B. 205π3C. 205πD. 100π3

10. 若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm2，则此球的体积为
A. π6 cm3B. 6π8 cm3C. 4π3 cm3D. 6π6 cm3

11. 长、宽、高分别为 2，3，5 的长方体的外接球的表面积为
A. 4πB. 12πC. 24πD. 48π

12. 若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. πB. 7π3C. 11π3D. 5π

13. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经 90∘ 榫卯起来．若正四棱柱的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为
A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π

14. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=BC=1，∠ABC=120∘，AA1=23，则球 O 的表面积为
A. 4πB. 8πC. 16πD. 24π

15. 设 A，B，C，D 是球 O 的球面上的四点，△ABC 的三边长度依次为 3，4，5，四面体 ABCD 的体积的最大值为 25，则球 O 的表面积为
A. 225πB. 196πC. 169πD. 144π

16. 三棱锥 S−ABC 中，SA⊥底面ABC，若 SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为
A. 18πB. 21π2C. 21πD. 42π

17. 已知 △ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为
A. 3B. 32C. 1D. 32

18. 已知边长为 1 的正方体内接于半球体，即正方体的顶点中，有四点在球面上，另外四点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为
A. 16π3B. 6πC. 6π2D. 46π

19. 木星的体积约是地球体积 24030 倍，则它的表面积约是地球表面积的
A. 60 倍B. 6030 倍C. 120 倍D. 12030 倍

20. 设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为 93，则三棱锥 D−ABC 体积的最大值为
A. 123B. 183C. 243D. 543

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如果两个球的体积之比为 8:27，那么两个球的表面积之比为 ．

22. 正六棱柱的底面边长为 4，高为 6，则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为 ．

23. 已知三棱锥 A−BCD 中，AB，AC，AD 两两相互垂直，且 AB=3，AC=4，AD=12，则三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为 ．

24. 已知圆柱的高为 25，侧面积为 85π，它的两个底面的圆周在球心为 O，半径为 R 的同一个球的球面上，则该球 O 的表面积为 ．

25. 一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为 4 cm，则球的体积为 cm3．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 若球的表面积扩大为原来的 4 倍，则它的体积扩大为原来的几倍?

27. 已知三个球的表面积之比是 1:2:3，求这三个球的体积之比．

28. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），求球取出后，容器中水面的高度．（精确到 0.1 cm）

29. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是 6 cm，圆柱筒长 2 cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少 cm3（结果精确到 0.1）?
（2）要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶 100 克，共需胶多少?

30. 某街心花园有许多钢球（钢的密度为 7.9 g/cm3 ），每个钢球重 145 kg，并且外径等于 50 cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的．如果是空心的，请你计算出它的内径．（ π 取 3.14，结果精确到 1 cm，2.243≈11.24098 ）
答案
第一部分
1. D【解析】因为球的半径为 r=2，
所以该球的表面积为 S=4πr2=16π．
2. A【解析】设球的半径为 R，则 4πR2=43πR3，所以 R=3．
3. A【解析】因为正四棱柱的底面边长为 1，侧棱长为 2，
所以正四棱柱体对角线的长为 1+1+2=2，
又因为正四棱柱的顶点在同一球面上，
所以正四棱柱体对角线怡好是球的一条直径，得球半径 R=1，
根据球的体积公式，得此球的体积为 V=43πR3=43π．
4. A【解析】将四面体补成正方体 ABCD，
所以正四面体 ABCD 的棱为正方体的面上对角线，
因为正四面体的棱长为 4，
所以正方体的棱长为 22，
因为球 O 与正四面体的各棱长都相切，
所以球 O 的直径为正方体的棱长为 22，
所以球的半径为 2，球 O 的表面积 S=2πr2=4π⋅2=8π．
5. A
【解析】由题意可知图形如图：
⊙O1 的面积为 4π，可得 O1A=2，
则 32AO1=ABsin60∘，32AO1=32AB，
所以 AB=BC=AC=OO1=23，
外接球的半径为：R=AO12+OO12=4，
球 O 的表面积：4×π×42=64π．
故选：A．
6. C【解析】由直三棱柱的底面边长为 23，
得底面所在平面截其外接球所成的圆 O 的半径 r=2，
又由直三棱柱的侧棱长为 23，
则球心到圆 O 的球心距 d=3，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径 R 满足：R2=r2+d2=7，
所以外接球的表面积 S=4πR2=28π．
7. C
8. C【解析】设正方体的棱长为 a，则其内切球的半径为 a2，
所以 V内=43πa23−πa36，
正方体的外接球的半径为 32a，
所以 V外=43π32a3=33πa36，
所以 V内:V外=1:33．
9. B【解析】用平面去截球所得截面的面积为 π，
所以截面圆的半径为 1，
已知球心到该截面的距离为 2，
所以球的半径为 r=12+22=5，
所以球的体积为 V=43π×53=205π3．
10. A
【解析】设球的半径为 R cm，正方体棱长为 a cm，
所以 6a2=6，
所以 a=1 cm，即 2R=1，
所以 R=12 cm，
所以球的体积 V=43πR3=43π×123=π6 cm3．
11. B【解析】长方体的体对角线即为外接球的直径 2R，
因为长方体的长、宽、高分别为 2，3，5，
所以 2R2=22+32+52=12，R2=3，
所以外接球的表面积为 4πR2=12π．
12. B【解析】画出其立体图形：
因为直三棱柱的所有棱长都为 1，且每个顶点都在球 O 的球面上，
设此直三棱柱两底面的中心分别为 O1，O2，则球心 O 为线段 O1O2 的中点，
设球 O 的半径为 R，在 △A1B1C1 中 A1O1 是其外接圆半径 r，
由正弦定理可得：2r=1sin60∘，r=1232=33，即 A1O1=33．
在 Rt△A1O1O 中，A1O2=A1O12+O1O2=332+122=13+14=712．
所以球 O 的表面积 S=4πR2=4π×712=7π3．
13. A【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，
即为 12×36+4+1=412，
所以该球形容器体积的最小值为：4π×4122=41π．
故选：A．
14. C【解析】在 △ABC 中，AB=BC=1，∠ABC=120∘，
由余弦定理有 AC=3，
直三棱柱外接球的球心 O 位于上，下底外心 O1，O2 连线的中点处，
在 △ABC 中，设其外接圆的外径为 r，
则 3sin120∘=2r，即 r=1，
在 Rt△OO2B 中，OO2=3，
所以 OB2=OO22+r2=32+1=4，即球的半径 R=2，
所以球的表面积 S=4πR2=16π，故选C．
15. C
【解析】设球 O 的半径为 r，球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，
则 13×12×3×4×r+d=25，
所以 r+d=252，
因为 522+d2=r2，联立解得 r=132，
所以球 O 的表面积为 4π⋅1322=169π．
16. C【解析】由于 AB=BC=AC=3，则 △ABC 是边长为 3 的等边三角形，
由正弦定理知，△ABC 的外接圆半径 r 满足：2r=3sinπ3=23，
由于 SA⊥底面ABC，所以该三棱锥的外接球半径 R 满足 2R=SA2+2r2=21，
所以三棱锥 S−ABC 的外接球的表面积为 4πR2=π×2R2=21π．
17. C
18. C
19. C
20. B
第二部分
21. 4:9
【解析】因为 V1:V2=8:27=R13:R23，
所以 R1:R2=2:3，
所以 S1:S2=R12:R22=4:9．
22. 100π
【解析】依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，
所以其半径等于 42+622=5，其表面积等于 4π×25=100π．
23. 169π
【解析】由 AB，AC，AD 两两垂直可知，可以将三棱锥 A−BCD 补成如图所示的长方体，
此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
设半径为 R，则 2R=9+16+144=13，
所以 R=132，
所以球的表面积为 S=4πR2=4π×1694=169π．
24. 36π
【解析】设圆柱的底面半径为 r，
因为圆柱的高为 25，侧面积为 85π，所以 2πr×25=85π，
得 r=2，
又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，如图，
所以该球的半径 R 满足 R2=22+52=9，
则该球的表面积为 4πR2=36π．
25. 500π3
【解析】如图所示，
由已知得 O1A=3 cm，OO1=4 cm，从而 R=OA=5 cm，
所以 V球=4π3×53=500π3cm3．
第三部分
26. 设球原来的半径为 r，现在的半径为 R，
则原来的表面积为 4πr2，现在的表面积为 4πR2，4πR24πr2=4，则 R=2r，
原来的体积为 V原来=43πr3，现在的体积为 V现在=43πR3=8⋅43πr3=8V原来，
所以它的体积扩大为原来的 8 倍．
27. 1:22:33．
28. 8.3 cm．
29. （1） 因为该“浮球”的圆柱筒直径 d=6 cm，
所以半球的直径也是 6 cm，可得半径 R=3 cm，
所以两个半球的体积之和为 V球=43πR3=43π⋅27=36π cm3，
而 V圆柱=πR2⋅h=π×9×2=18π cm3，
所以该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6 cm3．
（2） 根据题意，上下两个半球的表面积是 S球表=4πR2=4×π×9=36π cm2，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π cm2，
所以 1 个“浮球”的表面积为 S=36π+12π104=48104π cm2，
因此，2500 个“浮球”的表面积的和为 2500S=2500×48104π=12π cm2，
因为每平方米需要涂胶 100 克，
所以总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）．
30. 由于外径为 50 cm 的钢球的质量为 7.9×43π×5023≈516792g，
街心花园中钢球的质量为 145000 g，而 145000<516792，
所以钢球是空心的，
设球的内径为 2x cm，那么球的质量为
7.9×43π×5023−43πx3=145000，
解得 x3≈11240.98，
所以 x≈22.4，2x≈45cm，
即钢球是空心的，其内径约为 45 cm．