2022届高考数学二轮专题测练-圆柱的表面积与体积

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-圆柱的表面积与体积，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都可以相同的几何体的序号是
A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（4）

2. 若底面半径为 1 的圆柱的表面积为 6π，则此圆柱的母线长为
A. 2B. 3C. 5D. 17

3. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S，那么圆柱的体积等于
A. S2SB. S2SπC. S4SD. S4Sπ

4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 4πB. 3πC. 2πD. π

5. 已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为
A. 4πB. π4C. π2D. 2π

6. 甲乙两人分别利用一张长 20 cm，宽 15 cm 的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱
A. 体积相等B. 用 20 cm 作为高的体积大
C. 用 15 cm 作为高的体积大D. 以上均不对

7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π

8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. 8π3B. 10π3C. 14π3D. 10π

9. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为
A. 122πB. 12πC. 82πD. 10π

10. 如图所示的几何体，其表面积为 5+5π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为 5，则该几何体的主视图的面积为
A. 4B. 6C. 8D. 10

11. 如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体，当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为 20 cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为
A. 29 cmB. 30 cmC. 32 cmD. 48 cm

12. 一个圆柱的三视图如图所示，则该圆柱的体积为
A. πB. 2πC. 3πD. 4π

13. 一个圆柱形的罐子半径是 4 米，高是 9 米，将其水平躺倒，并在其中注入深 2 米的水，截面如图所示，水的体积是 立方米．
A. 24π−243B. 36π−363C. 36π−243D. 48π−363

14. 如图，正方体 ABCD−A′B′C′D′ 的棱长为 4，动点 E，F 在棱 AB 上，且 EF=2，动点 Q 在棱 D′C′ 上，则三棱锥 A′−EFQ 的体积
A. 与点 E，F 位置有关
B. 与点 Q 位置有关
C. 与点 E，F，Q 位置都有关
D. 与点 E，F，Q 位置均无关，是定值

15. 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 313 寸，容纳米 2000 斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面圆周长约为
A. 1 丈 3 尺B. 5 丈 4 尺C. 9 丈 2 尺D. 48 丈 6 尺

16. 设直线 x=t 与函数 fx=x2,gx=lnx 的图象分别交于点 M,N，则当 ∣MN∣ 达到最小时 t 的值为
A. 1B. 12C. 52D. 22

17. 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是 5，则它的侧面积是
A. πB. 5πC. 10πD. 20π

18. 若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为
A. 1B. 12C. 32D. 34

19. 已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在半径为 2 的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为
A. 43B. 916C. 34D. 169

20. 一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数 y=2x1+x2x>0 的图象上，如图所示，则此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是
A. πB. π3C. π4D. π2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 用一块长 4 m，宽 2 m 的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒，则可制作的铁筒的最大体积为 ．

22. 用一张长为 12 米，宽为 8 米的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为 ．

23. 在 xOy 平面上，将双曲线的一支 x29−y216=1（x>0）及其渐近线 y=43x 和直线 y=0，y=4 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为 Ω．过 0,y（0≤y≤4）作 Ω 的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出 Ω 的体积为 ．

24. 圆柱的底面半径是 6，高是 10，平行于轴的截面在底面上截得的弦长等于 2 倍底面的半径，则圆柱被截得两部分中体积比较大的体积是 ．

25. 已知函数 fx=ax−lnx，gx=ex−ax，其中 a 为正实数，若 fx 在 1,+∞ 上无最小值，且 gx 在 1,+∞ 上是单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知侧面积为 27 的正三棱柱的侧棱恰好是某个圆柱的三条母线，且这个圆柱的底面半径为 2，求这个圆柱的表面积．

27. 在万吨水压机上，有四根圆柱形钢柱，高 18 米，内径 0.4 米，外径 1 米，求这四根钢柱的质量．（结果精确到 1 吨，钢的密度为 7.9 克/立方厘米）

28. 有甲、乙两个容器，甲容器为圆柱形，高为 20 cm，底面半径为 10 cm，乙容器为倒置圆锥形，其高为 20 cm，底面半径为 203 cm，若甲容器装满水，再将其中一部分倒入乙容器，使两个容器内液面等高，求此时液面的高度．

29. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是 6 cm，圆柱筒长 2 cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少 cm3（结果精确到 0.1）?
（2）要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶 100 克，共需胶多少?

30. 已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?
答案
第一部分
1. D
2. A【解析】设圆柱的母线长为 l，则由题意得 2π×12+2π×1×l=6π，解得 l=2．
3. D
4. C
5. B
【解析】设正方体的棱长为 a，则圆柱的高为 a，设圆柱的底面半径为 R，
则正方体的侧面积为 4a2，圆柱的侧面积为 2πR⋅a，
所以 4a2=2πRa，所以 R=2aπ，
所以正方体和圆柱的体积之比为 a3πR2⋅a=a3πa⋅2aπ2=π4．
6. C
7. C
8. C【解析】根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，
圆锥的求半径为 2，高为 2，圆柱的底面半径为 1，高为 2．
所以
V=V1+V2=13×π×22×2+π×12×2=14π3.
9. B
10. B
11. A【解析】图（2）和图（3）中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为 h，则有 π×12h−20=π×32h−28，解得 h=29cm．
12. C
13. D【解析】由已知中罐子半径是 4 米，水深 2 米，
故截面中阴影部分的面积 S=13π×42−34×42=16π3−43 平方米，
又由圆柱形的罐子的高 h=9 米，
故水的体积 V=Sh=48π−363 立方米，
故选：D．
14. D【解析】因为 VAʹ−EFQ=VQ−AʹEF=13×12×EF×AAʹ×AʹDʹ=163 等，所以其体积为定值，与点 E，F，Q 位置均无关．
15. B
【解析】设圆柱底面半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为 V=πr2h=2000×1.62≈3×r2×13.33，所以 r2≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为 2πr≈54，54尺=5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺．
16. D【解析】由题可得 ∣MN∣=x2−lnx x>0，不妨令 hx=x2−lnx，则 hʹx=2x−1x，令 hʹx=0 解得 x=22．
因为当 x∈0,22 时，hʹx0，
所以当 x=22 时，∣MN∣ 达到最小，即 t=22．
17. B【解析】因为圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是 5，
所以圆柱的母线长为 5，底面圆的直径为 5，
所以圆柱的侧面积 S=π×5×5=5π．
18. D【解析】设圆柱的底面半径为 R，圆锥的底面半径 r，高都为 h，由已知得 2Rh=rh，所以 r=2R，V柱:V锥=πR2h:13πr2h=3:4．
19. D【解析】如图所示，
圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上，
所以该圆柱底面圆周半径为 r=22−12=3，
所以该圆柱的体积为：V=Sh=π×32×2=6π，
又因为球的体积为：43πR3=43π×23=32π3；
所以球的体积与圆柱的体积的比值：32π36π=169．
20. A
【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．
设矩形的一条边所在直线为 y=aa>0，Cx1,y1，Dx2,y2．
联立 y=a 与 y=2x1+x2x>0 得，ax2−2x+a=0，
由此可得 x1+x2=2a，x1x2=1．
所以 ∣x1−x2∣=2a1−a2，
即圆柱的高为 2a1−a2，圆柱的底面半径为 a，
所以其体积为 πa2×2a1−a2=2πa2−a4=2πa21−a2≤2π⋅a2+1−a22=π，
当且仅当 a2=1−a2，即 a=22 时，其体积有最大值 π．
第二部分
21. 8π m3
22. 288πcm3 或 192πcm3．
23. 36π
【解析】在 xOy 平面上，将双曲线的一支 x29−y216=1（x>0）及其渐近线 y=43x 和直线 y=0，y=4 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．
则直线 y=a 与渐近线 y=43x 交于一点 A34a,a 点，与双曲线的一支 x29−y216=1（x>0）交于 B34a2+16,a 点，
记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为 Ω．
过 0,y（0≤y≤4）作 Ω 的水平截面，
则截面面积 S=π34a2+162−34a2=9π，
利用祖暅原理得 Ω 的体积相当于底面面积为 9π 高为 4 的圆柱的体积，
所以 Ω 的体积 V=9π×4=36π．
24. 270π+180
25. 1,e
【解析】因为 fx=ax−lnx（x>0），
所以 fʹx=a−1x=ax−1x（x>0），
若 fx 在 1,+∞ 上无最小值，
则 fx 在 1,+∞ 上单调，
所以 fʹx≥0 在 1,+∞ 上恒成立或 fʹx≤0 在 1,+∞ 上恒成立，
所以 a≥1x 或 a≤1x，
而函数 y=1x 在 1,+∞ 上单调递减，
且 x→1 时，y→1，x→+∞ 时，y→0，
所以 a≥1 或 a≤0，
而 a 为正实数，故 a≥1. ⋯⋯①
因为 gx=ex−ax，
所以 gʹx=ex−a，
因为函数 gx=ex−ax 在区间 1,+∞ 上单调递增，
所以 gʹx=ex−a≥0 在区间 1,+∞ 上恒成立，
所以 a≤ex 在区间 1,+∞ 上恒成立．
而 ex>e，
所以 a≤e. ⋯⋯②
由①②得 a∈1,e．
第三部分
26. 63+8π．
27. 约 375 吨．
28. 设液面高度为 h，则甲容器内水的体积为 V1=100πh．
设乙容器内水形成的小圆锥的底面半径为 r，
由 r203=h20，得 r=3h．
于是乙容器内水的体积为 V2=π33h2⋅h=πh3．
又甲容器容积为 V=π⋅102⋅20=2000π，
由 V1+V2=V，得 100πh+πh3=2000π，
解得 h=10．
因此，液面的高度为 10 cm．
29. （1） 因为该“浮球”的圆柱筒直径 d=6 cm，
所以半球的直径也是 6 cm，可得半径 R=3 cm，
所以两个半球的体积之和为 V球=43πR3=43π⋅27=36π cm3，
而 V圆柱=πR2⋅h=π×9×2=18π cm3，
所以该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6 cm3．
（2） 根据题意，上下两个半球的表面积是 S球表=4πR2=4×π×9=36π cm2，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π cm2，
所以 1 个“浮球”的表面积为 S=36π+12π104=48104π cm2，
因此，2500 个“浮球”的表面积的和为 2500S=2500×48104π=12π cm2，
因为每平方米需要涂胶 100 克，
所以总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）．
30. 设圆柱的底面半径为 r，则 S侧=2πrh，R2=h24+r2，
所以，S侧=2π⋅2⋅h2⋅r≤2πh22+r2=2πR2，
当且仅当 h2=r 时取等号，即内接圆柱底面半径为 22R，高为 2R 时，S侧 最大，最大值为 2πR2．