2022届高考数学二轮专题测练-棱锥的结构特征

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-棱锥的结构特征，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为
A. B.
C. D.

2. 下面的描述中，不正确的是
A. 三棱锥有四个面是三角形
B. 棱锥都有两个面是互相平行的多边形
C. 棱锥的侧面都是三角形
D. 锥的侧棱交于一点

3. 在四面体 P−ABC 的四个面中，是直角三角形的至多有
A. 0 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 一个几何体的各个面均是三角形，则该几何体可能是
A. 棱台B. 棱柱C. 棱锥D. 圆锥

5. 下面图形中，为棱锥的是
A. ①③B. ①③④C. ①②④D. ①②

6. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥

7. 已知 P 是 △ABC 所在平面外的一点，点 P 与 AB，AC，BC 的距离相等，且点 P 在 △ABC 上的射影 O 在 △ABC 内，则 O 一定是 △ABC 的
A. 内心B. 外心C. 重心D. 中心

8. 有下面五个命题：①各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③底面是正方形的棱锥是正四棱锥；④正四面体就是正四棱锥；⑤顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面
A. 必定都不是直角三角形B. 至多有一个直角三角形
C. 至多有两个直角三角形D. 可能都是直角三角形

10. 点 P 在平面 ABC 外，若 PA=PB=PC，则点 P 在平面 ABC 上的射影是 △ABC 的
A. 外心B. 重心C. 内心D. 垂心

11. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥

12. 已知在三棱锥 P−ABC 中，VP−ABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面 PAC⊥ 平面 PBC，那么三棱锥 P−ABC 外接球的体积为
A. 4π3B. 82π3C. 123π3D. 32π3

13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是
A. 最长棱的棱长为 6
B. 最长棱的棱长为 3
C. 侧面四个三角形都是直角三角形
D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形

14. 在平行四边形 ABCD 中，∠BAD=π3，点 E 在 AB 边上，AD=AE=12AB=1，将 △ADE 沿直线 DE 折起成 △AʹDE，F 为 AʹC 的中点，则下列结论正确的是
A. 直线 AʹE 与直线 BF 共面B. BF=12
C. △AʹEC 可以是直角三角形D. AʹC⊥DE

15. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱与最短棱所成角的余弦值为
A. 2929B. 12C. 23D. 22929

16. 在等腰直角 △ABC 中，AB⊥AC，BC=2，M 为 BC 中点，N 为 AC 中点，D 为 BC 边上一个动点，△ABD 沿 AD 翻折使 BD⊥DC，点 A 在面 BCD 上的投影为点 O，当点 D 在 BC 上运动时，以下说法错误的是
A. 线段 NO 为定长B. CO∈1,2
C. ∠AMO+∠ADB>180∘D. 点 O 的轨迹是圆弧

17. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为
A. 5B. 22C. 23D. 13

18. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
A. 1 cm3B. 3 cm3C. 5 cm3D. 7 cm3

19. 某空间几何体的三视图如图所示，图中方格小正方形边长为 1，则该几何体的表面积为
A. 2π3B. 52π+2C. 5+12π+2D. 5+1π+2

20. 下列说法中，正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行．
A. ①B. ①②C. ②D. ③

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 将如图所示的 Rt△ACB 绕直角边 AC 旋转一周，所得的几何体是 ．

22. 如图，正三棱锥 P−ABC 的底面边长为 a，高 PO 为 h，它的侧棱 PA 的长为 ，斜高 PD 的长为 ．

23. 如果三棱锥 A−BCD 的底面 BCD 是正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上的射影是 △BCD 的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
①正三棱锥所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱（如棱 AB 与 CD）不垂直；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥所有棱长均为 22，则该棱锥外接球的表面积等于 12π；
⑤若正三棱锥 A−BCD 的侧棱长均为 2，一个侧面的顶角为 40∘，过点 B 的平面分别交侧棱 AC，AD 于 M，N，则 △BMN 周长的最小值等于 23．
以上结论正确的是 （写出所有正确命题的序号）．

24. 给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．
其中不正确的命题为 ．

25. 如图，在棱长为 2 的正四面体 A−BCD 中，E，F 分别为直线 AB，CD 上的动点，且 ∣EF∣=3．若记 EF 中点 P 的轨迹为 L，则 ∣L∣ 等于 ．（注：∣L∣ 表示 L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，∣L∣ 分别对应长度、面积、体积．）

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 判断如图所示的几何体是否为锥体，并说明理由．

27. 已知正三棱锥 V−ABC 中，VA=AB=1，VO 为正三棱锥的高，D 为 BC 的中点，连接 OD，OB．求 VO，OD，OB，VD 的长．

28. 如图，在正方体各顶点处割去一个三棱锥，使三棱锥的底面三角形的顶点为正方体各棱的中点（例如顶点 A1 处割去了三棱锥 A1−EFG，E，F，G 分别为 A1A，A1B1，A1D1 的中点），试问所得到的几何体有多少个面?多少个顶点?多少条棱?

29. 已知正四棱锥 V−ABCD，底面面积为 16，侧棱长为 211，计算它的高和斜高．

30. 已知正四棱锥的底面面积为 4，—条侧棱长为 11，求它的高与斜高．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】棱锥的的所有侧面交于一点，不可能平行，而底面也不可能与它们平行，所有B错误.
3. D【解析】如图，
PA⊥平面ABC，CB⊥AB，
则 CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．
4. C【解析】如三棱锥，其四个面均为三角形．
5. C
【解析】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．
6. D
7. A【解析】如图，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交 AB，AC，BC 于点 D，E，F．
O 是点 P 在平面 ABC 内的射影，连接 OD，OE，OF．
因为点 P 到 AB，AC，BC 的距离相等，且 PO⊥平面ABC，
所以 PD=PE=PF，PO=PO=PO，
又因为 ∠POD=∠POE=∠POF=90∘，
所以 OD=OE=OF，
因为 PO⊥AB，PD⊥AB，且 PD∩PO=P．
所以 AB⊥平面POD，所以 AB⊥OD．
同理可证得 OF⊥BC，OE⊥AC．
又因为 OD=OE=OF，所以点 O 到三角形三边的距离相等，
故点 O 为 △ABC 的内心．
8. A【解析】命题①中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，
故不是正棱锥，如图（1）中的三棱锥 S−ABC，可令 SA=SB=BC=AC=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；
命题②中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如图（2）中的三棱锥 P−DEF，可令 PD=PE=PF=1，DE=DF=2，EF=1，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；
命题③中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如图（3），从正方体中截取一个四棱锥 D1−ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；
命题④中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有 4 个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；
命题⑤中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．
9. D【解析】如果一个三棱锥的底面是直角三角形，如图，
AB⊥面BCD，BC⊥CD，DC⊥AC，
那么它的三个侧面都是直角三角形．
10. A
【解析】设点 P 作平面 ABC 的射影 O，
由题意：PA=PB=PC，
因为 PO⊥底面ABC，
所以 △PAO≌△POB≌△POC，
即：OA=OB=OC．
所以 O 为三角形的外心．
11. D
12. D【解析】
取 PC 的中点 O，连接 AO,BO，设球半径为 R，则 PC=2R,PB=R,BC=3R．
又 AO=R，且由已知条件知 AO⊥ 平面 PBC，所以由体积可得 VP−ABC=13×12×R×3R× R=433，解得 R=2，所以三棱锥 P−ABC 外接球的体积为 43π R3=32π3 .
13. C【解析】根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图 S−ABCD（如图所示）：
由图可知，SA=AD=2，AB=BC=1，SA⊥面ABCD，AD⊥面SAB，AD∥BC，
所以 Rt△SAB，Rt△SAD，Rt△SBC 中，SB=5，SC=6，SD=22，CD=2，
所以 SC2+CD2=SD2，
所以 △SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是 22，侧面都是直角三角形．
14. C【解析】如图，
因为 B，C，E，Aʹ 四点不共面，所以 E⊄面AʹBC，故直线 AʹE 与直线 BF 不共面；
△ADE 沿直线 DE 折起成 △AʹDE，位置不定，当 面AʹDE⊥面BCDE，此时 BF≠12；
取 DE 中点，连接 AʹG，CG，则 AʹG⊥DE，若有 AʹC⊥DE，则 DE⊥面AʹCG，
即有 DE⊥CG，在 Rt△DGC 中，CD=2，DG=12，∠CDE=60∘ 明显不可能，故不符合；
在 △AʹEC 中，AʹE=1，CE=3，而 AC=7>2，所以当 AʹC=2 时，△AʹEC 可以是直角三角形；
15. D
【解析】由三视图知，该几何体是 侧棱PA⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：
其中底面四边形 ABCD 是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，
最长的棱为 PC=22+32+42=29，
最短的棱为 CD=AB=2，
因为 PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
所以 PA⊥CD，
又矩形 ABCD 中，CD⊥AD，且 PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，
所以 CD⊥平面PAD，
因为 AD⊂平面PAD，
所以 CD⊥AD，
所以 PC 与 CD 所成角的余弦值为 CDPC=229=22929．
16. C
17. C
18. D
19. C
20. B
【解析】由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错．
第二部分
21. 圆锥
22. 9h2+3a23，36h2+3a26
【解析】因为正三棱锥 P−ABC 的底面边长为 a，O 为 △ABC 的中心，
所以 AO=33a，DO=36a．
在 Rt△APO 中，根据勾股定理得
AP=PO2+OA2=h2+33a2=9h2+3a23.
在 Rt△POD 中，根据勾股定理得
PD=PO2+OD2=h2+36a2=36h2+3a26.
23. ③④⑤
【解析】①正三棱锥所有侧棱长都相等，底边长都相等，故不正确；
②正三棱锥顶点 A 在底面 BCD 上的射影是 △BCD 的中心，故对棱（如棱 AB 与 CD）垂直，故不正确；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和等于此正四面体的高，为定值，故正确；
④若正三棱锥所有棱长均为 22，则该棱锥外接球半径为 3，表面积等于 12π，正确；
⑤若正三棱锥 A−BCD 的侧棱长均为 2，一个侧面的顶角为 40∘，过点 B 的平面分别交侧棱 AC，AD 于 M，N，则 △BMN 周长的最小值等于 22+22−2×2×2×−12=23，故正确．
24. ①②③
【解析】对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；
对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错；
对于③，若底面不是矩形，则③错；
④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．
综上，命题①②③不正确．
25. π
第三部分
26. 因为棱锥各侧面有一个公共顶点，但图中侧面 ABC 与侧面 CDE 没有公共顶点，故该几何体不是锥体
27. OD=32×13=36；OB=32×23=33；VO=VB2−VO2=1−332=63；VD=VO2+OD2=32．
28. 所得到的几何体有 14 个面，12 个顶点，24 条棱．
正方体原来有 6 个面，现在 8 个顶点都被割去，因此增加了 8 个面，这样所得到的几何体一共有 14 个面；
它的棱数正好是 8 个三角形边数之和，所以一共有 24 条棱；
每个顶点引出了 4 条棱，但一条棱连接着两个顶点，设顶点数为 V，则有 4V2=24，即 V=12．
29. 如图，设 VO 为正四棱锥 V−ABCD 的高，作 OM⊥BC 于点 M，则 M 为 BC 的中点，连接 OB，VM，则 VO⊥OM，VO⊥OB，VM⊥BC．
因为底面正方形 ABCD 的面积为 16，
所以 BC=4，BM=OM=2，OB=BM2+OM2=22+22=22．
又 VB=211，在 Rt△VOB 中，由勾股定理可得 VO=VB2−OB2=2112−222=6．
在 Rt△VOM （或 Rt△VBM ）中，由勾股定理可得 VM=62+22=210 （或 VM=2112−22=210 ）．
所以正四棱锥的高为 6，斜高为 210．
30. 如图所示，
由题意正四棱锥的底面面积为 4，可得 AB=2．
所以 AO=2，OF=1．
因为 △AOE，△OEF 都是直角三角形，侧棱 AE=11，
所以高 OE=3，
所以斜高 EF=10．