2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面垂直关系的性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面垂直关系的性质，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 不确定

2. 垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是
A. 垂直B. 平行C. 直线在平面内D. 无法确定

3. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l．若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则
A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n

4. ABCD−A1B1C1D1 为正方体，下列结论错误的是
A. BD∥平面CB1D1B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1D. AC1⊥BD1

5. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是
A. m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n
B. α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β
C. α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
D. m∥α，n⊂α⇒m∥n

6. 在下列四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是
A. B.
C. D.

7. 如图，P 为 △ABC 所在平面 α 外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则 △ABC 的形状为
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定

8. 如果 PA，PB，PC 两两垂直，那么点 P 在平面 ABC 内的投影一定是 △ABC
A. 重心B. 内心C. 外心D. 垂心

9. 已知三棱锥 P−ABC 的高为 PO，O 为垂足，若 P 到底面 △ABC 三边所在的直线的距离相等，则 O（假设 O 在 △ABC 内部）是 △ABC 的
A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心

10. BC 是 Rt△ABC 的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC 于 D 点，则图中共有直角三角形的个数是
A. 8 个B. 7 个C. 6 个D. 5 个

11. 已知函数 fx=x2−ln|x|，则函数 y=fx 的大致图象是
A. B.
C. D.

12. 如图所示，点 P 是 △ABC 所在平面外一点，PA 、 PB 、 PC 两两垂直，且 PO⊥ 平面 ABC 于点 O，则点 O 是 △ABC 的
A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心

13. 将菱形 ABCD 沿 AC 折起，则
A. AC⊥BDB. AD⊥ABC. AD⊥BCD. BC⊥BD

14. 空间四边形 ABCD 中，平面ABD⊥平面BCD，且 DA⊥平面ABC，则 △ABC 的形状是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定

15. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC，动点 P∈l，当点 P 逐渐远离点 A 时，∠PCB 的大小
A. 变大B. 变小
C. 不变D. 有时变大有时变小

16. 已知圆 x+22+y2=9 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N2,0，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线

17. 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有
A. 18 对B. 24 对C. 30 对D. 36 对

18. 已知 平面α 与 平面β 相交，直线m⊥α，则
A. β 内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直
B. β 内不一定存在直线与 m 平行，但不一定存在直线与 m 垂直
C. β 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直
D. β 内必存在直线与 m 平行，也不一定存在直线与 m 垂直

19. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1，点 E，F，G 分别
是线段 B1B，AB 和 A1C 上的动点，观察直线 CE 与 D1F，CE 与 D1G．给出下列结论：
①对于任意给定的点 E，存在点 F，使得 D1F⊥CE；
②对于任意给定的点 F，存在点 E，使得 CE⊥D1F；
③对于任意给定的点 E，存在点 G，使得 D1G⊥CE；
④对于任意给定的点 G，存在点 E，使得 CE⊥D1G．
其中正确结论的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

20. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 AC1 上有两个动点 E，F，且 EF=33．给出下列四个结论：
① CE⊥BD；
② 三棱锥 E−BCF 的体积为定值；
③ △BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形
④ 在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA1 平行的直线
其中，正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 在 Rt△ABC 中，D 是斜边 AB 的中点，AC=6，BC=8，EC⊥平面ABC 且 EC=12，则 ED= ．

22. 如图，PA⊥平面ABC，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，则图中直角三角形的个数是 ．

23. 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，点 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是 ．

24. 在三棱锥 P−ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O .
（1）若 PA=PB=PC，则点 O 是 △ABC 的 心；
（2）若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是 △ABC 的 心．

25. 在棱长为 23 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，正方形 BCC1B1 所在平面内的动点 P 到直线 D1C1，DC 的距离之和为 4，则 PC1⋅PC 的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 在空间四边形 ABCD 中，AC=BC，AD=BD，求证：AB⊥CD．

27. 已知 P 在平面 ABC 外，满足 PA⊥BC，PB⊥AC，PO⊥平面ABC，垂足为点 O，求证：点 O 为底面 △ABC 的垂心．

28. 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形 ABCD 为矩形，BC=CE，点 F 为 CE 的中点．
（1）证明：AE∥平面BDF；
（2）点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PM⊥BE?若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

29. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．
（1）求证：B1C⊥AB；
（2）若 ∠CBB1=60∘，AC=BC，三棱锥 A−BB1C 的体积为 1，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，求三棱锥 A−BB1C 的表面积．

30. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E，F，并证明 A1E=EF=FC．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C【解析】由题意知 α∩β=l，所以 l⊂β．
因为 n⊥β，所以 n⊥l．
4. D【解析】正方体中由 BD∥B1D1，易知A正确；
由 BD⊥AC，BD⊥OC1 可易得 BD⊥平面ACC1，从而 BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得 AC1⊥B1D1，同理 AC1⊥D1C，因此 AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形 ABC1D1 不是菱形，所以 AC1⊥BD1 不正确．
5. A
【解析】对于A，若 m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定 ⇒m∥n，故正确；
对于B，若 α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为 n 不一定在平面 α 内，不能得到 n⊥β，故错；
对于C，若 α⊥β，m⊥α，n∥β，m，n 不一定垂直，故错；
对于D，若 m∥α，n⊂α，m，n 位置关系是可能平行、可能异面，故错．
6. A
7. B【解析】由 PB⊥α，AC⊂α 得 PB⊥AC，又 AC⊥PC，PC∩PB=P，所以 AC⊥平面PBC，AC⊥BC，故选B．
8. D【解析】设 P 在平面 ABC 内的投影为 O，
因为 PA，PB，PC 两两垂直，
所以 PA⊥平面PBC，
所以 PA⊥BC，
又因为 PO⊥底面ABC，
所以 PO⊥BC，
所以 BC⊥平面PAO，
所以 AO⊥BC，同理可证 BO⊥AC，CO⊥AB，
所以 O 是 △ABC 的垂心．
9. B【解析】因为 P 到 △ABC 三边所在直线的距离相等，所以 O 点到三边的距离相等，所以 O 为 △ABC 的内心．
10. A
【解析】因为 PA⊥平面ABC，
所以 PA⊥BC，
因为 PD⊥BC，PA∩PD=P，
所以 BC⊥平面PAD，所以 AD⊥BC，
图中直角三角形有 △PAC，△PAD，△PAB，△ABC，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB，共 8 个．
11. A【解析】由题意 f−x=x2−ln|−x|=fx，所以函数 fx 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除D；又 f1=12−ln1=1>0，所以排除B，C．故选A．
12. B
13. A
14. B
15. C
【解析】因为 ∠ACB=90∘，所以 AC⊥BC，又因为直线 l 垂直于平面 ABC，所以 l⊥BC，根据线面垂直的判定定理可知，BC⊥平面PAC，所以 ∠PCB=90∘，即 ∠PCB 的大小不变．
16. C【解析】PN=PA，AM=r=3，
即 PM+3=PN，
由垂直平分线知，
即 PN−PM=3