2022届高考数学二轮专题复习11直线平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直的判定定理和性质定理

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．

（1）证明：平面PAB；

（2）若点N到平面PCM的距离为，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接AC，

在中，因为，，，

所以，

因为，，所以是等边三角形．

因为点是的中点，所以，

在中，，，，

满足，所以，

而，所以平面．

（2）过点作，垂足为，

由（1）可知平面，

因为平面，

所以平面平面，平面平面，

所以平面．

由得，，

解得，

所以．

2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，．

（1）证明：平面PAC；

（2）若，求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取的中点，连接，

因为底面ABCD是梯形，，，

所以四边形为菱形，则，

所以，所以，

由已知可得，所以，所以，

因为，，所以平面PAC．

（2）因为，，所以，

所以为等腰直角三角形，

由（1）知，平面，平面，

所以平面平面，

取的中点，连接，则，

因为平面平面，平面，

所以平面，

连接，

以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的正弦值为．

3．如图，在四棱锥中，，，．

（1）证明：平面；

（2）在下面三个条件中选择两个条件：________，求点到平面的距离．①；②二面角为；③直线与平面成角为．

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．

【解析】（1）取的中点为，连接，可知四边形是平行四边形，

所以，所以点在以为直径的圆上，所以，

又，且平面，

所以平面．

（2）选①②

因为平面，所以，

又因为，所以二面角的平面角为，所以，

又因为，所以为等边三角形，

因为平面，平面，所以平面平面，

连接交于点，则为的中点，连接，则，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

所以，由题意可知，，所以，

故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

则，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，

点到平面的距离为．

选①③

因为平面，平面，所以平面平面，

易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即，

又因为，所以为等边三角形．

连接交于点，则为的中点，连接，则，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以，

由题意可知，，所以，

故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

则，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，

点到平面的距离为．

选②③

因为平面，平面，所以平面平面，

易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即，

因为平面，所以，

又因为，所以二面角的平面角为，

所以，所以为等边三角形．

连接交于点，则为的中点，连接，则，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以，

由题意可知，，所以，

故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

则，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，

点到平面的距离为．

4．如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，O为AC的中点，M为内部或边界上的动点，且平面．

（1）证明：；

（2）设直线PM与平面ABC所成角为，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在三棱锥中，连接OB，OP，

因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，O为AC中点，

所以，，

又，所以平面POB，

因为平面POB，所以．

（2）由（1）知，平面平面ABC，平面平面，

平面PAC，所以平面ABC．

又，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，则，，，，．

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

同理可求得平面PBC的法向量．

因为平面PAB，平面PBC，

所以，即，即，

所以．

又，所以．

所以，

又平面，所以是平面ABC的一个法向量，

所以，

令，，所以，

当，即时，取得最大值为，

此时取得最小值为．

注：也可以分别取PC，BC的中点E，F，先证明M在线段EF上．

5．如图，在长方体中，，点在线段AB上．

（1）证明：；

（2）当点是AB中点时，求与平面所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接，因为在长方体中，

所以有平面，平面，所以，

又因为，所以四边形是正方形，

所以，

又，所以平面，

又平面，所以．

（2）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，

当点是AB中点时，可得，

所以，，

设为平面的一个法向量，

则，即，令，可得，

所以，

又，所以，

设与平面所成角为，，

则，

即，所以与平面所成的角为．

6．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，．

（1）证明：；

（2）求点C到平面PBD的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：如图，过点A作，垂足为E，连接AC，设AC与BD交于点O．

因为底面ABCD是等腰梯形，，所以，．

又，所以，．

因为，所以，则，同理．

因为，所以，即．

因为底面ABCD，底面ABCD，所以．

又，平面PAC，所以平面PAC．

又平面PAC，所以．

（2）解：由（1）可知，，，，

所以．

又平面ABCD，所以．

因为，，所以，．

在中，，所以，

故．

设点C到平面PBD的距离为d，因为，所以，解得，

即点C到平面PBD的距离为．

2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理

1．在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，

则点即为三棱锥外接球的球心，

因为和都是边长为的正三角形，可得，

因为平面平面，，平面，平面平面，

所以平面，

又平面，所以，

又，所以四边形是边长为1的正方形，

所以外接球半径，

所以到平面的距离，

即点到平面距离的最大值为，故选D．

2．如图，在直三棱柱中，，，F为棱上一点，，连接AF，．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，延长和CB的延长线相交于点E，连接AE，

则AE为平面与底面ABC的交线，

由已知得，，，所以，

由AB、BC的长都为3，AC的长为，得，

所以，

在三角形ABE中，由余弦定理，得，

所以，所以，即，

又是直三棱柱，故平面ABC，

又平面ABC，所以，

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，．

设平面的法向量为，则，

即，不妨设，

由（1）得，，，，

设平面的法向量为，则，

即，不妨设，

设平面与平面所成锐二面角为，则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

3．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，且．

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）若，且线段SD上一点E满足平面AEC，求AE与平面SAB所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO，CO，AC．

因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，

所以，且．

则为正三角形，故，．

因为，所以为直角三角形，

所以．

又因为，所以，所以．

又因为，平面，所以平面．

又因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．

（2）解：如图，连接BD，设AC，BD的交点为F．

因为平面AEC，平面平面，

所以，所以E为线段SD中点．

因为，且O为AD中点，所以．

又因为，且，AD，平面ABCD，

所以平面ABCD．

所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

则，，．

设平面SAB的法向量为，则，

取，得，

设AE与平面SAB所成角为，

则．

4．如图，在三棱柱中，侧面底面，为的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：，且为的中点，，

又侧面底面，平面平面，且平面，

平面．

（2）解：连接，则，且，

因为平面，则，

而，，

，

因为平面，平面，，

所以，，

因为，，，平面，

且，故四边形为平行四边形，

所以，，平面，

平面，故，，

设点到平面的距离为，由，得，，

故点到平面的距离是．

5．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取的中点，连接，，

∵四边形是矩形，，，且，分别是，的中点，

∴，，，，

∴，，，

∴，∴，

∵是等边三角形，是的中点，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又平面，∴，

又，，，平面，

∴平面，

又平面，∴．

（2）设直线与平面所成角为．

连接，则，

∵，，，

∴，

设到平面的距离为，则，

∵，∴，

故到平面的距离为．

6．在四棱锥中，平面平面，，底面是梯形，，，，是边的中点．

（1）证明：；

（2）若平面与平面所成二面角为60°，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在梯形中，，，

∴，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

，

∴平面，∴，即．

（2）如图，建立空间直角坐标系，取的中点，

因为，所以，

因为平面平面，平面平面，所以平面，

设，∴，，，，

，，

设平面的一个法向量，

∴，令，可得，

平面的一个法向量，

∴，

∴．