2021年北京延庆区八达岭中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京延庆区八达岭中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若 3a=2b，则 a−ba 的值为
A. −12B. 12C. −13D. 13

2. 正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 cs∠AOB 的值为
A. 55B. 255C. 12D. 2

3. 在下列命题中，真命题是
A. 两个钝角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似D. 两个等边三角形一定相似

4. 已知：如图， △ABC 内接于 ⊙O ， AD 是 ⊙O 的直径， ∠ABC=30∘ ，则 ∠CAD 等于 ．
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

5. 将抛物线 y=x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得到的抛物线为
A. y=x+32+5B. y=x−32+5
C. y=x+52+3D. y=x−52+3

6. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，若 ∠ABC=40∘，则 ∠AOC 的度数为
A. 20∘B. 40∘C. 60∘D. 80∘

7. 已知 ⊙O 的直径为 8 cm，P 为直线 l 上一点，OP=4 cm，那么直线 l 与 ⊙O 的公共点有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 1 个或 2 个

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为 0,2，动点 A 以每秒 1 个单位长的速度从点 O 出发沿 x 轴的正方向运动，M 是线段 AC 的中点，将线段 AM 以点 A 为中心，沿顺时针方向旋转 90∘ 得到线段 AB．连接 CB．设 △ABC 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则下列图象中，能表示 S 与 t 的函数关系的图象大致
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，这是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积为 平方米．

10. 老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式 ．

11. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦 AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 π）

12. 如图，在 △OA1B1 中，∠OA1B1=90∘，OA1=A1B1=1．以 O 为圆心，OA1 为半径作扇形 OA1B2，A1B2 与 OB1 相交于点 B2，设 △OA1B1 与扇形 OA1B2 之间的阴影部分的面积为 S1；然后过点 B2 作 B2A2⊥OA1 于点 A2，又以 O 为圆心，OA2 为半径作扇形 OA2B3，A2B3 与 OB1 相交于点 B3，设 △OA2B2 与扇形 OA2B3 之间的阴影部分面积为 S2；按此规律继续操作，设 △OAnBn 与扇形 OAnBn+1 之间的阴影部分面积为 Sn，则 S1= ；Sn= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为 34.54 米；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点 B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆上的一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A 、点 S 三点共线）．经测量：AB=1.2 米，BC=1.6 米．
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．（π 取 3.14，结果精确到 0.1 米）

14. 计算：2sin45∘+2cs60∘−3tan60∘+18．

15. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过 O0,0，M1,1 和 Nn,0 n≠0 三点．
（1）若该函数图象顶点恰为点 M，写出此时 n 的值及 y 的最大值；
（2）当 n=−2 时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时 y 是否有最大值；
（3）由（1）、（2）可知，n 的取值变化，会影响该函数图象的开口方向．请你求出 n 满足
什么条件时，y 有最小值?

16. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，tanA=33，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，CD=3，求 AB 的长．

17. 如图，⊙O 是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面 AB 宽 10 cm，水最深的地方深 3 cm，求输水管的半径．

18. 如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和 CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在 AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 θ1，且在水平线上的射影 AF 为 1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 θ2，并已知 tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人已确定支架 AB 高为 25 cm，求支架 CD 的高（结果精确到 1 cm）?

19. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=8x 的一个交点为 P2,m，与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B．
（1）求 m 的值；
（2）若 PA=2AB，求 k 的值．

20. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=52，BC=4，连接 BD，∠BAD 的平分线交 BD 于点 E，且 AE∥CD．
（1）求 AD 的长；
（2）若 ∠C=30∘，求四边形 ABCD 的周长．

21. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，P 是 ⊙O 外的一点，AM 是 ⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PA 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 PB 与 AC 交于点 D，与 ⊙O 交于点 E，F 为 BD 上的一点，若 M 为 BC 的中点，且 ∠DCF=∠P，求证：BDPD=FDED=CDAD．

22. 如图，D 是 △ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD．已知 ∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．求线段 CD 的长．

23. 已知：直线 y=ax+b 过抛物线 y=−x2−2x+3 的顶点 P，如图所示．
（1）顶点 P 的坐标是 ；
（2）若直线 y=ax+b 经过另一点 A0,11，求出该直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若有一条直线 y=mx+n 与直线 y=ax+b 关于 x 轴成轴对称，求直线 y=mx+n 与抛物线 y=−x2−2x+3 的交点坐标．

24. 点 A，B，C 在同一直线上，在直线 AC 的同侧作 △ABE 和 △BCF，连接 AF，CE．取 AF，CE 的中点 M，N，连接 BM，BN，MN．
（1）若 △ABE 和 △FBC 是等腰直角三角形，且 ∠ABE=∠FBC=90∘（图1），则 △MBN 是 三角形；
（2）在 △ABE 和 △BCF 中，若 BA=BE，BC=BF，且 ∠ABE=∠FBC=α，（图 2），则 △MBN 是 三角形，且 ∠MBN= ；
（3）若将（2）中的 △ABE 绕点 B 旋转一定角度，（图3），其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．

25. 如图 1，已知直线 l:y=−x+2 与 y 轴交于点 A，抛物线 y=x−12+k 经过点 A，其顶点为 B，另一抛物线 y=x−h2+2−h（h>1）的顶点为 D，两抛物线相交于点 C．
（1）求点 B 的坐标，并说明点 D 在直线 l 上的理由；
（2）设交点 C 的横坐标为 m．
①交点 C 的纵坐标可以表示为： 或 ，由此进一步探究 m 关于 h 的函数关系式；
②如图 2，若 ∠ACD=90∘，求 m 的值．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. D
4. D
5. D
6. D
7. D【解析】根据题意可知，圆的半径 r=4 cm．
∵ OP=4 cm，当 OP⊥l 时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有 1 个；
当 OP 与直线 l 不垂直时，则圆心到直线的距离小于 4 cm，所以是相交的位置关系，公共点有 2 个．
∴ 直线 l 与 ⊙O 的公共点有 1 个或 2 个．
故选：D．
8. C【解析】在 △OAC 中，根据勾股定理，得 AC=4+t2．
S=12AB⋅AC=12×4+t22×4+t2=14t2+1t≥0．
第二部分
9. 0.81π
10. y=1x
11. 16π
【解析】S阴影=πR2−πr2=πR2−r2=π×42=16π.
12. 12−π8，12n−π2n+2
【解析】∵ 在 △OA1B1 中，∠OA1B1=90∘，OA1=A1B1=1，
∠B1OA1=45∘，
以 O 为圆心，OA1 为半径作扇形 OA1B2，
得到 S1=S△OA1B1−S扇形OA1B2=12−45π×1360=12−π8；
在直角 △OA2B2 中，OB2=1，则 OA2=22，
得到 S2=S△OA2B2−S扇形OA2B3=14−45π×222360=14−π16，
以此类推得到 Sn=12n−π2n+2．
第三部分
13. 如图所示，取圆锥底面圆圆心 O，连接 OS 、 OA，
则 ∠O=∠ABC=90∘，OS∥BC．
∴∠ACB=∠ASO．
∴△SOA∽△CBA．
∴OSBC=OABA．
∴OS=OA⋅BCBA．
∵OA=34.542π=5.5，BC=1.6，AB=1.2，
∴OS=5.5×1.61.2≈7.3．
∴ “圆锥形坑”的深度约为 7.3 米．
14. 原式=2×22+2×12−3×3+32=2+1−3+32=42−2.
15. （1） 由二次函数图象的对称性可知 n=2；
y 的最大值为 1．
（2） 设 y=ax2+bx．
由题意，得
a+b=1,4a−2b=0.
解这个方程组，得
a=13,b=23.
故这个二次函数的解析式为 y=13x2+23x．
∵13>0，
∴y 没有最大值．
（3） 由题意，得
a+b=1,an2+bn=0.
整理得
an2+1−an=0.
nan+1−a=0.
∵n≠0，
∴an+1−a=0．
即：a=11−n，且 n≠1．
若 y 有最小值，则需 a>0，
∴1−n>0，即 n1，
∴m=h2>12．
∴m=2+1．