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    2022届高考大一轮复习知识点精练:双曲线的简单几何性质

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    2022届高考大一轮复习知识点精练:双曲线的简单几何性质

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    这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练:双曲线的简单几何性质,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题(共20小题;共100分)
    1. 已知双曲线 x29−y2m=1 的一个焦点在直线 x+y=5 上,则双曲线的渐近线方程为
    A. y=±34xB. y=±43xC. y=±223xD. y=±324x

    2. 设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y=±13x 则该双曲线的离心率为 e= ( )
    A. 10B. 10C. 102D. 103

    3. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的渐近线方程为 y=±22x,则其离心率为
    A. 33B. 233C. 2D. 62

    4. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线互相垂直,焦距为 8,则 C 的方程为
    A. x27−y29=1B. x24−y24=1C. x216−y216=1D. x28−y28=1

    5. 若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线经过点 3,1,则该双曲线的离心率为
    A. 5B. 2C. 3D. 2

    6. 若双曲线 x2−y2m=1 的离心率 e∈1,3,则 m 的取值范围为
    A. 0,4B. 0,8C. 1,9D. 8,+∞

    7. 已知双曲线 M 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,点 P2,1 在双曲线 M 的一条渐近线上.若以双曲线 M 的实轴为直径作圆,该圆经过点 P,则双曲线 M 的方程为
    A. x23−2y23=1B. x23−y26=1C. y23−2x23=1D. y23−x26=1

    8. 设双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1 为圆心,∣F1F2∣ 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于 A,B 两点.若 ∣F1B∣=3∣F2A∣,则该双曲线的离心率是
    A. 54B. 43C. 32D. 2

    9. 已知双曲线 M:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 两个焦点分别为 F1−3,0,F23,0,过点 F2 的直线 l 与该双曲线的右支交于 M,N 两点,且 △F1MN 是等边三角形,则以点 F2 为圆心,与双曲线 M 的渐近线相切的圆的方程为
    A. x−32+y2=2B. x−32+y2=4
    C. x−32+y2=1D. x−32+y2=35

    10. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线与抛物线 y2=4x 交于点 A,点 B 是抛物线的准线上一点,抛物线的焦点 F 为双曲线的一个焦点,且 △ABF 为等边三角形,则双曲线的方程为
    A. 7x23−7y24=1B. 7x24−7y23=1C. 3x27−4y27=1D. 7x212−7y216=1

    11. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 32,过右焦点 F 作渐近线的垂线,垂足为 M,若 △FOM 的面积为 5,其中 O 为坐标原点,则双曲线的方程为
    A. x2−4y25=1B. x22−2y25=1C. x24−y25=1D. x216−y220=1

    12. 双曲线 x26−y23=1 的顶点到渐近线的距离为
    A. 2B. 3C. 2D. 1

    13. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为
    A. x25−y220=1B. x220−y25=1C. 3x225−3y2100=1D. 3x2100−3y225=1

    14. 已知 F1,F2 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两个焦点,P 是 C 上一点,满足 PF1+PF2=6a,且 ∠F1PF2=π3,则 C 的离心率为
    A. 2B. 5C. 2D. 3

    15. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为
    A. x25−y220=1B. x220−y25=1C. 3x225−3y2100=1D. 3x2100−3y225=1

    16. 过双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、以 2 为半径的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为
    A. x23−y2=1B. x2−y23=1C. x22−y22=1D. x22−y26=1

    17. 已知双曲线 C:x2a2−4y2=1a>0 的右顶点到其一条渐近线的距离等于 34,抛物线 E:y2=2px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合,则抛物线 E 上的动点 M 到直线 l1:4x−3y+6=0 和 l2:x=−1 的距离之和的最小值为
    A. 1B. 2C. 3D. 4

    18. 已知抛物线 y2=2pxp>0 上一点 M1,mm>0 到其焦点的距离为 5,双曲线 x2a−y2=1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是
    A. 15B. 125C. 13D. 19

    19. 已知抛物线 y2=16x 的焦点与双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点 F 重合,C 的渐近线恰为矩形 OAFB 的边 OA,OB 所在直线(O 为坐标原点),则 C 的方程是
    A. x212−y24=1B. x232−y232=1C. x24−y212=1D. x28−y28=1

    20. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与函数 y=xx≥0 的图象交于点 P,若函数 y=x 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F−4,0,则双曲线的离心率是
    A. 17+44B. 17+34C. 17+24D. 17+14

    二、填空题(共5小题;共25分)
    21. 已知双曲线 x2−y22=1 的左右焦点分别为 F1,F2,点 M−3,4,则双曲线的渐近线方程为 ;∣MF1∣−∣MF2∣= .

    22. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F,右顶点为 A,O 为原点.若 A 为线段 OF 的中点,则 C 的渐近线方程为 .

    23. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F,右顶点为 A,O 为原点,若 ∣OF∣=2∣OA∣,则 C 的渐近线方程为 .

    24. 设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线分别交于 D,E 两点,若 △ODE 的面积为 1,则双曲线 C 的焦距的最小值为 .

    25. 平面直角坐标系中,满足到 F1−1,0 的距离比到 F21,0 的距离大 1 的点的轨迹为曲线 T,点 Pnn,yn(其中 yn>0,n∈N*)是曲线 T 上的点,原点 O 到直线 PnF2 的距离为 dn,则 limn→∞dn= .

    三、解答题(共6小题;共78分)
    26. 已知 F1,F2 为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两个焦点,过点 F2 且垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且 ∠F1PF2=60∘,求此双曲线的渐近线的方程.

    27. 在① m>0,且 C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为 3+23,② C 的焦距为 43,③ C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为 6 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.问题:已知双曲线 C:x23m−y2m=1, ,求 C 的方程.

    28. 双曲线 Γ:x216−y29=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 经过 F2 且与 Γ 的两条渐近线中的一条平行,与另一条相交且交点在第一象限.
    (1)设 P 为 Γ 右支上的任意一点,求 ∣PF1∣ 的最小值;
    (2)设 O 为坐标原点,求 O 到 l 的距离,并求 l 与 Γ 的交点坐标.

    29. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 3.
    (1)求双曲线 C 的渐近线方程;
    (2)当 a=1 时,已知直线 x−y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,求实数 m 的值.

    30. 已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为 y=±2x,过点 P62,1.
    (1)求双曲线 C 的标准方程;
    (2)是否存在被点 B1,1 平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.

    31. 已知 F1,F2 是双曲线 x2−y215=1 的两个焦点,离心率等于 45 的椭圆 E 与双曲线的焦点相同,动点 Pm,n 满足 ∣PF1∣+∣PF2∣=10,曲线 M 的方程为 x22+y22=1.
    (1)求椭圆 E 的方程.
    (2)判断直线 mx+ny=1 与曲线 M 的公共点的个数,并说明理由;当直线 mx+ny=1 与曲线 M 相交时,求直线 mx+ny=1 截曲线 M 所得弦长的取值范围.
    答案
    第一部分
    1. B
    2. D
    3. D【解析】因为双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的渐近线方程为 y=±22x,
    所以 ba=22,
    所以其离心率为 e=ca=1+ba2=62.
    4. D
    5. B
    【解析】若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线:by−ax=0,渐近线经过点 3,1,可得 b=3a,即 b2=3a2,可得 c2−a2=3a2,
    所以 c2=4a2,c=2a,
    所以双曲线的离心率为 e=ca=2.
    6. B【解析】易知 m>0,e=1+m,又双曲线 x2−y2m=1 的离心率 e∈1,3,
    所以 1

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