2022届高考大一轮复习知识点精练：圆的切线

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：圆的切线，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的准线与圆 x−32+y2=16 相切，则 p 的值为
A. 12B. 1C. 2D. 4

2. A 为圆 x−12+y2=1 上的动点，PA 是圆的切线，∣PA∣=1，则点 P 的轨迹方程是
A. x−12+y2=4B. x−12+y2=2
C. y2=2xD. y2=−2x

3. 已知过点 P2,2 的直线与圆 x2+y−12=5 相切，且与直线 ax−y+1=0 垂直，则 a=
A. −12B. 1C. 2D. 12

4. 过点 P−2,3 向圆 O：x2+y2=1 引圆的两条切线 PA，PB，则弦 AB 所在的直线方程为
A. 2x−3y+1=0B. 2x+3y+1=0C. 3x+2y+1=0D. 3x−2y+1=0

5. 过点 P−2,4 作圆 O：x−22+y−12=25 的切线 l，直线 m：ax−3y=0 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为
A. 4B. 2C. 85D. 125

6. 直线 x−y+1=0 与直线 2x−2y−1=0 是圆 C 的两条切线，则圆 C 的面积是
A. 98πB. 916πC. 932πD. 964π

7. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左右焦点分别为 F1−c,0，F2c,0，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P，若直线 PF2 与圆 E：x−c22+y2=b216 相切，则双曲线的渐近线方程是
A. y=±xB. y=±2xC. y=±3xD. y=±2x

8. 已知点 P 为双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）右支上一点，点 F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，点 I 是 △PF1F2 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 S△IPF1−S△IPF2=32S△IF1F2，则双曲线的渐近线方程是
A. y=±xB. y=±22xC. y=±3xD. y=±33x

9. 若过点 2,1 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为
A. 55B. 255C. 355D. 455

10. 若过点 2,1 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为
A. 55B. 255C. 355D. 455

11. 如图，圆 O 与椭圆相切，已知 F1，F2 是椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆上，线段 PF2 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2 的中点，则椭圆的离心率为
A. 53B. 35C. 54D. 25

12. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线与圆 x−32+y2=4 相切，且双曲线以该圆的圆心为焦点，则双曲线的方程为
A. x24−y25=1B. x25−y24=1C. x216−y225=1D. x225−y216=1

13. 若圆 C 与直线 x+y=0 和 x+y−8=0 都相切，且圆心在直线 x−y=0 上，则圆 C 的方程为
A. x+22+y+22=8B. x−22+y−22=8
C. x+22+y+22=16D. x−22+y−22=16

14. 与圆 x2+y−12=5 相切于点 2,2 的直线的斜率为
A. −2B. −12C. 12D. 2

15. 如图，圆 C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为 1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点．若圆 C 经过点 A2,15，则圆 C 的半径为
A. 72B. 8C. 82D. 10

16. 过点 M−2,4 作圆 C:x−22+y−12=25 的切线 l，且直线 l1:ax+3y+2a=0 与 l 平行，则 l1 与 l 之间的距离是
A. 85B. 25C. 285D. 125

17. 已知双曲线 M:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线均和圆 N:x2+y2−6x+5=0 相切，且双曲线 M 的右焦点为圆 N 的圆心，则双曲线 M 的离心率为
A. 355B. 32C. 3D. 2

18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与曲线 y=x2x>0 和曲线 x=1−y2 均相切，切点分别为 A，B 两点，则两切点 AB 间的长为
A. 9+45B. 2+5C. 11+55D. 10+55

19. 若 x，a，b 均为任意实数，且 a+22+b−32=1，则 x−a2+lnx−b2 的最小值为
A. 32B. 18C. 32−1D. 19−62

20. 在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y−4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A. 4π5B. 3π4C. 6−25πD. 5π4

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若圆 x2+y2=1 与圆 x2+y2−6x−8y−m=0 相切，则 m 的值为 ．

22. 已知点 Px,y 是直线 kx+y+4=0k>0 上一动点，PA，PB 是圆 C:x2+y2−2y=0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 ．

23. 垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是 ．

24. 已知圆 x2+y2−ax+2=0 与直线 l 相切于点 A3,1，则直线 l 的方程为 ．

25. 设实数 x，y 满足不等式 y≤2,x+y≥1,x−y≤1, 当 z=3x+y 取得最小值时，直线 3x+y−z=0 与以 1,1 为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知圆 O 的方程是 x2+y2=1，直线 l 与圆 O 相切．
（1）若直线 l 的斜率等于 1，求直线 l 的方程．
（2）若直线 l 在 y 轴上的截距为 2，求直线 l 的方程．

27. 已知圆 C 经过点 A0,1，B2,1，M3,4．
（1）求圆 C 的方程；
（2）设点 P 为直线 l:x−2y−1=0 上一点，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 E，F．若 ∠EPF=60∘，求点 P 的坐标．

28. 已知曲线 C：y=x22，D 为直线 y=−12 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B．
（1）证明：直线 AB 过定点；
（2）若以 E0,52 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．

29. 已知圆 C 的圆心为原点 O，且与直线 x+y+42=0 相切．
（1）求圆 C 的方程；
（2）点 P 在直线 x=8 上，过 P 点引圆 C 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，求证：直线 AB 恒过定点．

30. 已知圆 C:x2+y2−4x−8y+16=0，圆 O 是以原点为圆心，半径为 r 的圆．
（1）若圆 C 与圆 O 外切，求半径 r．
（2）求过原点且与圆 C 相切的直线方程．

31. 如图，已知圆 C:x2+y2−4x−14y+45=0 及点 Q−2,3．
（1）若点 Pm,m+1 在圆 C 上，求直线 PQ 的斜率以及直线 PQ 与圆 C 的相交弦 PE 的长度；
（2）若 Nx,y 是直线 x+y+1=0 上任意一点，过点 N 作圆 C 的切线，切点为 A，当切线长 NA 最小时，求 N 点的坐标，并求出这个最小值；
（3）若 Mx,y 是圆上任意一点，求 y−3x+2 的最大值和最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】抛物线 y2=2pxp>0 的准线方程为 x=−p2，
因为抛物线 y2=2pxp>0 的准线与圆 x−32+y2=16 相切，
所以 3+p2=4，p=2．
2. B【解析】由于 ∣PA∣=1，所以点 P 到圆心的距离恒为 2．设 Px,y，圆心 1,0，由两点间的距离公式，有 x−12+y2=2．
3. D
4. A【解析】因为 PA 为圆的切线，
所以 OA⊥PA，
所以 ∣PA∣2=∣OP∣2−1=4+9−1=12，
所以以 P 为圆心，∣PA∣ 为半径的圆的方程为 x+22+y−32=12．
因为 AB 为两圆的公共弦，
所以弦 AB 所在的直线方程为 x+22+y−32−12−x2+y2−1=0，整理得 2x−3y+1=0．
5. A
【解析】由已知，切线斜率存在且不为 0，
因为 P 为圆上一点，则有 kOP⋅kl=−1，
而 kOP=4−1−2−2=−34，
所以 kl=43．
所以 a=4，
所以直线 m：4x−3y=0，
直线 l：y−4=43x+2 即 4x−3y+20=0．
所以 l 与 m 的距离为 2042+−32=4．
故选A．
6. C【解析】易知直线 x−y+1=0 与直线 2x−2y−1=0 平行，若两条直线是圆 C 的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径．直线 x−y+1=0，即 2x−2y+2=0 与直线 2x−2y−1=0 间的距离 d=∣2+1∣22+22=324，则圆的半径 r=328，则圆 C 的面积 S=πr2=932π．
7. B【解析】设切点为 M，圆 E 的半径为 r，则 EM∥PF1，
又 ∣F2E∣∣F2F1∣=14，
所以 ∣PF1∣=4r=b，
所以 ∣PF2∣=2a+b，因此 b2+2a+b2=4c2，
所以 b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为 y=±2x．
8. D【解析】如图设内切圆半径为 r，
所以由 S△IPF1−S△IPF2=32S△IF1F2，
所以 12PF1⋅r−12PF2⋅r=32⋅12F1F2⋅r⇒PF1−PF2=3c=2a，
不妨令 c=2，a=3，
所以 b=1，
故选D．
9. B【解析】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限．
设圆心的坐标为 a,a，则圆的半径为 a．
圆的标准方程为 x−a2+y−a2=a2．
由题意可得 2−a2+1−a2=a2，
可得 a2−6a+5=0，解得 a=1 或 a=5，
所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5，
圆心 1,1 到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d1=2×1−1−35=255；
圆心 5,5 到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d2=2×5−5−35=255．
圆心到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d=−25=255．
所以，圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为 255．
10. B
【解析】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限．
设圆心的坐标为 a,a，则圆的半径为 a．
圆的标准方程为 x−a2+y−a2=a2．
由题意可得 2−a2+1−a2=a2，
可得 a2−6a+5=0，解得 a=1 或 a=5．
所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5．
圆心 1,1 到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d1=2×1−1−35=255；
圆心 5,5 到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d2=2×5−5−35=255；
圆心到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d=−25=255．
所以，圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为 255．
11. A【解析】由题可令 a 为椭圆的长半轴长，b 为短半轴长，
如图，连接 PF1，OQ．
因为线段 PF2 与圆相切于点 Q，所以 PF2⊥OQ．
因为 ∣F1O∣=∣OF2∣，点 Q 为线段 PF2 的中点，
所以 PF1∥OQ 且 ∣PF1∣=2∣OQ∣=2b，
所以 ∣PF2∣=2a−2b，PF1⊥PF2，
所以 4b2+4a−b2=4c2=4a2−4b2，整理得 3b=2a，
所以 9a2−c2=4a2，所以离心率 e=ca=53．
12. B【解析】根据题意，双曲线的方程为 x2a2−y2b2=1，
则其渐近线方程为 y=±bax，即 bx±ay=0，
圆 x−32+y2=4 的圆心为 3,0，半径 r=2，
由于双曲线以该圆的圆心为焦点，则有 c=3，即 a2+b2=9，
又由双曲线的渐近线与圆 x−32+y2=4 相切，
则有 ∣3b∣a2+b2=2，解得 b=2，
则 a2=5，
故双曲线的标准方程为：x25−y24=1．
13. B【解析】因为圆心在直线 x−y=0 上，
所以不妨设圆心坐标为 a,a，
则圆心到 x+y=0 和 x+y−8=0 的距离相等且均为半径 r，
因为两直线相互平行，
所以两直线间的距离 d=2r=∣0+8∣1+1=42，
所以 r=22，
又因为 r=∣a+a∣2=22，
所以 a=±2，
因为 r=∣a+a−8∣2=∣2a−8∣2=22，
所以 a=2 或 a=6，
所以 a=2，
所以圆 C 的方程为 x−22+y−22=8．
14. A【解析】圆 x2+y−12=5 的圆心坐标为 A0,1，
设点 B2,2，则直线 AB 的斜率 kAB=2−12−0=12，
因为切线与 AB 互相垂直，
所以切线斜率 k=−2．
15. A
【解析】因为圆 C 经过点 2,1 和点 2,15，
所以圆心在直线 y=8 上．
又过点 2,1 的圆的切线方程为 y−1=−x−2，即 x+y−3=0，
所以圆心在直线 y−1=x−2 上，即圆心在直线 x−y−1=0 上．
由 y=8,x−y−1=0 可得圆心坐标为 9,8，
故圆 C 的半径为 9−22+8−12=72．
16. D【解析】因为点 M−2,4 在圆 C 上，
所以切线 l 的方程为 −2−2⋅x−2+4−1y−1=25，即 4x−3y+20=0．
因为直线 l 与直线 l1 平行，
所以 −a3=43，即 a=−4，
所以直线 l1 的方程是 −4x+3y−8=0，即 4x−3y+8=0，
所以直线 l1 与直线 l 之间的距离为 ∣20−8∣42+−32=125．
17. A【解析】因为圆 N 的圆心 N3,0，半径 r=2，
所以双曲线 M 的右焦点坐标为 3,0，
即 c=3，
则 a2+b2=9, ⋯⋯①
又因为双曲线 M 的一条渐近线方程为 bx−ay=0，
所以点 N 到渐近线的距离等于半径，
即 3ba2+b2=2，
化得 4a2=5b2, ⋯⋯②
联立①②解得：a=5，b=2，
所以该双曲线 M 的离心率为 e=ca=35=355．
故选A．
18. D【解析】设切点 Ax0,y0，因为切点 A 在曲线 y=x2x>0 上，
所以 y0=x02，所以 Ax0,x02x0>0，
y=x2，所以 yʹ=2x，
所以以 A 为切点的切线的斜率为 k=2x0，
所以直线 l 的方程为 y−x02=2x0x−x0，即 2x0x−y−x02=0，
因为直线 l 与曲线 x=1−y2（以原点为圆心，以 1 为半径的半圆）相切，
所以 −x022x02+12=1，
所以 x04=4x02+1，所以 x02=2+5 或 2−5（舍），
所以 x0=±2+5，
因为 x0>0，所以 x0=2+5，
所以切点坐标为 A2+5,2+5，
由切线长定理可得，
AB=AO2−r2=2+52+2+52−12=10+55.
19. D
20. A
【解析】设直线 l:2x+y−4=0，
因为 ∣OC∣=12∣AB∣=d1，其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离，
所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．
圆 C 半径最小值为 12d2=12×45=25，其中 d2 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 的面积的最小值为 π252=4π5．
第二部分
21. −9 或 11
22. 2
【解析】示意图如图所示．
圆 C:x2+y2−2y=0 的圆心为 0,1，半径是 r=1．
由圆的性质知 S四边形PACB=2S△PBC，
又因为四边形 PACB 的最小面积是 2，
所以 S△PBC 的最小值为 S=1=12rd（d 是切线长），
所以 d最小值=2．
由圆心到直线的距离就是 PC 的最小值，可得 12+22=51+k2=5，
又因为 k>0，
所以 k=2．
23. x+y−2=0
【解析】设所求的直线为 l，
∵ 直线 l 垂直于直线 y=x+1，可得直线 l 的斜率为 k=−1，
∴ 设直线 l 方程为 y=−x+b，即 x+y−b=0，
∵ 直线 l 与圆 x2+y2=1 相切，
∴ 圆心到直线的距离 d=∣−b∣2=1，解得 b=±2，
当 b=−2 时，可得切点坐标 −22,−22，切点在第三象限；
当 b=2 时，可得切点坐标 22,22，切点在第一象限；
∵ 直线 l 与圆 x2+y2=1 的切点在第一象限，
∴ b=−2 不符合题意，可得 b=2，
则直线方程为 x+y−2=0．
24. x+y−4=0
【解析】点 A3,1 代入圆方程，得 9+1−3a+2=0，解得 a=4，故圆心 O 为 2,0，半径 R=2，则 kOA=1−03−2=1，
所以直线 l 斜率 k=−1，则方程为 x+y−4=0．
25. 52π
【解析】当直线过点 −1,2 时，z=3x+y 取得最小值 −1，故 r=d=∣3+1+1∣10=102，从而圆的面积为 52π．
第三部分
26. （1） y=x±2．
（2） y=x+2 或 y=−x+2．
27. （1） 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则 1+E+F=0,5+2D+E+F=0,25+3D+4E+F=0, 解得 D=−2,E=−6,F=5,
所以圆 C 的方程为 x2+y2−2x−6y+5=0．
（2） 如图，设点 P2y+1,y．
由（1）知，圆心 C1,3，半径 r=12−22+−62−4×5=5，
由已知 CE⊥PE，∠CPE=12∠EPF=30∘，
在 Rt△CPE 中，有 PC=2CE，则 2y+1−12+y−32=25，
解得 y=−1 或 y=115，
即有点 P 的坐标为 −1,−1 或 275,115．
28. （1） 设 Dt,−12，Ax1,y1，则 x12=2y1．
由于 yʹ=x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故 y1+12x1−t=x1．
整理得 2tx1−2y1+1=0．
设 Bx2,y2，同理可得 2tx2−2y2+1=0．
故直线 AB 的方程为 2tx−2y+1=0．
所以直线 AB 过定点 0,12．
（2） 由（1）得直线 AB 的方程为 y=tx+12．
由 y=tx+12,y=x22 可得 x2−2tx−1=0．
于是 x1+x2=2t，y1+y2=tx1+x2+1=2t2+1．
设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt,t2+12．
由于 EM⊥AB，而 EM=t,t2−2，AB 与向量 1,t 平行，
所以 t+t2−2t=0，解得 t=0 或 t=±1．
当 t=0 时，EM=2，所求圆的方程为 x2+y−522=4；
当 t=±1 时，EM=2，所求圆的方程为 x2+y−522=2．
29. （1） 依题意得：圆心 0,0 到直线 x+y+42=0 的距离 d=r，
所以 d=r=421+1=4．
所以圆 C 的方程为 x2+y2=16. ⋯⋯①
（2） 连接 OA，OB，
因为 PA，PB 是圆 C 的两条切线，
所以 OA⊥AP，OB⊥BP，
所以 A，B 在以 OP 为直径的圆上，
设点 P 的坐标为 8,b，b∈R，则线段 OP 的中点坐标为 4,b2，
所以以 OP 为直径的圆方程为 x−42+y−b22=42+b22，b∈R，
化简得：x2+y2−8x−by=0, ⋯⋯② b∈R，
因为 AB 为两圆的公共弦，
所以 ①−② 得：直线 AB 的方程为 8x+by=16，b∈R，即 8x−2+by=0，
则直线 AB 恒过定点 2,0．
30. （1） x2+y2−4x−8y+16=0，
x−22+y−42=4，
所以圆心 C2,4，r1=2，O0,0，半径为 r，
因为 ⊙C 与 ⊙O 外切，
所以 22+42=r1+r，
25=2+r，
所以 r=25−2．
（2） 若斜率存在，
设 y=kx，
所以 kx−y=0，
∣2k−4∣k2+1=2，
∣k−2∣=k2+1，
k2+4−4k=k2+1，
k=34，
所以 y=34x，
若斜率不存在，
x=0 为所求，
综上 y=34x 或 x=0．
31. （1） 易知圆 C 的标准方程为 x−22+y−72=8，则 C2,7，半径 r=22．
由点 Pm,m+1 在圆 C 上，解得 m=4，所以 P4,5，
故直线 PQ 的斜率 k1=5−34−−2=13．
因此直线 PQ 的方程为 y−5=13x−4，即 x−3y+11=0，
所以圆心 C2,7 到直线 PQ 的距离 d1=2−3×7+1110=810=4105．
所以 PE=2r2−d12=28−41052=2405=4105．
（2） 因为 NA=NC2−r2=NC2−8，
所以当 NC 最小时，NA 最小，
又当 NC 与直线 x+y+1=0 相互垂直时，NC 最小，
所以 NCmin=2+7+11+1=52，所以 NAmin=42．
由题得过 C 且与直线 x+y+1=0 垂直的直线方程为 x−y+5=0，所以 N−3,2．
（3） 易知 y−3x+2 为直线 MQ 的斜率，且当直线 MQ 为圆的切线时，斜率 k 取得最值．
设直线 MQ 的方程为 y−3=kx+2，即 kx−y+2k+3=0．
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离 d=2k−7+2k+31+k2=r=22，
即 4k−42=81+k2，解得 k=2−3 或 k=2+3．
所以 y−3x+2 的最大值和最小值分别为 2+3 和 2−3．