第7章 新高考新题型微课堂　7　多选题命题热点之立体几何教案

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立体几何问题中的多选题、主要集中在平面公理、定理、性质，涉及位置有关系的判断，特别是平行与垂直的处理，以及体积、表面积、夹角等数量关系的计算．
位置关系的判断
(多选题)下列命题错误的是( )
A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
ABD 解析：选项A中，若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故A选项错误；选项B中，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故B选项错误；选项C正确；选项D中，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，选项D错误．
熟记平面相关公理、定理，借助简单几何体判断空间中的位置关系．
(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论成立的是( )
A．PB⊥AC
B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD
D．平面PBD⊥平面ABCD
ACD 解析：在选项A中，取PB的中点O，连接AO，CO.因为四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，
AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.
因为AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC．因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故选项A成立．
在选项B中，点D位置不确定．故选项B不一定成立．
在选项C中，由选项A知，AC⊥PB.因为AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD．因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．故选项C成立．
在选项D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD．故选项D成立．
空间中数量关系的运算
(多选题)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC．若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是( )
A．△PAB是钝角三角形
B．此球的表面积等于5π
C．BC⊥平面PAC
D．三棱锥A-PBC的体积为eq \f(\r(3),2)
BC 解析：在底面△ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，利用余弦定理可得BC＝eq \r(12＋22－2×1×2×cs 60°)＝eq \r(3)，
所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，
又PC⊥底面ABC，则PC⊥AC，PC⊥BC．
把三棱锥P-ABC放入长宽高分别为eq \r(3)，1,1的长方体中，如图所示．
所以PA＝eq \r(2)，PB＝AB＝2，
所以△PAB是等腰三角形，且顶角小于底角，是锐角三角形．选项A错误．
三棱锥的外接球也是长方体的外接球，且外接球的直径是长方体的体对角线，即2R＝eq \r(12＋\r(3)2＋12)＝eq \r(5)，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝5π.选项B正确．
又BC⊥AC，BC⊥PC，且AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC．选项C正确．
三棱锥P-ABC的体积为V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),6).选项D错误．
熟记体积、表面积公式，借助规则几何体进行数量关系的运算．
(多选题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于eq \f(π,4)
B．点C到平面ABC1D1的距离为eq \f(\r(2),2)
C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为eq \f(π,4)
D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径为eq \f(\r(3),2)
ABD 解析：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，对于选项A，直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1＝eq \f(π,4).故选项A正确．
对于选项B，点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，即h＝eq \f(\r(2),2).故选项B正确．
对于选项C，两条异面直线D1C和BC1所成的角为eq \f(π,3).故选项C错误．
对于选项D，三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径r＝eq \f(\r(12＋12＋12),2)＝eq \f(\r(3),2).故选项D正确．
以立体几何为背景的向量运算
(多选题)在四面体P-ABC中，以下说法中正确的有( )
A．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))
B．若Q为△ABC的重心，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))
C．若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1
ABC 解析：对于选项A，因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，所以3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))，
所以2eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，所以2eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以3eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，即3eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)).故选项A正确．
对于选项B，若Q为△ABC的重心，则eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(QC,\s\up6(→))＝0，
所以3eq \(PQ,\s\up6(→))＋eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(QC,\s\up6(→))＝3eq \(PQ,\s\up6(→))，
所以3eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→)).故选项B正确．
对于选项C，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝0，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0.
故选项C正确．
对于选项D，因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))，
所以|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))|.
因为|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))|2＝
|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(PB,\s\up6(→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(→))|2－2|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(PB,\s\up6(→))|－2|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(PC,\s\up6(→))|＋2|eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(PC,\s\up6(→))|＝22＋22＋22－2×2×2×eq \f(1,2)－2×2×2×eq \f(1,2)＋2×2×2×eq \f(1,2)＝8，所以|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－Peq \(A,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).即|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
故选项D错误．
(多选题)已知O，A，B，C为平面上两两不重合的四点，且xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))＝0(xyz≠0)，则( )
A．当且仅当xyz