第8章 新高考新题型微课堂　8　多选题命题热点之解析几何教案

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解析几何问题中的多选题，主要集中在椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，解答此类问题的基本方法是直接法．
圆锥曲线的几何性质
(多选题)(2020·潍坊高三模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2eq \r(a)－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))
D．若eq \(PF1,\s\up6(→))＝eq \(F1Q,\s\up6(→))，则椭圆C的长轴长为eq \r(5)＋eq \r(17)
ACD 解析：因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2eq \r(a)－|QF2|＋|QP|≥2eq \r(a)－|PF2|＝2eq \r(a)－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确．
若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.由eq \f(1,2)＋1>1，知点P在椭圆外，故B错误．
因为点P(1,1)在椭圆内部，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)eq \f(3＋\r(5),2)＝eq \f(6＋2\r(5),4)＝eq \f(1＋\r(5)2,4)，所以eq \r(a)＞eq \f(1＋\r(5),2)，所以e＝eq \f(1,\r(a))＜eq \f(\r(5)－1,2)，所以椭圆C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))，故C正确．
若eq \(PF1,\s\up6(→))＝eq \(F1Q,\s\up6(→))，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以eq \f(9,a)＋eq \f(1,b)＝1.又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝eq \f(11＋\r(85),2)＝eq \f(22＋2\r(85),4)＝eq \f(\r(5)＋\r(17)2,4)，所以eq \r(a)＝eq \f(\r(5)＋\r(17),2)，所以椭圆C的长轴长为eq \r(5)＋eq \r(17)，故D正确．
(1)恰当地应用圆锥曲线的定义，特别是涉及椭圆、双曲线和抛物线的焦点时，要特别注意其定义的应用．
(2)注意应用平面几何的知识，如三角形相似、全等、线段成比例等．
(3)涉及最值和取值范围时一般转化为函数、基本不等式问题，或利用圆锥曲线的定义解决．
(多选题)(2020·淄博高三二模)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是( )
A．渐近线方程为4x±3y＝0
B．渐近线方程为3x±4y＝0
C．离心率为eq \f(5,3)
D．离心率为eq \f(5,4)
AC 解析：设|PF2|＝|F1F2|＝2c.由|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2c＋2a.
设PF1的中点为M，
由等腰三角形PF1F2的性质可得F2M⊥PF1.
因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2eq \r(2c2－2a2)＝4eq \r(c2－a2)＝4b，
所以2c＋2a＝4b，即c＋a＝2b，可得c2＝a2＋b2＝(2b－a)2，解得3b＝4a.则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(4,3)x，即4x±3y＝0.
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up8(2))＝eq \r(1＋\f(16,9))＝eq \f(5,3).
直线和圆锥曲线
(多选题)(2020·聊城市高三二模)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)
B．过点P和抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值
BCD 解析：因为抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，所以p＝eq \f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
对于A，|PF|＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，故A错误．
对于B，kPF＝eq \f(4,3)，所以lPF：y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(3,4)，y1y2＝－eq \f(1,4)，
所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(5,32)，故B正确．
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，
Δ＝1－4k(1－k)＝4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故C正确．
对于D, 依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，
所以yM＋1＝eq \f(1,k)，即yM＝eq \f(1,k)－1，则xM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))eq \s\up6(2)，
所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))eq \s\up8(2)，\f(1,k)－1))，
同理Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))eq \s\up8(2)，－\f(1,k)－1))，
所以kMN＝eq \f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))eq \s\up6(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))eq \s\up8(2))＝eq \f(\f(2,k),－\f(4,k))＝－eq \f(1,2)，故D正确．
(1)涉及直线和圆锥曲线的问题要注意应用“设而不求”的思想方法，用点的坐标表示所涉及的量，把几何条件转化为代数式进行运算求得结果．
(2)掌握弦长、面积的一般表示方法和应用圆锥曲线定义的表示方法．
(多选题)(2020·淄博市高三月考)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F，E，直线x＝m(－1