2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题10.2二次函数综合之菱形学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题10.2二次函数综合之菱形学案，共20页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2，经典例题3等内容，欢迎下载使用。

菱形的存在性
根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标
类型一：根据等腰三角形确定第三点
【经典例题1】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）∵OA=2 ，OC=6
∴A(-2 ，0)，C(0 ，-6)
抛物线y=x2+bx+c 过点A、C
∴4-2b+c=0；0+0+c=-6；；解得：b=-1；c=-6
∴抛物线解析式为 y=x2-x-6
（2）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形
∵ A(-2 ，0)，C(0 ，-6)
∴AC=
①若AC为菱形的边长，如图3
∴MN∥AC且，MN=AC=
N1(-2，)，N2(-2 ，-)，N3(2 ，0)
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN∥CM，AN=CN
设N4(-2 ，n)
∴ -n= 解得：n=-
∴N4(-2 ，)
综上所述，点N坐标为(-2，)，(-2 ，-) ，(2 ，0)， (-2 ，)．
练习1-1已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A(1，0)、B(0，3)、C(−4，0)，
∴，解得：，
∴经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y=−x2−x+3；
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A. B. C. P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为(5，3)，
当点P在第二、三象限时，以点A. B. C. P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为(5，3)时，以点A. B. C. P为顶点的四边形为菱形；
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(1，0)，P(5，3)，
∴，解得：，
∴直线PA的解析式为y=x−，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM−AM| 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM−AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM−AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为(1，0)或(−5，−)时，|PM−AM|的值最大，此时|PM−AM|的最大值为5.
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C'，那么是否存在点P，使四边形POP'C'为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；


【解析】(1)将点B(3，0)、C(0，−3)代入y=x2+bx+c中，
得：0=9+3b+c；−3=c ，解得：b=−2；c=−3，
∴该二次函数的表达式为y=x2−2x−3.
(2)取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，如图2所示。
∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，
∴四边形POP′C为菱形。
当y=−，则有−=x2−2x−3，
解得：x1=(舍去) ，x2=，
∴存在点P(，−)，使四边形POP′C为菱形。

类型二：两个动点，根据对称性求点
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．


【解析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x−h)2+k，
将点A的坐标代入得，y=a(x−2)2−4，
将O的坐标代入上式并解得：a=1，
故抛物线的表达式为y=x2−4x；
(2)点A(2，−4)，则抛物线的对称轴为x=2，
OAQP为菱形时，则OA=AQ，则点Q(抛物线与x轴的右侧交点)与点A关于函数对称轴对称，
故点P和点A关于x轴对称，故点P(2，4)；
(3)存在，理由：
过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，
点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GM=MH，
tan∠POH=4/2=2，则tan∠ORH=，
设GM=MH=m，则GR=2m，则RM=m，RH=RM+MH=m+m，
tan∠ORH==OH/RH，则OH=RH=m，
故点M(m，m)，
设直线OM的表达式为y=sx，
将点M坐标代入上式并解得：s==，
故直线OM的表达式为y=x.
类型三：根据全等求解
【经典例题3】如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长。
(4)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′B、E′C，求E′B+E′C的最小值，请直接写出答案。
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−4)，
∴−8a=4，∴a=−，
∴抛物线解析式为y=−(x+2)(x−4)=−x2+x+4；
(2)如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由(1)知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴AO/CO=E′F′/CF′=，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′(2h，h+4)
∵点E′在抛物线上，
∴−(2h)2+2h+4=h+4，
∴h=0(舍)h=
∴E′(1，)，
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E(3，)，
点E的坐标为(1，)，(3，)
(3)①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，
交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
设点P′(m，−m2+m+4)，
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′(m，−m+4)，
∴P′N′=−m2+m+4−(−m+4)=−m2+2m，
∴m=−m2+2m，
∴m=0(舍)或m=4−2，
菱形CM′P′N′的边长为(4−2)=4−4.
②CM为菱形的对角线，如图3，

在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P(n，−n2+n+4)，
∴CQ=n，OQ=n+2，
∴n+4=−n2+n+4，
∴n=0(舍)，
∴此种情况不存在。
∴菱形的边长为4−4.
练习2-1如图，已知抛物线交x轴于点A. 点B，交y轴于点C，且点A(6，0)，点C(0，4)，AB=5OB，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
(4)是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】(1)∵点A(6，0)，AB=5OB，
∴点B(1，0)，
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则由题意可得：，解之得，
∴所求抛物线的解析式为：y=x2−x+4，
∵y=x2−x+4=(x−)2−，
∴所求抛物线的顶点坐标为：(，−)；
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=x2−x+4，
∴y<0，
即−y>0，−y表示点E到OA的距离。
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA⋅|y|=−6y=−6(x2−x+4)=−4x2+28x−24，
自变量x的取值范围为：1 (3)根据题意得：−4x2+28x−24=24，
解之，得x1=3，x2=4，
∴所求的点E有两个，分别为E1(3，−4)，E2(4，−4)，
∵点E1(3，−4)，
∴OE=5，AE=，
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2(4，−4)，
∴OE=4，AE=，
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
(4)∵当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能(3，−3)，而坐标为(3，−3)点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形。

练习2-2如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A(-4,0)，B(1,0)，∠ACB=90°．
（1）求点C的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF=EF时，求点E的坐标；
（3）设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)抛物线解析式y＝x2+x-2
(2)点E（-3，-2）
(3)存在，
①AM=AE时，点M不存在
②EM=AE时，M1(,),M2(,)
③MA=ME时，M3(,0)
综上，M1(,),M2(,)，M3(,0)
N1(,),N2(,)，N3(,-2)



练习2-3如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n．

（1）求n的值及抛物线的表达式；
（2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当x＝0时，抛物线y＝ax2+bx+4＝4 ∴C（0，4）
∵点C在直线BC：y＝﹣x+n上 ∴n＝4
∵直线BC与x轴交点为B，﹣x+4＝0，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵点B在抛物线上∴16a2+4b+4＝0 ①
∵yD＝yE＝2
∴DE∥x轴，点D、E关于抛物线对称轴对称
∵x1+x2＝3
∴抛物线对称轴为：直线x＝∴②
联立方程①②解得：
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4
（2）连接CQ，如图1
∵C（0，4），点Q是直线y＝2上一动点
∴O、C关于直线y＝2对称∴CQ＝OQ
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短
当﹣x+4＝2时，解得：x＝2
∴此时，Q（2，2）
∵OB＝OC＝4∴BC＝
∴△QOB周长最小值为：C△QOB＝OQ+BQ+OB＝BC+OB＝4+4
（3）存在满足条件的点G
设M（m，0）（0＜m＜4），则P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+3m+4）
∵点P是MN中点
∴MN＝2PM
∴﹣m2+3m+4＝2（﹣m+4）
解得：m1＝1，m2＝4（舍去）
∴M（1，0），P（1，3），PM＝3
①若PM为菱形的边，菱形GFPM中，点F在点P左侧，如图2
延长FG交x轴于点H
∵FP＝PM＝FG＝GM＝3，FG∥PM，FG∥GM
∴∠GHM＝90°，∠GMH＝∠CBO＝45°
∴MH＝GH＝GM＝
∴xG＝xM﹣＝，yG＝GH＝
∴G（，）
②若PM为菱形的边，菱形GFPM中，点F在点P右侧，如图3
根据与图2的对称关系可得G（，﹣）
③若PM为菱形的对角线，菱形GPFM中，如图4
设PM与GF交于点I
∴PI＝MI＝PM＝，GI＝IF，PM⊥GF
∴GF∥x轴，yF＝yI＝yG＝
∴∠PFI＝∠CBO＝45°
∴GI＝IF＝PI＝
∴xG＝xI﹣＝﹣
∴G（﹣，）
综上所述，满足条件的点G坐标为（（，））或（，﹣）或（﹣，）．

练习2-4（难题，根与系数关系）3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【解析】(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，−).
∴a−3=−，解得：a=，
∴y=(x+1)2−3
当y=0时，有(x+1)2−3=0，
∴x1=2，x2=−4，
∴A(−4，0)，B(2，0).
(2)∵A(−4，0)，B(2，0)，C(0，−)，D(−1，−3)
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+(+3)×1+×2×=10.
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l边AD相交与点M1时，则S△AHM1=×10=3，
∴×3×(−y M1)=3
∴y M1=−2，点M1(−2，−2)，过点H(−1，0)和M1(−2，−2)的直线l的解析式为y=2x+2.
②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2(，−2)，过点H(−1，0)和M2(，−2)的直线l的解析式为y=−x−.
综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=−x−.
(3)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)且过点H(−1，0)的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴−k+b=0，∴b=k，
∴y=kx+k.由，
∴x2+(−k)x−−k=0，
∴x1+x2=−2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M(k−1，k2).
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k−3
由，解得：x1=−1，x2=3k−1，∴N(3k−1，3k2−3)
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴(3k)2+(3k2)2=(k)2+(k2+3)2，
整理得：3k4−k2−4=0，
∵k2+1>0，
∴3k2−4=0，
解得k=±，
∵k<0，∴k=−23√3，
∴P(−−1，6)，M(−−1，2)，N(−2−1，1)
∴PM=DN=2，
∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(−2−1，1).