2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题11二次函数综合之相似三角形学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题11二次函数综合之相似三角形学案，共39页。学案主要包含了经典例题1，经典例题，经典例题2，经典例题4等内容，欢迎下载使用。

相似三角形的判定
类型一：直角三角形相似根据相似、三角函数求解
【经典例题1】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

【解析】(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=−x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=−x2+2x+4，
配方得y=−(x−1)2+5，
∴点M的坐标为(1，5)；
(2)设直线AC解析式为y=kx+b，把点A(3，1)，C(0，4)代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y=−x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E. 点F
把x=1代入直线AC解析式y=−x+4解得y=3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)
∴1<5−m<3，解得2 (3)连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)

∵MG=1，GC=5−4=1
∴MC=，
把y=5代入y=−x+4解得x=−1，则点N坐标为(−1，5)，
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有MC/CP=CD/BD
∵BD=1，CD=3，
∴CP=MC⋅BD/CD==，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=∴PH==
把x=代入y=−x+4，解得y=，
∴P1(，)；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=−代入y=−x+4，解得y=
∴P2(−，)；
②若有△PCM∽△CDB，则有MC/CP=BD/CD
∴CP==∴PH=÷=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=−x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=−3代入y=−x+4，解得y=7
∴P3(3，1);P4(−3，7).
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1(，)，P2(−，)，P3(3，1)，P4(−3，7).
【经典例题】抛物线y=ax2+bx+c过A(2，3)，B(4，3)，C(6，−5)三点。
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标；
(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由。

【解析】(1)根据题意，设抛物线表达式为y=a(x−3)2+h.
把B(4，3)，C(6，−5)代入得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y=−(x−3)2+4=−x2+6x−5；
(2)设直线AC的表达式为y=kx+n，
则：，解得：k=−2，n=7，
∴直线AC的表达式为y=−2x+7，
设点D(m，−m+6m−5)，2 ∴DE=(−m2+6m−5)−(−2m+7)=−m2+8m−12，
设直线DE与直线AB交于点G，
∵AG⊥EG，∴AG=m−2，EG=3−(−2m+7)=2(m−2)，
m−2>0，
在Rt△AEG中，∴AE=(m−2)，
由DE/AE=，得，
化简得，2m2−11m+14=0，
解得：m1=，m2=2(舍去)，
则D(，).
(3)根据题意得：△ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则△BPQ为等腰直角三角形，
分三种情况：
①若∠BPQ=90°，BP=PQ，
如图2，过P作MN∥x轴，过Q作QM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
易证得：△BAP≌△QMP，
∴AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，
∴P(2，−2)，Q(−3，0)，
在Rt△QMP中，PM=5，QM=2，
由勾股定理得：PQ=，
∴S△BPQ=PQ⋅PB=；
如图3，易证得：△BAP≌△PMQ，
∴AB=PM=2，AP=MQ=3−2=1，
∴P(2，2)，Q(3，0)，
在Rt△QMP中，PM=2，QM=1，
由勾股定理得：PQ=，
∴S△BPQ=PQ⋅PB=；
②若∠BQP=90°，BQ=PQ，
如图4，易得：△BNQ≌△QMP，
∴NQ=PM=3，NG=PM−AG=3−2=1，
∴BN=MQ=4+1=5，
∴P(2，−5)，Q(−1，0)
∴PQ=，
∴S△BPQ=PQ⋅PB=17；
如图5，易得△QNB≌△PMQ，
∴NQ=PM=3，
∴P(2，−1)，Q(5，0)，
∴PQ=，
∴S△BPQ=PQ⋅PB=5，
③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如图6，
过Q作QN⊥AB，交AB的延长线于N，
易得：△PAB≌△BNQ，
∵AB=2，NQ=3，AB≠NQ
∴此时不存在符合条件的P、Q.


练习1-1.如图，已知抛物线经过A（2，0）、B（3，3）及原点O，顶点为C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习1-2如图，二次函数 y =(x + 2)(ax + b) 的图像过点 A(-4，3），B(4，4).
(1)求二次函数的解析式：
(2)求证：△ACB 是直角三角形；
(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。





练习1-3如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


练习1-4如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C.
(1)求抛物线解析式；
(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD.求出点D坐标；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△BMP与△BAD相似，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．


练习1-5如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM＝1，ON＝5．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM，且AB⊥AM．
①AO为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；
②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标．

练习1-6如图，已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D为顶点，连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交与点 E.
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)G是抛物线上B，D之间的一点，且S四边形CDGB=4S△DGB，求出G点坐标；
(3)在抛物线上B，D之间是否存在一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似?若存在，求出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由。

练习1-7如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM＝CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角（0°＜＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
(备用图)



练习1-8如图，直线AB交x轴于点B(4，0)，交y轴于点A(0，4)，直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°.
(1)直接写出直线AB的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE.是否存在点P，使△BPF与△FCE相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。











类型二：A字型或两组对应边成比例其夹角相
【经典例题2】如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】(1)∵点A(0,1).B(−9,10)在抛物线上，
∴c=1;×81−9b+c=10，∴b=2;c=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，
(2)∵AC∥x轴,A(0,1)∴x2+2x+1=1，
∴x1=6,x2=0，
∴点C的坐标(−6,1)，
∵点A(0,1).B(−9,10)，
∴直线AB的解析式为y=−x+1，
设点P(m,m2+2m+1)∴E(m,−m+1)
∴PE=−m+1−(m2+2m+1)=−m2−3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC
=AC×EF+AC×PF=AC×(EF+PF)=AC×PE
=×6×(−m2−3m)=−m2−9m=−(m+)2+，
∵−6 ∴当m=−时,四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P(−,−).
(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2−2，
∴P(−3,−2)，
∴PF=yF−yP=3,CF=xF−xC=3，
∴PF=CF，∴∠PCF=45∘
同理可得：∠EAF=45∘，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3
∵以C. P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴CQ/AC=CP/AB，
∴，∴t=−4，
∴Q(−4,1)
②当△CQP∽△ABC时，
∴CQ/AB=CP/AC，
∴，∴t=3，
∴Q(3,1).
【经典例题2】(2019娄底)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C，且过点D(2，－3)．点P、Q是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

【解析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入并解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2-2m-3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y=mx-3-2m，则OG=3+2m，
S△POD=×OG（xD-xP）=（3+2m）（2-m）=-m2+m+3，
∵-1<0，故S△POD有最大值，当m=时，其最大值为；
（3）∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠ABC=∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB=∠BOQ时，
AB=4，BC=3，AC=，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC=×AH×BC=AB×OC，解得：AH=2，
则sin∠ACB=AH/AC=，则tan∠ACB=2，
则直线OQ的表达式为：y=-2x…②，
联立①②并解得：x=±，
故点Q1（，-2），Q2（-，2），
②∠BAC=∠BOQ时，tan∠BAC=OC/OA=3=tan∠BOQ，则点Q（n，3n），
则直线OQ的表达式为：y=-3x…③，
联立①③并解得：x=，
故点Q3（，），Q4（，）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，-2）或（，）或（-，2）或（，）．
练习2-1如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D .
（1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

练习2-2(2019郴州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点F是线段AD上一个动点．
①如图①，设k＝，当k为何值时，CF＝AD?
②如图②，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．

练习2-3如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．




练习2-4如图，一次函数y=-x-2的图象与二次函数y=ax2+bx-4的图象交于x轴上一点A，与y轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y=ax2+bx-4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x=n（n<0），n是方程2x2-3x-2=0的一个根，连接AD．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当S△ACB=3S△ADB时，求点C的坐标；
（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．



类型三：点在抛物线上：求（设）直线，求点，算长度，验证对应边成比例
【经典例题4】(2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B， C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）抛物线解析式y=x2+x+3，点A坐标（-4,0）
（2）点P（3，）
（3）存在.
①如图，当CQ1∥AB交抛物线于点Q1时，

x2+x+3=3，此时Q1（2,3）符合要求
②如图，作∠ABQ2=∠ABC交抛物线于点Q2
此时Q2（-8，-7）不符合要求
③如图，过点B作BQ3∥AC，则∠ABC=∠ABQ3，此时Q3（-10，-12）符合要求
④如图，过点A作AQ4∥BC交抛物线于点Q4，，此时Q4（10，-7）不符合要求
⑤如图，作∠BAQ5=∠BAC交抛物线于点Q5.此时Q5（12，-12）符合要求
综上所述，点Q坐标为（2,3），（-10，-12），（12，-12）。





4-1已知抛物线y=a(x+3)(x-1)（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？






练习4-2.如图，二次函数 y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点 A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点 C（0，3）．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点 M 以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点 D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间 t 为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值.

练习4-3(难题)抛物线 L：y＝﹣x2+bx+c经过点 A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
(1)直接写出抛物线 L的解析式；
(2)如图 1，过定点的直线 y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线 L交于点 M、N．若
△BMN的面积等于 1，求 k的值；
(3)如图 2，将抛物线L向上平移 m（m＞0）个单位长度得到抛物线 L1，抛物线L 1与y轴交于点 C，过点 C作 y轴的垂线交抛物线 L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
参考答案
练习1-1.【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将点A(−2，0)，B(−3，3)，O(0，0)，代入可得：
，解得：，
所以函数解析式为：y=x2+2x；
(3)假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P(x，y)，由题意知x>0，y>0，且y=x2+2x，
由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC:OB=1:3，
①若△PMA∽△COB，则AM/BO=PM/CO，
即x+2=3(x2+2x)，得
x1=，x2=−2(舍去)
②若△PMA∽△BOC，AM/CO=PM/BO，
即：x2+2x=3(x+2)，
得：x1=3，x2=−2(舍去)当x=3时，y=15，即P(3，15).
故符合条件的点P有两个，分别(，)或(3，15).


练习1-2【解析】(1)由题意得，函数图象经过点A(−4，3)，B(4，4)，
故可得：，解得：，
故二次函数关系式为：y=(x+2)(13x−20).
(2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为(−2，0)，点D坐标为(，0)，
又∵点A(−4，3)，B(4，4)，
∴AB=，AC=，
BC=，
∵满足AB2=AC2+BC2，
∴△ACB是直角三角形。
(3)存在点P的坐标，点P的坐标为(−，)或(−，).
设点P坐标为(x，(x+2)(13x−20))，则PH=(x+2)(13x−20)，HD=−x+，
①若△DHP∽△BCA，则PH/AC=DH/BC，即，
解得：x=−或x=(因为点P在第二象限，故舍去)；
代入可得PH=，即P1坐标为(−，)；
②若△PHD∽△BCA，则PH/BC=HD/AC，即，
解得：x=−或x=(因为点P在第二象限，故舍去).
代入可得PH=，即P2坐标为：(−，).
综上所述，满足条件的点P有两个，即P1(−，)、P2(−，).

练习1-3【解析】(1)∵顶点坐标为(1，1)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−1)2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a(0−1)2+1，解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−(x−1)2+1，
即y=−x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B(2，0)，C(−1，−3)；
(2)如图，分别过A. C两点作x轴的垂线，交x轴于点D. E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，−x2+2x)，
∴ON=|x|，MN=|−x2+2x|，
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
①当MN/AB=ON/BC时，则有|−x2+2x|/=|x|/3，即|x||−x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|−x+2|=，即−x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为(，0)或(，0)；
②当MNBC=ONAB时，则有|−x2+2x|/3=|x|/，即|x||−x+2|=3|x|，
∴|−x+2|=3，即−x+2=±3，解得x=5或x=−1，
此时N点坐标为(−1，0)或(5，0)，
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(−1，0)或(5，0).

练习1-4【解析】(1)将A(−1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+2，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+2．
(2)当x=0时，y=−x2+x+2=2，
∴点C的坐标为(0，2)．
①过点D作DE⊥x轴于点E，如图1所示．
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴OA=EB，OC=ED．
∵A(−1，0)，O(0，0)，C(0，2)，B(4，0)，
∴BE=1，DE=2，OE=3，
∴点D的坐标为(3，−2)．
②四边形ADBC为矩形，理由如下：
∵A(−1，0)，B(4，0)，C(0，2)，
∴OA=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC=，BC=．
∵AC2+BC2=25=AB2，
∴∠ACB=90°．
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，BC=AD，
∴BC//AD且BC=AD，
∴四边形ADBC为平行四边形．
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ADBC为矩形．
(3)假设存在，设点P的坐标为(，m)．
∵点M为AB的中点，
∴∠BPD=∠ADB=90°，
∴有两种情况(如图2所示)．
①当△PMB∽△BDA时，有PM/MB=BD/DA=，即，
解得：m=±，
∴点P的坐标为(，)或(，−)；
②当△BMP∽△BDA时，有PM/MB=AD/DB=2，即，
解得：m=±5，
∴点P的坐标为(，5)或(，−5)．
综上所述：在该抛物线对称轴上存在点P，使△BMP与△BAD相似，点P的坐标为(，)或(，−)或(，5)或(，−5)

练习1-5【解析】(1)∵OM=1，ON=5，
∴M(−1，0)，N(0，5)，
将M(−1，0)，N(0，5)代入y=ax2+4x+c，
，解得a=−1，c=5，
抛物线的表达式为y=−x2+4x+5；
(2)①AO为10时，△ABM∽△OMN.理由如下：
设A(0，m)，则OA=m，AM=，
∵kAM=m，AB⊥AM，
∴kAB=−，
∴直线AB表达式：y=−x+m，
∵抛物线y=−x2+4x+5对称轴：直线x=2，
∴B(2，−+m)，
∴AB=
∵△ABM∽△OMN，
∴AB/AM=OM/ON=，=，
化简，得m4−99m2−100=0，
(m2−100)(m2+1)=0，
∵m2+1≠0，
∴m2−100=0，
∴m=10或−10(舍去)
AO=10，即AO为10时，△ABM∽△OMN.
②A的坐标为(0，)或(0，2)或(0，).
∵M(−1，0)，P(2，0)，
∴MP=2−(−1)=3
Ⅰ。当AB=MP=3时，AB==3，
解得m=或−(舍去)
Ⅱ。当AM=MP=3时，AM==3，
解得m=2或−2(舍去)
Ⅲ。当BM=MP=3时，BM=
m=或−(舍去)，
故求得符合条件的A的坐标为(0，)或(0，2)或(0，).

练习1-6【解析】(1)点A(−1，0)、B(3，0)，根据两点式得：
抛物线的表达式为：y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3…①；
函数的对称轴为x=1，当x=1时，y=x2−2x−3=−4，则D(1，−4)；
(2)过点G作y轴的平行线交BD于点H，设直线BC交对称轴于点F，

由点B(3，0)、C(0，−3)的坐标可得，直线BC的表达式为：y=x−3，
则点F(1，−2)，则FD=2，
同理可得，BD的表达式为：y=2x−6，
设点G(x，x2−2x−3)，则点H(x，2x−6)，
S四边形CDGB=4S△DGB，
则S△BDG=S△BCD=××FD×OB=×2×3=1，
S△BDG×HG×BE=×(2x−6−x2+2x+3)×(3−1)=1，
解得：x=2，
故点G(2，−3)；
(3)存在，理由：
过点B作BP⊥BC交CM的延长线于点P，

∵点B(3，0)、C(0，−3)、
则BC=3，BC、CD与y轴的夹角都是45°，
故∠BDC=90°，
∵MN⊥CD，
∴BC∥MN，
∵C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似，
∴B，C，P为顶点的三角形与△BDE相似，
则BP/CB=BE/ED或ED/BE，即或，
解得：BP=或；
过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵∠OBC=45°，
∴∠PBQ=45°；
①当PB=时，PQ=BQ=PB=，
OQ=OB+BQ=3+=，
故点P(，−)，
由点C. P的坐标得，直线CP的表达式为：y=x−3…②，
联立①②并解得：x=0(舍去)或，
故点M(，−)；
②当BP=6时，
同理可得：点P(9，−6)，
则直线CP的表达式为：y=−x−3…③，
联立①③并解得：x=0(舍去)或，
故点M(，−)；
综上，点M的坐标为：(，−)或(，−).
练习1-7(备用图)
【解析】(1)∵x=−=，b=，∴a=−，
把A(4，0)，a=−代入y=ax2+x+c，解得c=2，
则抛物线解析式为y=−x2+x+2.
(2)如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
∵y=−x2+x+2，∴当x=0时，y=2，
∴C点的坐标是(0，2)，
设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0)，
把A(4，0)、C(0，2)代入y=kx+b，
可得，解得：，
∴直线AC解析式为y=−x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为(m，−m2+m+2)，H(m，−m+2)，
∴MH=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2−(−m+2)]=m，
又∵MH=−m2+2m，∴−m2+2m=m，
即m(m−2)=0，
解得m=2或m=0(不符合题意，舍去)，
∴m=2，
当m=2时，
y=−×22+×2+2=3，
∴点M的坐标为(2，3).
(3)存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A. B两点，A(4，0)，A、B两点关于直线x=成轴对称，
∴B(−1，0)，
∵AC==2，BC==，AB=5，
∴AC2+BC2=(2)2+()2=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，
设P点坐标为(n，0)，
则N点坐标为(n，−n2+n+2)，
①如图2，

当N1P1/AC=P1G/CB时，
∵∠N1P1G=∠ACB=90°，
∴△N1P1G∽△ACB，
∴，
解得：n1=3，n2=−4(不符合题意，舍去)，
∴P的坐标为(3，0).
②当N2P2/BC=P2G/CA时，
∵∠N2P2G=∠BCA=90°，
∴△N2P2G∽△BCA，
∴，
解得：n1=1+，n2=1−(不符合题意，舍去)，
∴P的坐标为(1+，0).
∴存在点P(3，0)或(1+，0)，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似。

练习1-8【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0，4)，B(4，0)两点坐标代入，
得，解得，所以，直线AB的解析式为y=−x+4；
(2)过D点作DG⊥y轴，垂足为G，
∵OA=OB=4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，
∴∠DAG=90°−∠OAB=45°，即△ADG为等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG−OA=DM−OA=6−4=2，
∴D(2，6)；
(3)存在。
由抛物线过O(0，0)，B(4，0)两点，设抛物线解析式为y=ax(x−4)，
将D(2，6)代入，得a=−，所以，抛物线解析式为y=−x(x−4)，
由(2)可知，∠PBF=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C(2，2)，
设P(x，0)，则MP=x−2，PB=4−x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时(如图1)，△BPF与△FCE相似，
过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4−x+2(x−2)=x，
将E(x，x)代入抛物线y=−x(x−4)中，得x=−x(x−4)，解得x=0或，即P(，0)，
②当∠CEF=∠BPF=90°时(如图2)，此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
则PE=MC=2，将E(x，2)代入抛物线y=−x(x−4)中，得2=−x(x−4)，
解得x=或，即P(，0)，
所以，P(0)或(，0).



类型二：A字型或两组对应边成比例其夹角相
练习2-1【解析】(1)∵y=x2的顶点坐标为(0，0)，
∴y=(x−h)2+k的顶点坐标D(−1，−4)，
∴h=−1，k=−4(3分)
(2)由(1)得y=(x+1)2−4
当y=0时，
(x+1)2−4=0
x1=−3，x2=1
∴A(−3，0)，B(1，0)(1分)
当x=0时，y=(x+1)2−4=(0+1)2−4=−3
∴C点坐标为(0，−3)
又∵顶点坐标D(−1，−4)(1分)
作出抛物线的对称轴x=−1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中，AD2=22+42=20
在Rt△AOC中，AC2=32+32=18
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2
∵AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形；
(3)存在。由(2)知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°；
连接OM，过M点作MG⊥AB于点G，
AC==3
①若△AOM∽△ABC，则AO/AB=AM/AC，
即，AM=
∵MG⊥AB∴AG2+MG2=AM2
∴AG=MG==;OG=AO−AG=3−=

∵M点在第三象限
∴M(−，−)；
②若△AOM∽△ACB，则AO/AC=AM/AB，
即，AM=2∴AG=MG==2
OG=AO−AG=3−2=1
∵M点在第三象限
∴M(−1，−2).
综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为(−，−)，(−1，−2).

练习2-2【解析】抛物线解析式为y=−x2−2x+3；
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4
∴顶点D的坐标为(−1，4)；
(2)①∵在Rt△AOC中，OA=3，OC=3，
∴AC2=OA2+OC2=18，
∵D(−1，4)，C(0，3)，A(−3，0)，
∴CD2=12+12=2
∴AD2=22+42=20
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°.
∵CF=AD，∴F为AD的中点，
∴AF/AD=，∴k=.
②在Rt△ACD中，tan∠ACD=DC/AC=，
在Rt△OBC中，tan∠OCB=OB/OC=，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠FAO=∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y=−3x+3，
∴直线OF的解析式为y=−3x，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y=2x+6，
∴，解得：，
∴F(−，).
当∠AOF=∠CAB=45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB=45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y=−x，
∴，解得：，
∴F(−2，2).
综合以上可得F点的坐标为(−，)或(−2，2).
练习2-3【解析】(1)把B. C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3；
(2)如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，

在y=x2−2x−3中，令y=0可得0=x2−2x−3，解得x=−1或x=3，
∴A点坐标为(−1，0)，
∴AB=3−(−1)=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB⋅OC=×4×3=6，
∵B(3，0)，C(0，−3)，
∴直线BC解析式为y=x−3，
设P点坐标为(x，x2−2x−3)，则M点坐标为(x，x−3)，
∵P点在第四限，
∴PM=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x，
∴S△PBC=PM⋅OH+PM⋅HB=PM⋅(OH+HB)=PM⋅OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=−x2+3x=−(x−)2+，
∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为(，−)，S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=
即当P点坐标为(，−)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；
(3)①当点Q在x轴下方时，如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，

则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AOC和Rt△NOB中
∠AOC=∠NOB，OC=OB，∠ACO=∠NBO
∴Rt△AOC≌Rt△NOB(ASA)，
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为(0，−1)，
设直线m解析式为y=kx+d，把B. N两点坐标代入可得，解得，
∴直线m解析式为y=x−1；
②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，
∴解析式为y=−x+1；
综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y=x−1或y=−x+1.
练习2-4【解析】在y＝−x−2中，令y＝0，则x＝−2
∴A(−2，0)．
由2x2−3x−2＝0，得x1=−，x2＝2，
∴二次函数y＝ax2+bx−4的对称轴为直线x=−，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：y＝2x2+2x−4；
∵S△ADB=BD⋅OA＝2，
∴S△ACB＝3S△ADB＝6．
∵点C在x轴上，
∴S△ACB=AC⋅OB=×2AC＝6，
∴AC＝6．
∵点A的坐标为(−2，0)，
∴当S△ACB＝3S△ADB时，点C的坐标为(4，0)或(−8，0)；
存在．
理由：令x＝0，一次函数与y轴的交点为点B(0，−2)，
∴AB=，∠OAB＝∠OBA＝45°．
∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴点C在点A的左边．
①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴AC/AB=AB/BD=1，
∴AC＝BD＝2，
∴OC＝OA+AC＝2+2＝4，
∴点C的坐标为(−4，0)．
②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA
∴AC/AB=AB/BD=，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC＝OA+AC＝2+4＝6，
∴点C的坐标为(−6，0)．
综上所述，在x轴上有一点C(−4，0)或(−6，0)，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．


类型三：点在抛物线上：求（设）直线，求点，算长度，验证对应边成比例
练习4-1【解析】(1)∵y=a(x+3)(x−1)，
∴点A的坐标为(−3，0)、点B两的坐标为(1，0)∵直线y=−x+b经过点A，
∴b=−3，∴y=−x−3，
当x=2时，y=−5，
则点D的坐标为(2，−5)，
∵点D在抛物线上，∴a(2+3)(2−1)=−5，
解得，a=−，
则抛物线的解析式为y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3；
(2)作PH⊥x轴于H，
设点P的坐标为(m，n)，
当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即OC/OA=PH/HB，
∴，即n=−a(m−1)，∴，
解得，m1=−4，m2=1(不合题意，舍去)，
当m=−4时，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴AC/AB=AB/B，即AB2=AC⋅PB，
∴42=，
解得，a1=(不合题意，舍去)，a2=−，
则n=5a=−，
∴点P的坐标为(−4，−)；
当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即OC/OB=PH/HB，
∴，即n=−3a(m−1)，
∴，
解得，m1=−6，m2=1(不合题意，舍去)，
当m=−6时，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴BC/BA=AB/PB，即AB2=BC⋅PB，
∴42=，
解得，a1=(不合题意，舍去)，a2=−，
则点P的坐标为(−6，−)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(−4，−)和(−6，−)；
(3)作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN=DN/AN==，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE=EF/sin∠EDF=EF，
∴Q的运动时间t=BE/1+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，y=−4.

练习4-2.【解析】(1)由题意知：，解得，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)在y=−x2+2x+3中，令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴B(3，0)，
由已知条件得直线BC的解析式为y=−x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=−x+b，
∴0=1+b，∴b=−1，
∴直线AD的解析式为y=−x−1；
(3)①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
∴只要当：BC/AD=PB/AB或BC/AB=PB/AD时，△PBC∽△ABD，
解y=−x2+2x+3和y=−x−1得D(4，−5)，
∴AD=5，AB=4，BC=3，
设P的坐标为(x，0)，
即或，
解得x=或x=−4.5，
∴P(，0)或P(−4.5，0)，
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=45°，
∴sin∠BAF=BF/AB，
∴BF=4×2=2，BD=，
∴sin∠ADB=BF/BD==，
∵DM=5−t，DN=t，
又∵sin∠ADB=NE/DN，NE=5t⋅=t，
∴S△MDN=DM⋅NE=(−t)⋅t=−t2+t=−(t2−t)=−(t−)2+，
∴当t=时，S△MDN的最大值为.


练习4-3(难题)抛物线 L：y＝﹣x2+bx+c经过点 A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
(1)直接写出抛物线 L的解析式；
(2)如图 1，过定点的直线 y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线 L交于点 M、N．若
△BMN的面积等于 1，求 k的值；
(3)如图 2，将抛物线L向上平移 m（m＞0）个单位长度得到抛物线 L1，抛物线L 1与y轴交于点 C，过点 C作 y轴的垂线交抛物线 L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

【解析】（1）由题意知，解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=-x2+2x+1.
待定系数法求二次函数的表达式
（2）∵y=kx-k+4=k(x-1)+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4）.
∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
二次函数表达式的三种形式
∴点B（1，2），则BG=2.
∵S△BMN=1，即S△BNG-S△BMG=BG•xN-BG•xM=1，
∴xN-xM=1，
由y=kx−k+4y=−x2−2x+1
得x2+(k-2)x-k+3=0，
解得：x==，
则xN=、xM=，
用公式法解一元二次方程
由xN-xM=1得=1，
∴k=±3.
∵k＜0，∴k=-3；
（3）设抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，PC/PD=FO/OP，
∴，∴t2-(1+m)t+2=0；
②当△PCD∽△POF时，
PCCD=POOF，
∴，∴t=(m+1)；
a.当方程①有两个相等实数根时，
△=(1+m)2-8=0，
一元二次方程根的判别式
解得：m=2-1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，∴m=2-1，
此时点P的坐标为（0，2）和（0，）；
b.当方程①有两个不相等的实数根时，
一元二次方程根的判别式
把②代入①，得：(m+1)2-(m+1)+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程①有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2-1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）.