2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题12.1二次函数综合之与圆的位置关系学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题12.1二次函数综合之与圆的位置关系学案，共33页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2等内容，欢迎下载使用。

二次函数与圆的问题
【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；


(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．
【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x+8)，
将D(0，4)代入得4=16a，即a=，
∴抛物线的解析式为y=(x+8)(x+2)=x2+x+4；
(2)证明：如图1，设直线CE与y轴交于点G，连接AB、AC、AG.
由题知，顶点E的坐标为(−5，−)，
设直线EC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴直线CE的解析式为：y=x+，
令x=0得G(0，)
∴BG=4−=，
∵CG==，
∴BG=CG，
在△ACG和△ABG中
∵AG=AG，AC=AB，CG=BG，
∴△ACG≌△ABG(SSS)
∴∠ACG=∠ABG，
∵A与y轴相切于点B，∴∠ACG=∠ABG=90∘，
∵点C在A上，
∴直线CE与A相切；
(3)存在点F，使△BDF面积最大。
如图2，连接BD、BF、DF，过F作FN∥y轴，交BD于点N，交x轴于点G.
由B(0，4)、D(−8，0)，
设直线BD的解析式为y=cx+d，则，解得：，
故直线BD的解析式为：y=x+4，
设F(t，t2+t+4)，N(t，t+4)
则FN=t+4−(t2+t+4)=−t2−2t，
∴S△BDF=S△DNF+S△BNF=FN×DG+FN×OG=FN×OD
=×8×(−t2−2t)=−(t+4)2+16，
∴当t=−4时，S△BDF有最大值，最大值为16.
此时点F的坐标为(−4，−2).

练习1-1.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．


练习1-2如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

练习1-3.如图，已知抛物线(a≠0)与x轴交于A. B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，-3)，。
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由。






练习1-4.如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M(3，)，将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；
(1)求抛物线n的解析式；
(2)设抛物线n与x轴的另一个交点为 E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.









【经典例题2】如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

【解析】(1)过点B. C分别作x轴的垂线交于点R、S，
∵∠BAR+∠RAB=90∘，∠RAB+∠CAS=90∘，
∴∠RAB=∠CAR，又AB=AC，
∴RtBRA△≌Rt△ASC(AAS)，
∴AS=BR=2，AR=CS=1，
故点B. C的坐标分别为(2，2)、(5，1)，
将点B. C坐标代入抛物线y=ax2−x+c并解得：
a=，c=11，
故抛物线的表达式为：y=x2−x+11；
(2)将点B坐标代入y=kx+1并解得：y=x+1，则点D(−2，0)，
点A. B. C. D的坐标分别为(3，0)、(2，2)、(5，1)、(−2，0)，
则AB=，AD=5，
点E在直线BD上，则设E的坐标为(x，x+1)，
∵AD=AE，则52=(3−x)2+(x+1)2，
解得：x=−2或6(舍去−2)，
故点E(6，4)，
把x=6代入y=x2−x+11=4，
故点E在抛物线上；
(3)①当切点在x轴下方时，
设直线y=k1x−1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G(0，−1)，连接GA，
AH=AB=，GA=，
∵∠AHK=∠KOG=90∘，∠HKA=∠HKA，∴△KOG∽△KHA，
∴KO/KH=OG/HA，即：，
解得：KO=2或−(舍去)，
故点K(−2，0)，
把点K、G坐标代入y=k1x−1并解得：
直线的表达式为：y=−x−1；
②当切点在x轴上方时，
直线的表达式为：y=2x−1；
故满足条件的直线解析式为：y=−x−1或y=2x−1.

练习2-1如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点，按顺时针方向旋转180o到△C'DE的位置．
（1）求经过三点O、A、C'的抛物线的解析式；
（2）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B的直线BF与⊙G相切，求直线BF的解析式；
（3）抛物线上是否存在一点，使得S△AMF＝2S△OAB，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．


练习2-2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；
（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．



练习2-3如图，已知二次函数 y=(x-m)2-4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
(1)写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
(3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．


直径所对的弦是圆的直径，都是轴对称图形，勾股定理
练习2-4如图，直线y=x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y=x-3上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，求四边形ABMN的面积.






练习2-5在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）










练习2-6已知函数y = mx2 - (2m - 5)x+m-2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1；
①当n £ x £ -1时，y的取值范围是1 £ y £ -3n，求n的值；
②函数 C2：y = 2(x - h)2+ k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原
点为圆心，半径为的圆内或圆上.设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距
离最大时函数C2的解析式．




练习2-7如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是(3，0)，半径为2的M交x轴于E. F两点，过点P(−1，0)作M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交M于点B. 抛物线y=ax2+bx+c经过P、B. M三点。
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；
(3)如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由。









参考答案
二次函数与圆的问题
练习1-1.【解析】(1)设抛物线为y=a(x−4)2−1，
∵抛物线经过点A(0，3)，
∴3=a(0−4)2−1，a=；
∴抛物线为y=(x−4)2−1=x2−2x+3；
(2)相交。
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当(x−4)2−1=0时，x1=2，x2=6.
A(0，3)，B(2，0)，C(6，0)，
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90∘，∠OBA+∠EBC=90∘，
∴△AOB∽△BEC，
∴AB/BC=OB/CE，即，解得CE=，
∵>2，
故抛物线的对称轴l与C相交。
(3)如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为y=−x+3；
设P点的坐标为(m，m2−2m+3)，
则Q点的坐标为(m，−m+3)；
∴PQ=−m+3−(m2−2m+3)=−m2+m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(−m2+m)×6
=−(m−3)2+；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为；
此时，P点的坐标为(3，−).


练习1-2
【解析】(1)如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA=，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A(0，4)，B(0，−4)，C(8，0)，
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x−8)2，
将点B的坐标代入得：64a=−4，
a=−，
∴y=−x−8)2，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+x−4；
(2)直线l与E相切；
理由是：在直线l的解析式y=x+4中，
当y=0时，即x+4=0，x=−，
∴D(−，0)，
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵OE/OA=，OA/OD=，
∴OE/OA=OA/OD，
∵∠AOE=∠DOA=90∘，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90∘，
∴∠DAO+∠EAO=90∘，
即∠DAE=90∘，
∴直线l与E相切；
(3)如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M(m，m+4)，P(m，−m2+m−4)，
则PM=m+4−(−m2+m−4)=m2−14m+8=(m−2)2+
当m=2时，PM取最小值是，
此时，P(2，−)，
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90∘，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小⋅sin∠QMP=PM最小⋅sin∠AEO=×=，
∴当抛物线上的动点P(2，−94)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为.



练习1-3.
【解析】(1)过点D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示。
∵点D的坐标为(2，−3)，∴OE=2，DE=3.
∵tan∠DBA=，∴BE=2DE=6，
∴OB=BE−OE=4，
∴点B的坐标为(−4，0).
将B(−4，0)，D(2，−3)代入y=−x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2.
(2)过点M作MF⊥x轴，垂足为F，如图2所示。
当y=0时，−x2−x+2=0，
解得：x1=−4，x2=1，
∴点A的坐标为(1，0);
当x=0时，y=−x2−x+2=2，
∴点C的坐标为(0，2).
设点M的坐标为(m，−m2−m+2)(−4 ∴BF=4+m，OF=−m，MF=−m2−m+2，OC=2，OA=1，
∴S四边形BMCA=S△BMF+S梯形FMCO+S△OCA，=BF⋅MF+(MF+OC)⋅OF+OA⋅OC，=×(4+m)×(−m2−m+2)+×(−m2−m+2+2)×(−m)+×1×2，=−m2−4m+5，=−(m+2)2+9.
∵−1<0，
∴当m=−2时，S四边形BMCA取得最大值，最大值为9.
(3)连接BC，如图3所示。
∵OB/OC=OC/OA=2，∠BCO=∠COA=90∘，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OBC=∠OCA.
∵∠OBC+∠OCB=90∘，
∴∠OCA+∠OCB=90∘=∠ACB，
∴BC⊥AC.
∵点B的坐标为(−4，0)，点C的坐标为(0，2)，点A的坐标为(1，0)，
∴直线BC的解析式为y=x+2，直线AC的解析式为y=−2x+2(可利用待定系数法求出).
设点Q的坐标为(−2，n)，则过点Q且垂直AC的直线的解析式为y=x+n+1.
联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，
∴两直线的交点坐标为(，).
依题意，得：(−2−0)2+(n−0)2=[−(−2)]2+(−n)2，
整理，得：n2+3n−4=0，
解得：n1=1，n2=−4，
∴点Q的坐标为(−2，1)或(−2，−4).
综上所述：在这条直线上存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为(−2，1)或(−2，−4).



练习1-4.
【解析】(1)∵顶点坐标为M(3，)，
∴k=，h=−3，
∴抛物线m的解析式为：y=−(x−3)2+=−(x−8)(x+2)，
∴A(−2，0)，B(8，0).
由旋转性质可知，点D与点M(3，)关于点B(8，0)成中心对称，
∴D(13，−)，
∴抛物线n的解析式为：y=(x−13)2−.
(2)∵抛物线n:y=(x−13)2−=(x−8)(x−18)，
∴E点坐标为(18，0).
设直线DE的解析式为y=kx+b，则有：
，解得k=，b=−，
∴直线DE的解析式为：y=x−.
如题图所示，S=PF⋅OF=x⋅(−y)=−x⋅(x−)=−(x−9)2+
∵点P是线段ED上一个动点(P不与E. D重合)，
∴13 ∴S=−(x−9)2+(13 可见该抛物线开口向下，对称轴为x=9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，故S在13 所以S与x的函数关系式为S=−(x−9)2+，自变量取值范围是13 (3)结论：直线CM与G相切。理由如下：
∵抛物线m的解析式为：y=-(x−3)2−，令x=0，解得y=4，
∴C(0，4).
在Rt△COG中，由勾股定理得：CG=，
又∵G半径为5，
∴点C在G上。
如右图所示，依题意作出G，连接CG、CM、MG，过点C作CH⊥MG于点H，则CH=3，HG=4，MH=−4=，
∵CH/HG=MH/CH=，CH⊥MG，
∴△CHG∽△MHC，
∴∠MCH=∠CGH；
又∠HCG+∠CGH=90∘，
∴∠HCG+∠MCH=90∘，即GC⊥MC.
综上所述，点C在G上，且满足GC⊥MC，
∴直线CM与与G相切。

练习2-1
【解析】(1)如图，过点B作BH⊥OA交OA于点H.
依题，等边△OAB中，OA=OB=AB，△ABC′≌△OAB，
∴OA=OB=BC′=AC′=2.
∴四边形OAC′B是菱形，且∠AOB=60∘.
∴BH=OBsin∠AOB=，OH=OB⋅cos∠AOB=1.
∴点A. B. C′坐标分别为A(2，0)，B(1，)，C′(3，).
由抛物线过点O，A，可设y=ax(x−2)(a≠0).
又抛物线过点C，
∴−=a−3(3−2).∴a=.
∴抛物线解析式为y=x(x−2)=x2−x；
(2)∵BF是OG切线，
∴BF⊥AB，
又∵△AOB中∠OAB=60∘，
∴∠AFB=90∘−∠OAB=30∘.
∴kBF=tan∠AFB=.
∴设直线BF解析式为lBF:y=x+b.
由直线过点B得=×1+b.∴b=.
∴直线BF解析式为y=x+；
(3)由(2)知，直线BF解析式为y=x+，
令y=0=x+时，x=−2.
∴点F坐标为(−2，0)，
∴AF=4.
又S△AOB=OA⋅BH=×2×=.
∴S△AMF=2S△AOB=2.
设点M坐标为(x0，y0)，
则S△AMF=F⋅y0=×4y0=2.
∴y0=x0=.
∴或.
∴点M坐标为(−1，)或(3，).



练习2-2
【解析】(1)∵点A为OB的中点，
∴点A的坐标为(0，−1).
∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C(−2，0)，D(2，0)，
将点A(0，−1)，C(−2，0)，D(2，0)代入抛物线的解析式得：c=−1，4a+c=0，
解得：c=−1，a=，
∴抛物线得解析式为y=x2−1.
(2)如下图：过点P1作P1F⊥OE.
∵OE=2，
∴点E的坐标为(0，2).
∵P1F⊥OE.
∴EF=OF.
∴点P1的纵坐标为1.
同理点P2的纵坐标为1.
将y=1代入抛物线的解析式得：x1=−2，x2=2.
∴点P1(−2，1)，P2(2，1).
如下图：
当点E与点B重合时，点P3与点A重合，
∴点P3的坐标为(0，−1).
综上所述点P的坐标为(−2，1)或(2，1)或(0，−1).
(3)设点P的坐标为(m，m2−1)，
∴圆的半径OP==+1，
点P到直线l的距离=m2−1−(−2)=+1.
∴d=r.
∴直线l与圆P相切。

练习2-3
【解析】(1)∵y=(x−m)2−4m2，
∴当y=0时，(x−m)2−4m2=0，
解得x1=−m，x2=3m，
∵m>0，
∴A、B两点的坐标分别是(−m，0)，(3m，0)；
(2)∵A(−m，0)，B(3m，0)，m>0，
∴AB=3m−(−m)=4m，圆的半径为AB=2m，
∴OM=AM−OA=2m−m=m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：(m，−2m)，
又∵二次函数y=(x−m)2−4m2(m>0)的顶点P的坐标为：(m，−4m2)，
∴−2m=−4m2，
解得m1=，m2=0(舍去)，
∴二次函数的解析式为y=(x−)2−1，即y=x2−x−；
(3)如图，连接CM.
在Rt△OCM中，∵∠COM=90∘，CM=2m=2×=1，OM=m=12，
∴OC=，
∴CD=2OC=.

直径所对的弦是圆的直径，都是轴对称图形，勾股定理
练习2-4【解析】



练习2-5【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)
由题意得：解得：a=，b=−，c=0
∴抛物线的解析式为：y=x2−x
(2)存在
抛物线y=x2−x的顶点坐标是(2，−)，作抛物线和M(如图)，
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2，∠CBM=30∘，CM⊥BC
∴∠BCM=90∘，∠BMC=60∘，BM=2CM=4，
∴B(−2，0)
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM−∠CMD=30∘
∴DM=1，CD=
∴C(1，)
设切线l的解析式为：y=kx+b(k≠0)，点B. C在l上，
可得：k+b=，−2k+b=0
解得：k=，b=
∴切线BC的解析式为：y=x+
∵点P为抛物线与切线的交点，
由y=x2−x，y=x+，
解得：，，，
∴点P的坐标为：P1(−，)，P2(6，)；
∵抛物线y=x2−x的对称轴是直线x=2
此抛物线、M都与直线x=2成轴对称图形
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′(如图)
得到B. C关于直线x=2的对称点B1、C1
直线l′满足题中要求，由对称性，
得到P1、P2关于直线x=2的对称点：P3(，)，P4(−2，)即为所求的点；
∴这样的点P共有4个：P1(−，)，P2(6，)，P3(，，P4(−2，).




练习2-6【解析】（1）∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[-（2m-5）]2-4m（m-2）>0，
解得：m<且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x2+x．
（2）①抛物线的对称轴为x=-=-．
∵n≤x≤-1<-
，a=2>0，
∴当n≤x≤-1时，y随x的增大而减小．
∴当x=n时，y=-3n．
∴2n2+n=-3n，解得n=-2或n=0（舍去）．
∴n的值为-2．

②∵y=2x2+x=2（x+）2-，
∴M（-，-）．
如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：-k=-，
解得：k=．
∴OM的解析式为y=x．
设点P的坐标为（x，x）．
由两点间的距离公式可知：OP==，
解得：x=2或x=-2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，1）．
∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x-2）2+1．


练习2-7【解析】(1)连接AM，∵PA切M于点A，
∴AM⊥PA，又AB⊥x轴，
∴∠MAC=∠APM，Rt△APM中，PM=PO+OM=1+3=4，AM=2，
∴sin∠APM=AM/PM=，∠APM=30∘，
在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30∘，
CM=AM⋅sin30∘=2×=1，AC=AM⋅cos30∘=2×=，
∴OC=OM−CM=3−1=2，A(2，)，
∵A、B两点关于x轴对称，
∴B(2，−)，
∵抛物线过P(−1，0)、M(3，0)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将B(2，−)代入，得a(2+1)(2−3)=−，解得a=，
∴y=(x+1)(x−3)=x2−x−；
(2)如图1，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，由(1)得H(x，0)，Q(x，x2−x−)
S四边形APQB=S△APC+S△PQH+S梯形BCHQ=×PC×AC+×PH×QH+×(QH+BC)×CH
=×3×+×(x+1)×(−x2+x+)+×(−x2+x+)×(2−x)=−x2+x+4
∵−<0，四边形APQB的面积有最大值，
当x=时，四边形APQB的面积最大值为，此时Q(，−)；
(3)直线AF与弧AE′B相切。如图2，连接AE，
由(1)可知，AEˆ度数为60∘，根据对称性可知AE′ˆ度数为60∘，△AEE′为等边三角形，
∴AE′Bˆ的圆心为E点，∠EAF=∠EAC+∠CAF=30∘+60∘=90∘
∴直线AF与弧AE′B相切。