2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题10.1二次函数综合之平行四边形学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题10.1二次函数综合之平行四边形学案，共26页。学案主要包含了经典例题1等内容，欢迎下载使用。

平行四边形的存在性
考虑已知边为一边长或对角线，结合点的平移、三角形全等、中点坐标公式等方法求解点坐标。
类型一：已知三点
【经典例题1】如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)Q是平而直角坐标系内一点，在(2)的情况下，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)将A(−1，0)，B(5，0)代入y=−x2+bx+c，得：
，解得：，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5.
(2)由(2)可知，点P的坐标为(，).
以P、Q、C. D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图所示):
①以PD为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴点Q的坐标为(+4−0，+0−3)，即(，)；
②以PC为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴点Q的坐标为(+0−4，3−0)，即(−，)；
③以CD为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴点Q的坐标为(0+4−，3+0−)，即(，−).
综上所述：在(2)的情况下，存在以P、Q、C. D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(，)、(−，)或(，−).
练习1-1如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0）， B（0，2），抛物线的图象过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

练习1-2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式； (2)求证：ED是⊙P的切线；
(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线 y=ax2+bx+c 上吗？ 请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

类型二：已知两点
【经典例题2：垂直于x轴】平行四边形的判定：一组对边平行且相等
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过点A、C.

(1)求抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t.若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，求的值.
②当射线MP，AC，MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t的值。
【解析】(1)在y=x+3中，令x=0，y=3;令y=0，x=−4，得A(−4，0)，C(0，3)，
代入抛物线y=−x2+bx+c解析式得：，
∴抛物线的解析式y=−x2−x+3；
(2)设P(t，−t2−t+3)，
∵四边形OCMP为平行四边形，
∴PM=OC=3，PM∥OC，
∴M点的坐标可表示为(t，t+3)，
∴PM=−t2−3t，∴|−t2−3t|=3，
当−t2−3t=3，解得t=−2，
当−t2−3t=−3，解得t1=−2+2，t2=−2−2，
综上所述，满足条件的t的值为−2或−2+2或−2−2.
(3)如图1，若AC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OA，CG⊥MP，
则CG=CH，
∵S△MCO=OM⋅CH=OC⋅CG，
∴OM=OC=3，
∵点M在直线AC上，
∴M(t，t+3)，
∴MN2+ON2=OM2，可得，t2+(t+3)2=9，
解得t=−，
如图2，若MO平分AC、MP的夹角，则可得∠NMO=∠OMC，过点O作OK⊥AC，
∴OK=ON，
∵∠AKO=∠AOC=90°，∠OAK=OAC，
∴△AOK∽△ACO，
∴AO/AC=OK/OC，∴4/5=OK/3，
∴OK=，
由角平分线的性质可得：点O到AC和MP的距离相等，
∴t=，
综合以上可得t的值为−，.
练习2-1如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线 y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

练习2-2(2019咸宁改编)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，是否存在点E使得以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．




【经典例题3：不垂直于x轴】如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线解析式；
(2)F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE=，求点O到直线AF的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标，请说明理由.

【解析】(1)∵点A(−3，0)，B(1，0)，C(0，3)是抛物线y=ax2+bx+c上点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3；
(2)如图，
当x=−=−1时，y=4，
∴顶点D坐标为(−1，4)，
∴AE=−1−(−3)=2，
又∵tan∠AFE=，∴2EF=，
∴EF=4，
∴F点坐标为(−1，−4)或(−1，4)，
∵OH⊥AF于点H，
根据勾股定理得：AF2=AE2+EF2=22+42，
∴AF=2，
∵×2⋅HO=×3×4，
∴OH=；
即点O到直线AF的距离；
(3)若存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形，则点Q(x，y)满足|y|=|EF|=4，
F为(−1，−4)时：
①当y=−4时，−x2−2x+3=−4，
解得：x=−1±2，
∴点Q坐标为(−1−2，−4)(−1+2，−4)
∴P1 (−2，0)，P2 (2，0)；
②当y=4时，−x2−2x+3=4，
解得：x=−1，
∴Q坐标为(−1，4)，
∴P3 坐标为(−2，0)，
F为(−1，4)时：同理可求得P4(2−2，0)，P5(−2−2，0)；
综上所述，符合条件的点有三个即：P1(−2，0)，P2 (2，0);P3 (−2，0);P4(2−2，0);P5(−2-2，0)




练习3-1(2019贵港)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，－5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．



练习3-2如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+n（k≠0）与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点C（4，0），同时，抛物线W1：y=x2+bx+c也经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，直线x=m是抛物线的对称轴，且与x轴交于点D.
(1)求直线AC的表达式、抛物线W1的解析式及m的值.
(2)如图2，若将抛物线W1向右平移3个单位长度得到抛物线W2，抛物线W2与x轴交于点D，其顶点为G，设P为直线x=m上一点，Q为抛物线W1上一点，是否存在以G，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由.


练习3-3如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

练习3-4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．
（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆的面积；
（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；





















参考答案
练习1-1【解析】C(3，1)，
(1)如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°.
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD.
∵在△AOB与△CDA中，
∠OAB=∠ACD，AB=AC，∠OBA=∠CAD
∴△AOB≌△CDA(ASA).
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C(3，1).
∵点C(3，1)在抛物线y=x2+bx−2上，
∴1=×9+3b−2，解得：b=−.
∴抛物线的解析式为：y=x2−x−2，
(3)存在。
如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB−OG=1.
过点A作AP∥BC交y轴于点W，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形。
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO=∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH=∠AWO，
∴∠CBG=∠APH，
在△PAH和△BCG中，
∠AHP=∠BGC，∠APH=∠CBG，AP=BC
∴△PAH≌△BCG(AAS)，
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH−OA=2，
∴P(−2，1).
抛物线解析式为：y=x2−x−2，当x=−2时，y=1，即点P在抛物线上。
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为(−2，1).


练习1-2【解析】(1)∵C(2，0)，BC=6，
∴B(−4，0)，
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=OD/OC，
∴OD=2tan60°=2，
∴D(0，2)，
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x−2)，
把D(0，2)代入得a⋅4⋅(−2)=2，解得a=−，
∴抛物线的解析式为y=−(x+4)(x−2)=−x2−x+2；
(2)在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴AE/OC=3/2，AD/CD=6/4=3/2，
∴AE/OC=AD/CD，
而∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为P的直径，
∴ED是P的切线;
(3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上。理由如下：
∵△AED∽△COD，
∴DE/OD=AE/OC，即，解得DE=，
∵∠CDE=90°，DE>DC，
∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，
而点C. D在抛物线上，
∴点E′不能在抛物线上；
(4)存在。
∵y=−x2−x+2=−(x+1)2+
∴M(−1，)，
而B(−4，0)，D(0，2)，
如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M(−1，)向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1(−5，)；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D(0，2)向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2(3，)；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D(0，2)向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3(−3，−)，
综上所述，点N的坐标为(−5，)、(3，)、(−3，−).
类型二：已知两点
练习2-1【解析】(1)∵点A(−4，−4)，B(0，4)在抛物线y=−x2+bx+c上，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+4；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E(m，2m+4)，
∴G(m，−m2−2m+4)，
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG=OB=4，
∴−m2−2m+4−2m−4=4，
∴m=−2，
∴G(−2，4)；


练习2-2【解析】(1)y=
(2)当BO为边时，OB=EF，解得m=2，m=，m=

当BO为对角线时，OB、EF互相平分，解得E的横坐标为或
所以E点坐标为（2,1）或（2-2,1+）或（2+2,1-）或（,3+）或（,3-）

练习3-1【解析】(1)函数表达式为：y=a(x=4)2+3，
将点B坐标代入上式并解得：a=−，
故抛物线的表达式为：y=−x2+4x−5；
(2)A(4，3)、B(0，−5)，则点M(2，−1)，
设直线AB的表达式为：y=kx−5，
将点A坐标代入上式得：3=4k−5，解得：k=2，
故直线AB的表达式为：y=2x−5；
(3)设点Q(4，s)、点P(m，−m2+4m−5)，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P(m，−m2+4m−5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4，s)，
即：m−2=4，−m2+4m−5−4=s，
解得：m=6，s=−3，
故点P、Q的坐标分别为(6，1)、(4，−3)；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2=m+4，3−1=−m2+4m−5+s，
解得：m=2，s=1，
故点P、Q的坐标分别为(2，1)、(4，1)；
③当点Q在点A上方时，AQ=MP=2，
同理可得点Q的坐标为(4，5)，
故点P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，−3)或(4，1)或(4，5).


练习3-2【解析】（1）∵直线y=kx+n（k≠0）经过点A（0，3），C（4，0），
∴∴直线AC的表达式为y=x+3.
抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3），C（4，0），
∴⎩∴抛物线的表达式为.
∴对称轴x=.即抛物线的对称轴为直线x=1.
（2）存在，理由如下
①当BG为平行四边形的对角线时，此时Q1G=BP1=3，
则P1(1，0)如图所示




②当BG为平行四边形的一边时时，
B(-1，0)，G(4，)，P2(1，m)根据平移的规律或中点坐标公式，得Q2的横坐标为-4，所以Q2(-4，-6)，根据平移规律P2(1，)

B(-1，0)，G(4，)，P3(1，m)根据平移的规律或中点坐标公式，得Q3的横坐标为6，所以Q3(6，-6)，根据平移规律P3(1，)
综上所述，有P1(1，0)、P2(1，)、P3(1，)三个点。


练习3-3【解析】(1)∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，
OE=.
∴E(0，−3)
设AD=m，则DE=BD=4−m，
∵OE=3，
∴AE=5−3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，
即m2+22=(4−m)2，解得m=，
∴D(−，−5)，
∵C(−4，0)，O(0，0)，
∴设过O、D. C三点的抛物线为y=ax(x+4)，
∴−5=−a(−+4)，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x(x+4)=x2+x；
(2)∵CP=2t，
∴BP=5−2t，
∵BD=，DE=，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，DP=DQ，BD=ED，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL)，
∴BP=EQ，
∴5−2t=t，
∴t=；
(3)∵抛物线的对称为直线x=−2，
∴设N(−2，n)，
又由题意可知C(−4，0)，E(0，−3)，设M(m，y)，
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如图1，
，
则线段EN的中点
横坐标为，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=×22+×2=16
∴M(2，16)；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2，
，
则线段EM的中点，
横坐标为，线段CN中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴m=−3，解得m=−6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=×(-6)2+×(-6)=16，
∴M(−6，16)；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
∴设N(−2，n)，
又由题意可知C(−4，0)，E(0，−3)，设M(m，y)，
∵线段CE的中点坐标的横坐标为−2，线段MN的中点坐标的横坐标为
∵CE与MN互相平分，∴
解得m=−2，
当m=−2时，y=×(-2)2+×(-2)=−，
即M(−2，−).
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为(2，16)或(−6，16)或(−2，−).








练习3-4【解析】(1)在y=x2−2x−3中，令y=0可得x2−2x−3=0，解得x=−1或x=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)，
令x=0可得y=−3，
又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，
∴C(0，3)，
设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c，
把A. B. C的坐标代入可得，解得，
∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=−x2+2x+3；
(2)设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，
∴M(1，1)，
∴MB，
即△ABC外接圆的半径为；
(3)设Q(t，0)，则BQ=|t−3|
①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，
∴P点纵坐标为3，
即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，
当点P在曲线M上时，在y=x2−2x−3中，令y=3可解得x=1+或x=1−，
∴PC=1+或PC=−1，
当x=1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t−3，
∴t−3=1+，解得t=4+，
当x=1−时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3−t，
∴3−t=−1，解得t=4−，
∴Q点坐标为(4+，0)或(4−，0)；
当点P在曲线N上时，在y=−x2+2x+3中，令y=3可求得x=0(舍去)或x=2，
∴PC=2，
此时Q点在B点的右侧，则BQ=t−3，
∴t−3=2，解得t=5，
∴Q点坐标为(5，0)；
②当BC为平行四边形的对角线时，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴线段BC的中点为(，)，设P(x，y)，
∴x+t=3，y+0=3，解得x=3−t，y=3，
∴P(3−t，3)，
当点P在曲线M上时，则有3=(3−t)2−2(3−t)−3，解得t=2+或t=2−，
∴Q点坐标为(2+，0)或(2−，0)；
当点P在曲线N上时，则有3=−(3−t)2+2(3−t)+3，解得t=3(Q、B重合，舍去)或t=1，
∴Q点坐标为(1，0)；
综上可知Q点的坐标为(4+，0)或(4−，0)或(5，0)或(2+，0)或(2−，0)或(1，0).