2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题7二次函数综合之等腰三角形的判定学案

等腰三角形的判定

【经典例题1—点在对称轴上】如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；y=-x2+2x+3

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

【解析】（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得

抛物线的解析式y=-x2+2x+3，

（2）如图由勾股定理，CD=，CD=PD=，P1（1，），P2（1，-），

PC=PD时，设P（1，b），

1+（b-3）2=b2，

解得b=6，P3（1，），

综上所述：P1（1，），P2（1，-），P3（1，）；

练习1-1如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）.

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

练习1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.

(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；

(2)若点P是轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

【经典例题2—点在斜线上】(2019菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积；

(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B（-4，0），

则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），

即：-8a=-2，解得：a=，

故抛物线的表达式为：y=x2+x-2；

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：

直线BC的表达式为：y=-x-2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，

设点D（x，0），则点P（x，x2+x-2），点E（x，x-2），

∵PE=OD，

∴PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），

解得：x=0或-5（舍去x=0），

即点D（-5，0）

S△PBE=×PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x）=；

（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，

①当BD=BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，

BD=1=BM，

则MH=yM=BMsin∠ABC=1×=，

则xM=，故点M（-，-）；

②当BD=DM（M′）时，

同理可得：点M′（-，）；

故点M坐标为（-，-）或（-，）．

练习2-1如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【经典例题3—点在抛物线上】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

【解析】(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，

根据题意，得，解得，

∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3.

(2)存在点P，使得△PDC是等腰三角形。

由y=−x2+2x+3，得

D点坐标为(1，4)，对称轴为x=1，

①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)，

根据勾股定理，得x2+(3−y)2=(x−1)2+(4−y)2，即y=4−x.

又P点(x，y)在抛物线上，

∴4−x=−x2+2x+3，即x2−3x+1=0，

解得：x=，x=<1(不合题意，舍去)，

所以x=，y=4−x=，

即点P的坐标为(，)；

②若以CD为一腰，PD=CD，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，

由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)，

综上所述：符合条件的点P坐标为(，) 或(2，3).

练习3-1如图，抛物线与x轴交于A. B两点，直线y=kx−1与抛物线交于A. C两点，其中A(−1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为−3.

(1)求k的值；

(2)求抛物线的解析式；

(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

练习3-2.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案

练习1-1如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）.

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)∵抛物线y=−x2+bx+4的图象经过点A(−2，0)，

∴−×(−2)2+b×(−2)+4=0，

解得：b=，

∴抛物线解析式为y=−x2+x+4，

又∵y=−x2+x+4=−(x−3)2+，

∴对称轴方程为：x=3.

(3)存在，

理由：∵抛物线的对称轴方程为：x=3，

可设点Q(3，t)，∵A(−2，0)，C(0，4)，

∴AC=2，AQ=，CQ=.

①当AQ=CQ时，

有=，

25+t2=t2−8t+16+9，解得t=0，

∴Q1(3，0)；

②当AC=AQ时，

有2=，∴t2=−5，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

③当AC=CQ时，

有2=，

整理得：t2−8t+5=0，解得：t=4±，

∴点Q坐标为：Q2(3，4+)，Q3(3，4−).

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1(3，0)，Q2(3，3，4+)，Q3(3，4−).

练习1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.

(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；

(2)若点P是轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解析】（1）∵A（－1,0），B（0，－2）∴OE=OB=2，OA=1，

∵AD是⊙M的直径，∴OE·OB=OA·OD，

即：2²=1·OD，OD=4，∴D（4,0），把A（－1,0），B（0，－2），D（4,0）代入得：

，即

该抛物线的表达式为：．

（2）连接AF，DF，因为FH⊥AD于点H，AD为直径，所以△AFH∽△FDH，HF²=DH·AH，

∵E点与B点关于点O对称，根据轴对称的性质，连接BF交x轴于点P，∵A（－1,0），D（4,0），

∴AD=5，设DH=x，则AH=5－x，即1.5²=x（5－x），5x－x²=，4x²－20x+9=0，（2x－1）（2x－9）=0，AH＞DH，

∴DH=，

∴OH=OD－DH=，∴F（3.5,1.5），

设直线BF的解析式为，则3.5k+b=1.5；b=－2，则k=1，b=－2，∴y=x－2，令y=0，则x=－2，

∴P（2,0）

（3）Q（，），Q（，－），Q（，－4），∴Q（，－）．

练习2-1如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，

∴，解得，

∴该二次函数的解析式为y=x2-x-4；

（2）由二次函数y=x2-x-4可知对称轴x=3，

∴D（3，0），

∵C（8，0），

∴CD=5，

由二次函数y=x2-x-4可知B（0，-4），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线BC的解析式为y=x-4，

设E（m，m-4），

当DC=CE时，EC2=（m-8）2+（m-4）2=CD2，

即（m-8）2+（m-4）2=52，解得m1=8-2，m2=8+2（舍去），

∴E（8-2，-5）；

当DC=DE时，ED2=（m-3）2+（m-4）2=CD2，

即（m-3）2+（m-4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），

∴E（0，-4）；

当EC=DE时，（m-8）2+（m-4）2=（m-3）2+（m-4）2解得m5=5.5，

∴E（，-）．

综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8-2，-5）、（0，-4）、（，-）．

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，

∵P点的横坐标为m，

∴P点的纵坐标为m2-m-4，

∵△PBD的面积S=S梯形-S△BOD-S△PFD=m[4-（m2-m-4）]-（m-3）[-（m2-m-4）]-×3×4

=-m2+m=-（m-）2+

∴当m=时，△PBD的最大面积为，

∴点P的坐标为（，-）．

练习3-1如图，抛物线与x轴交于A. B两点，直线y=kx−1与抛物线交于A. C两点，其中A(−1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为−3.

(1)求k的值；

(2)求抛物线的解析式；

(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解析】（1）把（-1，0）代入y=kx-1，得：-k-1=0，解得：k=-1；

（2）在y=-x-1中，令y=-3，解得：-x-1=-3，解得：x=2，则C的坐标是（2，-3）．

设抛物线的解析式是：y=ax2+bx+c，

则，解得：，

则函数的解析式是：y=x2-2x-3；

（3）A、C的中点是：（，），

∵△ACP是等腰三角形，且以AC为底边，

∴P在AC的中垂线上，

∴设AC的中垂线的解析式是：y=x+c，把（，）代入得：+c=，解得：c=-2．

则解析式是：y=x-2．

根据题意得：；

解得：或．

故P的坐标是：（，13）或（，）．

练习3-2.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+1)，

把C(0，−5)代入得a⋅5⋅1=−5，解得a=−1，

所以抛物线解析式为y=−(x+5)(x+1)，即y=−x2−6x−5；

(3)①证明：∵∠APE=∠CPE，

而PH⊥AD，

∴△PAD为等腰三角形，

∴AH=DH，

设P(x，−x2−6x−5)，则OH=−x，OD=−x−DH，

∵PH∥OC，

∴△PHD∽△COD，

∴PH:OC=DH:OD，即(−x2−6x−5):5=DH:(−x−DH)，

∴DH=−x−5x+6，

而AH+OH=5，

∴−x−x−5x+6=5，

整理得2x2+17x+35=0，解得x1=−，x2=−5(舍去)，

∴OH=，

∴AH=5−=，

∵HE∥OC，

∴AE/EC=AH/OH==；

②能。设P(x，−x2−6x−5)，则E(x，−x−5)，

当PA=PE，因为∠PEA=45∘，所以∠PAE=45∘，则点P与B点重合，此时P点坐标为(−1，0)；

当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|−x2−6x−5|=|−x−5|，

解−x2−6x−5=−x−5得x1=−5(舍去)，x2=0(舍去);

解−x2−6x−5=x+5得x1=−5(舍去)，x2=−2，此时P点坐标为(−2，3)；

当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=(x+5)，P′E′=−x−5−(−x2−6x−5)=x2+5x，则x2+5x=(x+5)，解得x1=−5(舍去)，x2=，

此时P点坐标为(，−7−6)，

综上所述，满足条件的P点坐标为(−1，0)，(−2，3)，(，−7−6).