知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础练习题

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一元二次不等式及其解法编稿：张希勇       审稿：李霞【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根要点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程          要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1. 解下列一元二次不等式（1）；    （2）；    （3）【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵∴原不等式的解集是.【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.【答案】由题意知或解得：x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．【变式2】（2015  重庆）函数的定义域是（    ）A.[-3,1]       B.(-3,1)       C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞)     D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞)【答案】由题意得：，即解得x>1或x<-3,所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)，故选D。类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1；   （2）x2-ax+1>0；        （3）x2-(a+1)x+a<0；     【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】(1) ∴原不等式的解集为.(2) Δ=a2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R.（3）(x-1)(x-a)<0 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.举一反三：【变式1】解关于x的不等式：【答案】原不等式化为①a=1或a=-1时，解集为；②当0<a<1 或a<-1时，，解集为：；③当a>1或 -1<a<0时，，解集为：.【变式2】解关于的不等式：（）【答案】当a＜0或a＞1时，解集为；当a=0时，解集为；当0＜a＜1时，解集为；当a=1时，解集为；【变式3】（2015春  房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。【答案】∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即。①当a=0时，，不等式化为x2＜0，解得x∈。②当a＞0时，，不等式解集为。当a＜0时，，不等式解集为例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；若a＜0，原不等式或x＞1；若a＞0，原不等式，其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式；（2）当a＞1时，原不等式；（3）当0＜a＜1时，原不等式综上所述：当a＜0，解集为；当a=0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为；当a=1时，解集为；当a＞1时，解集为.【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x∈(-,2]. 当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为①当a>0时，若， 即时，；若， 即时，x∈R； 若， 即时，.②当a<0时，则有：，  ∴ .【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；【答案】当a=0时，.当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，.②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， .【高清课堂：一元二次不等式及其解法  387159 题型二 含参数的一元二次不等式的解法】【变式3】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【答案】当a＞0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为.类型三：一元二次不等式的逆向运用例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【思路点拨】由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 【解析】由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，∴，∴化为，即，解得，故不等式的解集为.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三： 【变式1】（2015 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1},则a的值是（   ） A.-2          B.-1           C.0          D.1【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1}，∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1，∴或x=-1,即a的值是1，故选D。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【答案】由韦达定理有：，，∴,.∴代入不等式得，即，，解得，故不等式的解集为：.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得或.∴的解集为：.类型四：不等式的恒成立问题【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有整理，得解得a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.举一反三：【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以，    即， ∴ 1<m<19.    综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.