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巩固练习_基本不等式_提高
展开【巩固练习】
一、选择题
1. 下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时, B.当x>0时,
C.当x≥2时,的最小值为2 D.当0<x≤2时,无最大值
2.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的个数为( )
①ab≤1;②;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤.
A.1 B.2
C.3 D.4
3. 若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )
A.6+2 B. 7+2 C. 6+4 D. 7+4
4.若-4<x<1,则有( )
A.最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-1
5. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为,则每吨的成本最低时的年产量为( )
A.240 B.200
C.180 D. 160
6.已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值时,a2+b2的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. D. 2
填空题
7.已知x,y∈R+,且满足,则xy的最大值为________.
8. (2016 河北区二模)设x,y是正实数,且x+y=1,则的最小值是________ .
9. 已知x,y∈R+,且x+4y=1,则xy的最大值为________.
10. 若对任意x>0,恒成立,则a的取值范围是________.
11. 有一批材料可以建成200 m长的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示),则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计).
二、解答题
12. 若,则为何值时有最小值,最小值为几?
13. 已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:.
14. 若a>0,b>0,且+=.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
15. (2016 衡阳二模)已知a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2。
(1)求的最小值;
(2)若对,恒成立,求实数x的取值范围。
16. 某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.
【答案与解析】
1.【答案】 B
【解析】
A中,当x>0且x≠1时,lg x的正负不确定,
∴或;
C中,当x≥2时,;
D中,当0<x≤2时,在(0,2]上递增,.故选B.
2. 【答案】 C
【解析】 因,所以①正确;
因,
所以,故②不正确;
因,所以③正确;
因a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2[(a+b)2-3ab]=2(4-3ab)=8-6ab≥8-6=2,所以④不正确;
因,所以⑤正确.
故正确的命题为①③⑤.
3.【答案】D
【解析】由,得3a+4b=ab,则,所以,当,即时等号成立。
4.【答案】D
【解析】
5. 【答案】B
【解析】依题意得每吨的成本是,则 ,当且仅当 ,即x=200时取等号,因此当每吨的成本最低时,相应的年产量是200吨,选B.
6.【答案】 B
【解析】由约束条件作可行域如图,
联立,解得:A(2,1).
化目标函数为直线方程得:.
由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.
∴,即.
则a2+b2的最小值为.
故选:B.
7.【答案】 3
【解析】 由为定值知
.
∴当且仅当时xy有最大值3.
8.【答案】
【解析】设x=2=s,y+1=t,则s+t=x+y+3=4,
。
因为
所以。
故答案为。
9. 【答案】
【解析】,当且仅当时取等号.
10. 答案:
【解析】
又
∴
∴
11. 【答案】2500 m2
【解析】设所围场地的长为x,则宽为,其中0<x<200,场地的面积为,当且仅当x=100时等号成立.
12. 【解析】∵, ∴,
∴
当且仅当即时,原式有最小值1.
13.【解析】 证明:∵a,b,c都是正数,且a+b+c=1,∴,
, .
∴
=3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c时取等号.
∴.
14.【解析】
(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,
∴=+≥2,
∴ab≥2,
当且仅当a=b=时取等号.
∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,
∴a3+b3的最小值为4.
(Ⅱ)由(1)可知,2a+3b≥2=2≥4>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
15. 【解析】
(1)∵a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2,
∴,
∴,此时。
(2)∵对恒成立,
∴或或
或或,
,∴。
16. 【解析】
(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用为y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]=(6x2-6x)(元).
(2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x元,
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为.
∴,
当且仅当,即x=10时,取等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小,为714元.
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