知识讲解_平面向量的线性运算_基础练习题

这是一份知识讲解_平面向量的线性运算_基础练习题，共10页。
平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．5．掌握向量共线的条件．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则   已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2．向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当不共线时，；(2)当同向且共线时，同向，则；(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．要点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量，（如图），作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3.向量数乘的运算律设为实数结合律：； 分配律：，要点六：向量共线的条件  1．向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2．向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3．向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．要点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.【典型例题】类型一：向量加法的几何运算例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由图知，OABC为平行四边形，∴（2）由图知，∴．（3）∵，∴．又，∴．【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（    ）A．    B．    C．    D．    【答案】B    类型二：向量减法的几何运算例2．如图，解答下列各题：（1）用，，表示；（2）用，表示；（3）用，，表示；（4）用，表示．【答案】（1）（2） (3) （4）【解析】  ∵，，，，，∴（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】在本题中，我们看到，这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．举一反三：【高清课堂：向量的线性运算 395568 例1】【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（   ）．（Ａ）     （Ｂ）   （Ｃ）   （Ｄ）【答案】Ｂ【变式2】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设 ，，．求证：．     【解析】∵，，∴，即．类型三：与向量的模有关的问题例3． 已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】  如图，，，则．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．由于．故，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．【总结升华】 （1）向量+，－的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．（2）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和．因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加法．举一反三：【变式1】若，，则的取值范围是多少？【答案】【解析】．当，同向时，，当，反向时，；当，不共线时，．类型四：向量的数乘运算例4．（2016 河北承德月考）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2）（3）（4）原式         ．【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：    【变式1】计算：（1）6(3―2)+9(―2+)；（2）；（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．【解析】  （1）原式=18―12―18+9=―3．（2）．（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)=6+2．例5.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.【解析】在中  【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．【解析】 ∵，∴，∵，∴，．类型五：共线向量与三点共线问题例6.（2015 广东模拟）如图，在平行四边形ABCD，，，M为AB的中点，点N在DB上，且．（1）当t=2时，证明：M、N、C三点共线；（2）若M、N、C三点共线，求实数t的值．【答案】（1）略；（2）t=2【解析】证明：（1）当t=2时，且，有，又，∴；，则，与有公共点N，于是M、N、C三点共线；（2）由，得，，，，由M、N、C三点共线，得，∴，得，且，解得t=2或t=－1（舍去）；∴t=2．【总结升华】若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则，且，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．举一反三：【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A、C、D三点共线.证明： 　　∴又　　∴　　∴与共线，　　∴A、C、D三点共线.【变式2】设，是两个不共线的向量，，，，若A、B、D三点共线，求k的值．【解析】，若A，B，D三点共线，则与共线，则2∶1=k∶(―4)，k=―8．类型六：向量在证明平面几何问题中的应用  例7． 如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：．【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如下图．∵E是AD的中点，∴．∵F是BC的中点，∴，又∵，∴．∴．【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．    举一反三：【变式1】（2015 湖南模拟）在△ABC中，，，且、交于点F，试用向量的方法求．【答案】【解析】画出图形，如图所示，        设，，∴，；∴，又A、D、F三点共线，∴，B、E、F三点共线，∴，即，∴；∴，解得，；∴，即；∴．