知识讲解_平面_提高练习题

平面

【学习目标】

1.利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．

2．重点掌握平面的基本性质．

3.能利用平面的性质解决有关问题．

【要点梳理】

【高清课堂：空间点线面之间的位置关系 知识讲解】

要点一、平面的基本概念

1.平面的概念：

“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．

要点诠释：

(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；

(2) “平面”无厚薄之分；

(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．

2.平面的画法：

通常画平行四边形表示平面．

要点诠释：

(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；

(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；

3.平面的表示法：

(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；

(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；

(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；

4.点、直线、平面的位置关系：

(1)点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；

(2)点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；

(3)直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．

要点二、平面的基本性质

平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.

1.公理1：

(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；

(2)符号语言表述：，，，；

(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．

2.公理2：

(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

(2)符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；

(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．

“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．

(4)公理2的推论：

①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

②过两条相交直线，有且只有一个平面；

③过两条平行直线，有且只有一个平面.

(5)作用：确定一个平面的依据.

3.公理3：

(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

(2)符号语言表述：且；

(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.

要点三、点线共面的证明

   所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．

    1．证明点线共面的主要依据：

    （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．

    2．证明点线共面的常用方法：

    （1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a、β重合；（3）反证法．

    3．具体操作方法：

    （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；

    （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．

要点四、证明三点共线问题

    所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．

    1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．

    对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．

    2．证明三点共线的常用方法

    方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．

    方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．

要点五、证明三线共点问题

  所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．

   1．证明三线共点的依据是公理3．

   2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

【经典例题】

类型一、平面的概念及其表示

例1．平面内的直线a、b相交于点P，用符号语寄语言概述为“，且P∈ ”，是否正确？

    【答案】不正确

【解析】不正确．应表示为：，，且a∩b=P．

    相交于点P的直线a、b都在平面内，也可以说，平面经过相交于点P的直线a、b．题中的符号语言只描述了直线a、b交于点P，点P在平面内，而没有描述直线a、b也都在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形．

    【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏．

立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）组成立体几何语言，我们必须准确地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁．三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的培养．

举一反三：

【变式1】  根据下列符号表示的语句，说明点、线面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）A∈，B；（2），，；（3）P∈，P，Q∈，Q∈．

【解析】（1）点A在平面内，点B不在平面内；

    （2）直线在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线上；

    （3）直线经过平面外一点P和平面内一点Q．

    图形分别如图（1）、（2）、（3）所示．

  类型二、平面的确定

例2．判断下列说法是否正确，并说明理由：

    （1）一点和一条直线确定一个平面；

    （2）经过一点的两条直线确定一个平面：

    （3）两两相交的三条直线确定一个平面；

（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内．

【答案】不正确  正确  不正确  不正确

    【解析】（1）不正确．如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有且只有一个平面，或直接由公理2的推论1知，有且只有一个平面．

    （2）正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2的推论2知，有且只有一个平面．

    （3）不正确．3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图（1）、（2）所示．前者，由公理2的推论2知．可以确定1个或3个平面；后者，由公理2的推论2及公理1知，能确定一个平面．

    （4）不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第4点不一定在此平面内，如上图（3），因此这4条线段不一定在同一平面内．

【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条件．立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们各种不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．

举一反三：

【变式1】空间中可以确定一个平面的条件是(　　)

A．两条直线              B．一点和一直线

C．一个三角形            D．三个点

【答案】C

例3．在空间内，可以确定一个平面的是（    ）

    A．两两相交的三条直线    B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交

    C．三个点                D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

    【答案】D

    【解析】A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；

    B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；

    对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，因此排除C；

    只有选项D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理2知其确定一个平面．所以应选D．

    【总结升华】要准确理解“确定”的含义，即为“有且只有”，其包含存在性和唯一性两个方面．解题时结合空间几何体来考虑会更直观、快速．

类型三、平面的基本性质的应用

例4．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．

求证：直线a、b、c、d共面．

【解析】（1）无三线共点的情况．如右图所示，

设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=q，a∩c=R，b∩c=S．

∵a∩d=M，∴a，d可确定一个平面，

∵N∈d，Q∈a，∴N∈，Q∈，

∴NQ，即b．

同理c．

∴直线a、b、c、d共面．

（2）有三线共点的情况．如右图所示，设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M，且Ka．

∵Ka，∴A和a可确定一个平面，设为．

∵N∈a，a，∴N∈，

又K∈，∴NK，即b．

同理c，d，∴直线a、b、c、d共面．

由（1）（2）知直线a、b、c、d共面．

    【总结升华】（1）要证明点线共面，一般是依据公理2及其推论，在这些点、线中取出能确定一个平面的相关元素，再证明其他的点、线也在这个平面内，也就是“纳入法”（或“拉人下水法”），即先确定一个平面，然后将其他元素纳入到这个平面之中．

    （2）在证明点、线共面时，除了上述纳入法外，也可以用下面方法来证明：①利用公理2及其推论直接证明；②重合法：先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，再证明两个平面重合．

（3）在证明“线共点”时，一般是依题意，选择其中相交的两条直线，再证明其交点在第三条直线上，在选择时，应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线．从而转化为证明其交点分别在这两个平面内即可．

举一反三：

【变式1】  如右图，已知直线m与直线a、直线b分别交于A、B且a∥b．

求证：过a、b、m有且只有一个平面．

     证明：∵a∥b，∴过a、b有一个平面．

    又m∩a=A，m∩b=B，∴A∈a，B∈b，∴A∈，B∈．

    又A∈m，B∈m，∴m，即过a、b、m有一个平面．

    假设过a、b、m还有一个平面异于，

    则，，，．

    这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．

    因此，过a、b、m有且只有一个平面．

例5．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

【证明】因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，

因为H∈平面AC，H∈α，

由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．

同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，

因此E，F，G，H必在同一直线上．

    【总结升华】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．

    （1）证明三点共线的依据是公理3，对于这个公理应进一步理解为下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．

    （2）证明三点共线的常用方法：

    方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．

    方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上．

    类似地有：（1）证明三线共点的依据是公理3．

（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．

举一反三：

【高清课堂：空间点线面之间的位置关系 例3】

【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P．求证：B，D，P在同一直线上．

【解析】

例6.  如下图，在三棱锥S-ABC的边SA、SC、AB、BC上分别取点E、F、G、H，若EF∩GH=P，求证：EF、GH、AC三条直线交于一点．

证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，

∴EF平面SAC．

∵G∈AB，AB平面ABC，H∈BC，BC平面ABC，

∴GH平面ABC，

又∵EF∩GH=P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC．

∵平面SAC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．

    即直线EF、GH、AC共点于P．

    【总结升华】线共点的证明可利用公理1、公理3作为推理的依据．

举一反三：

    【变式1】  如右图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且．

    求证：直线EF、GH、AC相交于一点．

    证明：∵E、H分别是边AB、AD的中点，

    ∴EH∥BD且．

    ∵F、G分别是边BC、CD上的点，且，

∴FG∥BD且．

故知EH∥FG且EH≠FG，

    即四边形EFGH为梯形，从而EF与GH必相交，设交点为P．

    ∵P∈EF，EF平面ABC，∴P∈平面ABC．

    同理P∈平面ADC．

    ∵平面ADC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．

    即EF、GH、AC交于一点P．

例7．（2016 石景山区期末）如图，有一个正方体的木块，E为棱的中点．现因实际需要，需要将其沿平面将木块锯开．请你画出前面与截面的交线，并说明理由．

【证明】取AB中点F，连接EF，则EF即为所求的面与截面的交线．

理由如下：

连接，∵E为棱的中点，F是AB中点，

∴EF∥，

又∵∥，

∴EF∥，

∴直线EF与直线确定一个平面α，

∵直线与直线外一点E都在平面α内，

∴平面α与平面重合，

∴EF即为所求的面与截面的交线．

【总结升华】本题考查平面与截面交线的画法，解题时认真审题，注意空间思维能力的培养．

举一反三：

【变式1】 已知正方体ABCD=A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱AB、A1D1、BB1的中点，试作出过M、N、P三点的截面．

     作法：（1）设M、N、P三点确定的平面为，则平面 与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是平面与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是平面与平面BB1C1C的交线（如右图）．

    （2）设MP∩A1A=F，则FN是平面与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD=H，连接HM，则HM是平面与平面ABCD的交线．

    由（1）（2）知平面PMHNQ就是过M、N、P三点的截面（如右图中阴影部分）．