【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列的递推公式

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 在数列 an 中，a1=14，an=1−1an−1n≥2，则 a2020=
A. 43B. 14C. −3D. 15

2. 九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用 an 表示解下 nn≤9,n∈N* 个圆环所需的最少移动次数，数列 an 满足 a1=1，且 an=2an−1−1,n为偶数2an−1+2,n为奇数，则解下 4 个环所需的最少移动次数 a4 为
A. 7B. 10C. 12D. 22

3. 在数列 an 中，a1=1，an=1+−1nan−1（n≥2），则 a5 等于
A. 32B. 53C. 85D. 23

4. 已知数列 an 满足：任意 m,n∈N*，都有 an⋅am=an+m，且 a1=12，那么 a5=
A. 132B. 116C. 14D. 12

5. 数列 an 满足 an+1+an=2n−3．若 a1=2，则 a8−a4=
A. 7B. 6C. 5D. 4

6. 在数列 an 中，an+1=2an2+an 对所有的正整数 n 都成立，且 a6=23，则 a5=
A. 1B. 23C. 25D. −1

7. 已知数列 an 满足 a1=2，an+1an=an+−1nn∈N*，则 a4a2 的值为
A. 1615B. 43C. 13D. 83

8. 已知数列 an 满足 a1=0，an+1=an−33an+1n∈N*，则 a20=
A. 0B. −3C. 3D. 32

9. 在数列 an 中，a1=2，a2=4，且 an+1+2an+an−1=0n≥2，则 a4=
A. 22B. −22C. 16D. −16

10. 如果数列 an 对任意 m,n∈N* 满足 am+n=am⋅an，且 a3=8，那么 a8=
A. 1024B. 512C. 510D. 256

11. 数列 an 中，a1=1，an+1>an，且 an+1−an2−2an+1+an+1=0，通过计算 a2，a3 的值，猜想 an=
A. nB. n2C. n3D. n+3−n

12. 已知数列 an 对任意的 p,q∈N* 满足 ap+q=ap+aq，且 a2=−6，那么 a10 等于
A. −165B. −33C. −30D. −21

13. 数列 an 中，a1=1，a2=23，且 1an−1+1an+1=2ann∈N*,n≥2，则 a6 等于
A. 17B. 27C. 72D. 7

14. 已知数列 an 满足 an+an+1=n，那么其前 4 项的和 S4 等于
A. 3B. 4C. 5D. 6

15. 设数列 an 满足 a1=1，an=an−12−1n>1，则 a4 等于
A. −1B. 0C. 1D. −2

16. 在数列 −1，0，19，18，⋯，n−2n2 中，0.08 是它的
A. 第 100 项B. 第 12 项C. 第 10 项D. 第 8 项

17. 数列 an 定义如下：a1=1，当 n≥2 时，an=1+an2,n为偶数1an−1,n为奇数，若 an=14，则 n 的值为
A. 7B. 8C. 9D. 10

18. 在数列 an 中，a1=1，a2=3，an=an−1+1an−2n≥3，则 a5 等于
A. 5512B. 133C. 4D. 5

19. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=−1an+1n=1,2,3,⋯，则下列使 an=1 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 5

20. 在数列 an 中，已知 a1=a2=1，an+2=an+1+ann∈N*，则 a8=
A. 19B. 20C. 21D. 22

21. 设函数 fx 的定义见下表，数列 xn 满足 x0=5 且对任意自然数均有 xn+1=fxn，则 x2004 的值为
x12345fx41352
A. 1B. 2C. 4D. 5

22. 数列 an 满足 an+2+an=an+1，a1=1，a2=2，Sn 为其前 n 项和，则 S2019=
A. 0B. 1C. 3D. 4

23. 数列 an 满足 an+an+1=12n∈N*，a2=2，若 Sn 是数列 an 的前 n 项和，则 S21 为
A. 5B. 72C. 92D. 132

24. 已知数列 an，an=1nn+2n∈N*，那么 1120 是这个数列的
A. 第 9 项B. 第 10 项C. 第 11 项D. 第 12 项

25. 数列 1，3，6，10，15，⋯ 的递推公式是
A. a1=1an+1=an+n,n∈N*
B. a1=1an=an−1+n,n∈N*,n≥2
C. a1=1an=an−1+n+1,n∈N*
D. a1=1an+1=an−1+n+1,n∈N*,n≥2

26. 已知数列 an 中，若 a1=12，an=11−an−1n≥2,n∈N*，则 a2010 等于
A. 1B. −1C. 12D. 2

27. 已知数列 an 中，a1=1，an+1−an=1n∈N*，则 a5 可能的值的个数为
A. 5B. 4C. 8D. 16

28. 在数列 an 中，对于任意的 p,q∈N+，有 ap+q=ap⋅aq，若 a2=4，则 a10=
A. 64B. 128C. 504D. 1024

29. an 满足 a1=1，an=−1nan−1+1n≥2,n∈N+，则 a4a5 等于
A. 2B. 12C. 92D. 29

30. 数列 an 中，已知 S1=1，S2=2，且 Sn+1−3Sn+2Sn−1=0n∈N* 且 n≥2，则此数列
A. 从第二项起为等比数列B. 从第二项起为等差数列
C. 等比数列D. 等差数列
答案
第一部分
1. B【解析】因为 a1=14，an=1−1an−1n≥2，
所以 a2=1−4=−3，a3=1+13=43，a4=1，34=14，⋯⋯，
所以数列 an 是周期为 3 的周期数列，
所以 a2020=a1=14．
2. A【解析】因为数列 an 满足 a1=1，且 an=2an−1−1,n为偶数2an−1+2,n为奇数，
所以 a2=2a1−1=2−1=1，
所以 a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以 a4=2a3−1=2×4−1=7．
3. D【解析】a2=1+−12a1=2，a3=1+−13a2=12，a4=1+−14a3=3，a5=1+−15a4=23．
4. A【解析】由题意，得 a2=a1a1=14，a3=a1⋅a2=18，
则 a5=a3⋅a2=132．
5. D
【解析】由 an+1+an=2n−3 得 an+an−1=2n−5n≥2，
两式作差得 an+1−an−1=2n≥2，
所以 a8−a4=a8−a6+a6−a4=2+2=4．
故选D．
6. A【解析】因为在数列 an 中，an+1=2an2+an 对所有的正整数 n 都成立，
所以令 n=5 得 a6=2a52+a5．
因为 a6=23，
所以 23=2a52+a5，
解得 a5=1．
7. B
8. B【解析】因为 a1=0，a2=−3，a3=3，a4=0，a5=−3=a2，a6=a3，⋯，
所以 an+3=an，
所以 a20=a2=−3．
9. C【解析】令 n=2，则 a3+2a2+a1=0．
又 a1=2，a2=4，所以 a3=−10．
再令 n=3，则 a4+2a3+a2=0，所以 a4=16，故选C．
10. D
11. B
12. C
13. B
14. B
15. B
【解析】由题意可得 a2=a12−1=0，a3=a22−1=−1，a4=a32−1=0．
16. C【解析】依题意得 n−2n2=225，解得 n=10 或 52（舍）．
17. C【解析】因为 a1=1，
所以 a2=1+a1=2，a3=1a2=12，a4=1+a2=3，a5=1a4=13，a6=1+a3=32，a7=1a6=23，a8=1+a4=4，a9=1a8=14，
所以 n=9．
18. A
19. C【解析】由已知的递推公式，得 a2=−1a1+1=−12，a3=−1a2+1=−2，a4=−1a3+1=1．
20. C
21. D
22. D【解析】已知 an+2+an=an+1, ⋯⋯①
所以 an+3+an+1=an+2, ⋯⋯②
① + ②整理，得 an+3=−an，
所以 an+6=an，
所以数列 an 是以 6 为周期的周期数列，且前 6 项依次为 1，2，1，−1，−2，−1，
所以 S6=0，
所以
S2019=336a1+a2+⋯+a6+a2017+a2018+a2019=336a1+a2+⋯+a6+a1+a2+a3=0+1+2+1=4.
23. B【解析】因为 an+an+1=12，a2=2，
所以 an=−32,n 为奇数2,n 为偶数 ．
所以 S21=11×−32+10×2=72．
24. B【解析】令 an=1120，即 nn+2=120，解得 n=10（n=−12 舍），所以 1120 是这个数列的第 10 项．
25. B
【解析】逐项验证知B正确．
26. B【解析】因为 a1=12，an=11−an−1，所以 a2=11−a1=2，a3=11−a2=−1，a4=11−a3=12．所以数列 an 是一个以 12，2，−1 三项循环的数列．所以 a2010=a670×3=a3=−1．
27. A
28. D【解析】因为，ap+q=ap⋅aq，且 a2=4，
所以 a4=a2⋅a2=4×4=16，
a6=a2+4=a2⋅a4=4×16=64，
所以 a10=a4+6=a4⋅a6=16×64=1024．
29. C【解析】a2=1a1+1=2，a3=−1a2+1=12，
a4=1a3+1=3，a5=−1a4+1=23，
所以 a4a5=92．
30. A
【解析】因为 S1=1，S2=2，
所以 a1=1，a2=1．
当 n≥2 时，Sn+1−3Sn+2Sn−1=0⇒Sn+1−Sn+2Sn−1−Sn=0⇒an+1=2an，
所以数列 an 从第二项起为等比数列．