【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：等差数列

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一、选择题（共28小题；共140分）
1. 给出下列命题：
①数列 6，4，2，0 是公差为 2 的等差数列；
②数列 a，a−1，a−2，a−3 是公差为 −1 的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成 an=kn+b 的形式（k，b 为常数）；
④数列 2n+1n∈N* 是等差数列．
其中正确命题的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ③④

2. 下列数列不是等差数列的是
A. 1，1，1，1，1B. 4，7，10，13，16
C. 13，23，1，43，53D. −3，−2，−1，1，2

3. 若 a=13+2，b=13−2，则 a，b 的等差中项为
A. 3B. 2C. 32D. 22

4. 若 5，x，y，z，21 成等差数列，则 x+y+z 的值为
A. 26B. 29C. 39D. 52

5. 在 1 和 2 之间插入 10 个数，使它们与 1，2 组成等差数列，则该数列的公差为
A. 19B. 110C. 111D. 112

6. 等差数列 an 的前三项依次为 x，1−x，3x，则 a2019 的值为
A. 672B. 673C. 674D. 675

7. 在等差数列 an 中，若 a4=5，则数列 an 的前 7 项和 S7=
A. 15B. 20C. 35D. 45

8. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2=4，a4=2，则 S5=
A. 0B. 10C. 15D. 30

9. 已知公差为 2 的等差数列 an 满足 a1+a4=0，则 a7=
A. 5B. 7C. 9D. 11

10. 数列 an 的通项公式为 an=2n+5，则此数列
A. 是公差为 2 的等差数列B. 是公差为 5 的等差数列
C. 是首项为 5 的等差数列D. 是公差为 n 的等差数列

11. 有穷等差数列 5，8，11，⋯，3n+11（n∈N*）的项数是
A. nB. 3n+11C. n+4D. n+3

12. 已知数列 an 是等差数列，若 a1=2，a4=2a3，则公差 d=
A. 0B. 2C. −1D. −2

13. 若 5，x，y，z，21 成等差数列，则 x+y+z 的值为
A. 26B. 29C. 39D. 52

14. 在等差数列 an 中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则 a6=
A. 10B. 9C. 8D. 7

15. 等差数列 an 的首项为 125，且从第 10 项开始每项都比 1 大，则公差 d 的取值范围是
A. d>875B. d<325C. 875
16. 在等差数列 an 中，a5=33，a45=153，则 201 在该数列中的序号是
A. 60B. 61C. 62D. 63

17. 若数列 an 的前 n 项和 Sn=2n2−3nn∈N*，则 a1+a7 等于
A. 11B. 15C. 17D. 22

18. 已知等差数列 an 的前 9 项和为 27，a10=8，则 a100=
A. 100B. 99C. 98D. 97

19. 定义 maxa,b=a,a≥bb,aA. −2,1
B. −∞,−3∪2,+∞
C. −∞,−3∪−2,1
D. −∞,−3∪2,+∞∪−2,1

20. △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=6，b=23，B，A，C 成等差数列，则 B=
A. π6B. 5π6C. π6 或 5π6D. 2π3

21. 设 a>0，b>0，lg2 是 lg4a 与 lg2b 的等差中项，则 2a+1b 的最小值为
A. 22B. 3C. 4D. 9

22. 已知等差数列 an 的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1=1，Sn 是数列 an 前 n 项的和，则 2Sn+16an+3n∈N+ 的最小值为
A. 4B. 3C. 23−2D. 92

23. 已知两点 F1−2,0，F22,0，且 ∣F1F2∣ 是 ∣PF1∣ 与 ∣PF2∣ 的等差中项，则动点 P 的轨迹方程是
A. x216−y212=1B. x216+y212=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1

24. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S15>0，S15<0，则 S1a1，S2a2，⋯，S15a15 中最大的是
A. S6a6B. S7a7C. S9a9D. S8a8

25. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2+k+12n∈N*，则 fx=x3−kx2−2x+1 的极大值为
A. 52B. 3C. 72D. 2

26. 已知数列 an 和 bn 的首项均为 1，且 an−1≥ann≥2，an+1≥an，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，且满足 2SnSn+1+anbn+1=0，则 S2021 等于
A. 2021B. 12021C. 4041D. 14041

27. 若数列 an 的前 n 项和 Sn=n2−4n+2（n∈N*），则 a1+a2+⋯+a10 等于
A. 15B. 35C. 66D. 100

28. 已知等差数列 an 和等比数列 bn 的各项都是正数，且 a1=b1，a11=b11．那么一定有
A. a6≤b6B. a6≥b6C. a12≤b12D. a12≥b12

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 已知单调递增的等差数列 an 满足 a1+a2+a3+…+a101=0，则下列各式一定成立的有
A. a1+a101>0B. a2+a100=0C. a3+a100≤0D. a51=0

30. 已知首项为 a1，公差为 d 的等差数列 an 是递增数列，且满足 a7=3a5，前 n 项和为 Sn，则下列选项正确的
A. d>0B. a1<0
C. 当 n=5 时，Sn 最小D. 当 Sn>0 时，n 的最小值为 8
答案
第一部分
1. C【解析】根据等差数列的定义可知，数列 6，4，2，0 的公差为 −2，①错误；易知②③④均正确．
2. D【解析】根据等差数列的定义可知，选项D中的数列不是等差数列．
3. A【解析】设 a，b 的等差中项为 x，
则 2x=a+b=13+2+13−2=23，
所以 x=3．
4. C【解析】因为 5，x，y，z，21 成等差数列，
所以 y 既是 5 和 21 的等差中项，也是 x 和 z 的等差中项，
所以 5+21=2y，
所以 y=13，
所以 x+z=2y=26，
所以 x+y+z=39．
5. C
【解析】设该等差数列为 an，其公差为 d．
由题意可知 a1=1，a12=2，
所以公差 d=a12−a112−1=111．
6. B【解析】设等差数列 an 的公差为 d，
依题意，21−x=x+3x，
解得 x=13，
所以数列 an 的公差 d=1−x−x=13，首项 a1=13，
所以 a2019=13+2019−1×13=20193=673．
7. C【解析】因为数列 an 是等差数列，故可得 S7=7a4=35．
8. C【解析】由等差数列性质可知：a1+a5=a2+a4=4+2=6，
所以 S5=5a1+a52=5×62=15．
9. C【解析】由题意知 a1+a4=2a1+3d=0，
因为 d=2，可得 a1=−3，
所以 a7=a1+6=−3+12=9．
10. A
【解析】因为 an+1−an=2n+1+5−2n+5=2，
所以数列 an 是公差为 2 的等差数列．
令 n=1，得 a1=7，故 an 的首项为 7．
11. D【解析】由等差数列中 a1=5，a2=8，知 d=3，
所以 an=5+n−1×3=3n+2，
设 3n+11（n∈N*）为数列中的第 k 项，
则 3n+11=3k+2，
解得 k=n+3．
12. D【解析】依题意得 a1+3d=2a1+2d，将 a1=2 代入，得 2+3d=22+2d，解得 d=−2．
13. C【解析】因为 5，x，y，z，21 成等差数列，
所以 y 既是 5 和 21 的等差中项也是 x 和 z 的等差中项．
所以 5+21=2y，x+z=2y，
所以 y=13，x+z=26，
所以 x+y+z=39．
14. B【解析】设等差数列 an 的公差为 d，
因为在等差数列 an 中，a1+a4+a7=3a4=39，a2+a5+a8=3a5=33，
所以 a4=13，a5=11，
所以 d=a5−a4=−2，
所以 a6=a5+d=11−2=9，
故选B．
15. D
【解析】依题意可知 a10>1,a9≤1,
所以 125+9d>1,125+8d≤1,
所以 87516. B【解析】设等差数列 an 的公差为 d，
则 a5=a1+4d=33,a45=a1+44d=153,
所以 a1=21,d=3,
所以 an=21+3n−1=3n+18，n∈N+，
令 3n+18=201，得 n=61．
17. D【解析】由 Sn=2n2−3nn∈N* 可知，数列 an 为等差数列，
所以 S7=7×a1+a72=2×72−3×7，
解得 a1+a7=22．
18. C【解析】设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，
由等差数列 an 的前 9 项和为 27，a10=8，
得 9a1+9×82d=9a1+36d=27,a1+10−1d=a1+9d=8, 解得 a1=−1,d=1.
故 a100=a1+99d=98．
19. C
20. A
【解析】因为 △ABC 的三个内角 B，A，C 成等差数列，
所以 2A=B+C=π−A，解得 A=π3．
由正弦定理得 sinB=bsinAa=23×sinπ36=12，
又 a>b，
所以 B所以 B=π6．
21. D【解析】因为 lg2 是 lg4a 与 lg2b 的等差中项，
所以 2lg2=lg4a+lg2b，
即 lg2=lg4a×2b=lg22a+b，
所以 2a+b=1，
因为 a>0，b>0，
所以 2a+1b=2a+1b2a+b=5+2ba+2ab≥5+24=9，
当且仅当 2ba=2ab，即 a=b=13 时取等号，
所以 2a+1b 的最小值为 9．
22. A【解析】因为 a1=1，a1 、 a3 、 a13 成等比数列，所以 1+2d2=1+12d，得 d=2 或 d=0 （舍去），所以 an=2n−1，所以 Sn=n1+2n−12=n2，所以 2Sn+16an+3=2n2+162n+2．令 t=n+1，则 2Sn+16an+3=t+9t−2≥6−2=4，当且仅当 t=3，即 n=2 时，2Sn+16an+3 的最小值为 4．
23. B【解析】因为 F1−2,0，F22,0，
所以 ∣F1F2∣=4．
因为 ∣F1F2∣ 是 ∣PF1∣ 与 ∣PF2∣ 的等差中项，
所以 2∣F1F2∣=∣PF1∣+∣PF2∣，
即 ∣PF1∣+∣PF2∣=8>∣F1F2∣=4，
根据椭圆的定义可知动点 P 的轨迹曲线的形状为椭圆，
F1，F2 为椭圆的两个焦点．
设该椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
则 2a=8，a=4，
又 c=2，
所以 b2=12，
所以椭圆的方程是 x216+y212=1．
24. D【解析】等差数列 an 中，S15=15a1+a152=15a8>0，
所以 a8>0，
又 S16=16a1+a162=8a8+a9<0，
所以 a9<0，
所以公差 d<0．
所以当 n=8 时，Sn 取得最大值．
又 d<0，
所以数列 an 为递减数列，
所以当 Sn 取得最大值且 an>0 时，Snan 取得最大值，
所以 S8a8 最大．故选D．
25. A
【解析】由于等差数列前 n 项和公式中，常数项为 0，
所以 k+12=0，
所以 k=−12，
所以 fx=x3+12x2−2x+1，
所以 fʹx=3x2+x−2=3x−2x+1，
故函数 fx 在 −∞,−1 和 23,+∞ 上单调递增，在 −1,23 上单调递减，
故当 x=−1 时，fx 取得极大值，为 f−1=52．
26. D【解析】由 an−1≥ann≥2，an+1≥an 可得 an+1=an，即数列 an 是常数列，
又数列 an 的首项为 1，
所以 an=1，
所以当 SnSn+1≠0 时，2SnSn+1+anbn+1=0 可化为 2SnSn+1+bn+1=0，
因为 Sn 为数列 bn 的前 n 项和，
所以 2SnSn+1+bn+1=2SnSn+1+Sn+1−Sn=0，
所以 1Sn+1−1Sn=2，
又 1S1=1b1=1，
因此数列 1Sn 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 1Sn=1+2n−1=2n−1，
故 Sn=12n−1，即 SnSn+1≠0，
所以 S2021=14041．
27. C【解析】由 Sn=n2−4n+2 ⋯⋯① 得，
当 n=1 时，a1=S1=1−4+2=−1，
当 n≥2 时，Sn−1=n−12−4n−1+2, ⋯⋯②
① − ②得，an=2n−5（n≥2，n∈N*），
经检验，当 n=1 时，不符合 an=2n−5，
所以 an=−1,n=12n−5,n≥2,n∈N*，
所以 ∣a1∣=1，∣a2∣=1，a3=1，
令 an>0，则 2n−5>0，
所以 n≥3．
所以
∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣a10∣=1+1+a3+⋯+a10=2+S10−S2=2+102−4×10+2−22−4×2+2=66.
28. B
第二部分
29. B， D
【解析】设等差数列 an 的公差为 d，易知 d>0，
因为等差数列 an 满足 a1+a2+a3+…+a101=0，且 a1+a101=a2+a100=⋯=a50+a52=2a51，
所以
a1+a2+a3+…+a101=a1+a101+a2+a100+⋯+a50+a52+a51=101a51=0,
所以 a51=0，
a1+a101=a2+a100=2a51=0．故B，D正确，A错误．
又因为 a51=a1+50d=0，
所以 a1=−50d，
所以 a3+a100=a1+2d+a1+99d=2a1+101d=2×−50d+101d=d>0，故C错误．
30. A， B， D
【解析】由 a7=3a5，可得 a1+6d=3a1+4d，即 a1=−3d，
由等差数列 an 是递增数列，可知 d>0，则 a1<0，故AB正确．
又 Sn=na1+nn−12d=d2n2−7d2n=d2n−722−494，d>0，
所以当 n=3 或 n=4 时，Sn 有最小值，故C错误．
令 Sn=d2n2−7d2n>0，可得 n<0 或 n>7，
又 n∈N*，
所以当 Sn>0 时，n 的最小值为 8，故D正确．
故选ABD．