知识讲解_幂函数及图象变换_基础练习题

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幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：的图象变换，（1）平移变换y=f(x)→y=f(x＋a)   图象左（）、右（）平移y=f(x)→y=f(x)＋b   图象上（）、下（）平移（2）对称变换y=f(x) →y=f(－x),   图象关于y轴对称y=f(x) →y=－f(x) ,   图象关于x轴对称y=f(x) →y=－f(－x)  图象关于原点对称y=f(x)→  图象关于直线y=x对称（3）翻折变换：        y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）       y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知是幂函数，求、的值．【答案】【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．由题意得解得即为所求．【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．举一反三：【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（4）、（5）是幂函数．类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（　　　　　）．　举一反三：【变式1】（2015秋 江苏海安县期中）幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则________．【答案】【解析】由幂函数的图象可以看到：此函数是单调递增且是非奇非偶函数，因此只有满足条件．故答案为：． 类型三、幂函数的性质例3.比较下列各组数的大小.(1)与； (2)与.【答案】（1）；（2）。【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，∴.(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)因此，，，而(x>0)单调递减，且，∴ .即.【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三：【变式1】比较，，的大小.【答案】【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.在上单调递增，且，.作出函数与在第一象限内的图象，易知.故.类型四、求参数的范围例4.（2015秋 黑龙江大庆期末）已知函数（m∈N*）的图象关于y轴对称，且f（3）＞f（5），求满足的a的取值范围．【思路点拨】根据幂函数在（0，+∞）上是减函数，可以确定m－3＜0，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围．根据幂函数在（0，+∞）上函数值随x增大而减小，得到3m－9＜0，然后根据函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可．【答案】{a｜a＜－1或}．【解析】∵函数（m∈N*）在（0，+∞）上递减，∴，解得－1＜m＜3，∵m∈N+，∴m=1，2，又∵函数的图象关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，∴是偶数，又m=1时，为偶数，m=2时，为奇数，∴m=1，令，∴在（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，∵，∴a+1＞3－2a＞0，或0＞a+1＞3－2a，或a+1＜0＜3－2a，解得a＜－1，或，故a的取值范围为{a｜a＜－1或}． 举一反三：【变式1】若，求实数a的取值范围.解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:(1) (2) (3) (4)分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).∴a的取值范围是.解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，∴　要使， 即， 解得:.【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型五、幂函数的应用例5.（2015秋 湖南长沙期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较与的大小．【思路点拨】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．（2）利用指数函数的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，，解得－1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：．（2）由（1）知，a＞1．①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，；②当a=e时，lna=1，；③当a＞e时，lna＞1，．举一反三：【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．【答案】，奇函数，在上单调递增【解析】（1）是正偶数，是正奇数．函数的定义域为．（2）是正奇数，，且定义域关于原点对称．是上的奇函数．（3），且是正奇数，函数在上单调递增．类型六、基本初等函数图象变换例6．作出下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx；   (2) y=lg|x|；   (3) y=-1+lgx.【解析】(1)如图(1)；  (2)如图(2)；  (3)如图(3).      【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。举一反三：【高清课堂：幂函数及图象变换369074 例4（1）】   【变式1】作出的图象。【解析】先画出的图象，然后 如下图：        【变式2】作函数的图象。【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。第一步：作的图象甲。第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙。第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙。第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。