知识讲解_幂函数及图象变换_提高练习题

幂函数及图象变换

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.

2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题．

3．掌握初等函数图象变换的常用方法．

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

要点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

1.作出下列函数的图象：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．

要点诠释：

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；

若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．

4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如：的图象变换，

（1）平移变换

y=f(x)→y=f(x＋a)   图象左（）、右（）平移

y=f(x)→y=f(x)＋b   图象上（）、下（）平移

（2）对称变换

y=f(x) →y=f(－x),   图象关于y轴对称

y=f(x) →y=－f(x) ,   图象关于x轴对称

y=f(x) →y=－f(－x)  图象关于原点对称

y=f(x)→  图象关于直线y=x对称

（3）翻折变换：

        y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分

关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）

       y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象

关于x轴对称

 要点诠释：

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.（2015秋 湖南长沙期末）已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．

【思路点拨】利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．

【答案】

【解析】幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，

所以，，解得－1＜k＜3，

因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数，

∴k=1，

函数的解析式为：．

【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．

举一反三：

【变式1】已知幂函数的图象过点，则=         ．

【答案】

【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即．

类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．

【答案】⑥④③②⑦①⑤

【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象．

由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．

由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．

最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．

【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．

举一反三：

【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为：         ．

【答案】

【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（   ）

A.均为奇数，且         B.为偶数，为奇数，且

C. 为奇数，为偶数，且  D. 为奇数，为偶数，且

【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．

类型三、幂函数的性质

例3．有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：

（1）是奇函数；（2）是内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？

【答案】21；3

【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题．

由幂函数的性质知，在内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合、、，而幂函数小于零的构成集合，依题意得=15，=12, =18.又，,,所以,则=15+18-12=21，即共有幂函数21个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）．

【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质．

例4.比较下列各组数的大小.

(1) 与； (2)与，（3）和.

【答案】(1)>；(2)<；(3)< <．

【解析】(1) 由于幂函数()单调递减且，∴.

(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)

因此，，，而(x>0)单调递减，且，

∴ .即.

（3），

【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.

(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.

(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．

举一反三：

【变式1】比较，，的大小.

【答案】

【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.

在上单调递增，且，

.

作出函数与在第一象限内的图象，

易知.

故.

类型四、求参数的范围

例5.（2015秋 西宁校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数．

（1）求m的值；

（2）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

【思路点拨】（1）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值．

（2）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若，得到关于k的不等式组，解得即可．

【答案】（1）m=0；（2）[0，1]

【解析】（1）依题意得：，

解得m=0或m=2

当m=2时，在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去

∴m=0．

（2）由（1）知，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，

∴A=[1，4]，B=[2―k，4―k]，

∵，

∴

解得，0≤k≤1

故实数k的取值范围为[0，1]

【变式1】若，求实数a的取值范围.

解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:

(1) (2) (3) (4)

分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).

∴a的取值范围是.

解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，

∴　要使， 即， 解得:.

【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.

类型五、幂函数的应用

高清课程：幂函数及图象变换 例3

例6. 求出函数的单调区间，并比较与的大小．

【答案】在上是增函数，在上是减函数

【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．

在上找出点关于直线的对称点．

由，

．

【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内．

例7. 设m∈N*，已知函数在(0,+∞)上是增函数．

  （1）求函数f(x)的解析式；

  （2）设，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意，或

解得：或

再由m∈N* ，，即．

（2）任取且，则

= …（*）

当，即时，

由于，，得（*）<0，即

故在上单调递增．

当，即时，得（*）>0，即

故在上单调递增．

综上，在上，．

举一反三：

【变式1】（2015秋 忻州校级期末）已知函数为偶函数，且f（3）＜f（5）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

【答案】（1）m=1，；（2）（1，2）

【解析】（1）∵f（x）为偶函数，∴为偶数，

又f（3）＜f（5），∴，即有：，

∴ ，∴，又m∈Z，∴m=0或m=1．

当m=0时，为奇数（舍去），

当m=1时，为偶数，符合题意．

∴m=1，

（2）由（1）知：（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．

令，；

①当a＞1时，为增函数，只需在区间[2，3]上为增函数．

即：

②当0＜a＜1时，为减函数，只需在区间[2，3]上为减函数．

即：，

综上可知：a的取值范围为：（1，2）．

类型六：基本初等函数图象变换

例8．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx；   (2) y=lg|x|；   (3) y=-1+lgx.

【解析】(1)如图(1)；  (2)如图(2)；  (3)如图(3).

【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可．

一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得．

含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称．

举一反三：

高清课程：幂函数及图象变换 例4（1）  

【变式1】作出的图象．

【解析】

先画出的图象，然后  

如下图：

【变式2】作函数的图象．

【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成．

第一步：作的图象甲．

第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙．

第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙．

第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁．