巩固练习_集合及集合的表示_提高

【巩固练习】

1．下列四个集合中，是空集的是(    )

A．   B．

C．     D．

2．集合可化简为（    ）

A．   B．   C．   D．

3．集合 用描述法可表示为（    ）

A．  B． C． D．

4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是(   )

A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．等腰三角形

5． 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（   ）

A．    B．    C．    D．

6．（2016 衡水模拟）已知集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（    ）

A．x+y∈A    B．x－y∈A    C．xy∈A    D．

7．设集合，则     （    ）

A．         B．      C．　   D．

8． 方程组用列举法表示为        ．

9．设，则集合中所有元素之积为          ．

10．（2015秋 嘉兴期末）（设非空集合S={x｜m≤x≤1}，对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围________。

11．设a，b∈R，集合，则b－a=             ．

12．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”．给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有       个．

13．已知集合，试用列举法表示集合．

14．（2015秋 益阳期中）已知集合A={x｜ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数。

（1）若A是空集，求a的取值范围

（2）若A是单元素集，求a的值。

15．已知集合={x|，}．

（1）若中只有一个元素，实数的取值范围．

（2）若中至少有一个元素，实数的取值范围．

（3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围．

16．设集合．

求证：（1）一切奇数属于集合；

     （2）偶数不属于；

     （3）属于的两个整数，其乘积仍属于．

【答案与解析】

1．【答案】D 

【解析】选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根．

2．【答案】 B

【解析】解方程得，因为，故选B．

3．【答案】 C

【解析】集合A表示所有的正奇数，故C正确．

4．【答案】D 

【解析】元素的互异性．

5．【答案】 D

【解析】，故选D．

6．【答案】C

【解析】∵集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，

∴1∈A，2∈A，1+2=3A，故A“x+y∈A”错误；

又∵1―2=―1A，故B“x―y∈A”错误；

又∵，故D“”错误；

故选C。

7．【答案】B

【解析】本题考查元素与集合的关系，集合A用语言法叙述是所有大于－1的有理数，

所以0是集合A中的元素，故A错，

是无理数，不是集合A中的元素，故B正确，

{2}应该是集合A的子集，故错误，

而不是集合A的子集，故错误．故选B．

8．【答案】

【解析】加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集．

9．【答案】

【解析】 ，，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为．

10．【答案】

【分析】由m的范围求得，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围。

【解析】由时，得，则，

解得：；

∴l的范围是。

故答案为：。

11．【答案】b－a=2

【解析】∵ ，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），

∴ a+b=0，，∴ －1∈，a=－1，

∵ a+b=0，b=1，∴  b－a=2．

12．【答案】6 

【解析】若，因为1不是孤立元，所以．设另一元素为，假设，此时，，且，不合题意，故．据此分析满足条件的集合为，共有6个．

13．【答案】

【解析】由题意可知是的正约数，当；当；

当；当；而，∴，即 ．

14．【答案】（1）a＞1；（2）0或1

【解析】（1）若，则只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需Δ=4－4a＜0，即a＞1即可。

    （2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得；当a≠0时，只需Δ=4－4a=0，即a=1，故所求a的值为0或1。

15．【解析】（1）若时，则，解得，此时．

若时，则

或时，中只有一个元素．

（2）①中只有一个元素时，同上或．

②中有两个元素时，，解得且．综上．

（3）①时，原方程为，得符合题意；

②时，方程为一元二次方程，依题意，解得．

综上，实数的取值范围是或．

16．证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于．

（2）首先我们证明如下命题：

设：，则与具有相同的奇偶性．

以下用反证法证明．

假设，则存在，使得．若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．

综上所述，形如的偶数不属于．

（3）设，则存在，使得．

     =

     =，

又因为，均为整数，

．