2022届初中数学一轮复习 第21讲 矩形、菱形、正方形 课件

这是一份2022届初中数学一轮复习 第21讲 矩形、菱形、正方形 课件，共53页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，答案D，答案C，答案B，Part2，Part3等内容，欢迎下载使用。
命题点1　矩形的性质与判定
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中,∵AB=5,AE=2+2=4,
2.(2020·安徽,23,14分)如图1.已知四边形ABCD是矩形.点E在BA的延长线上.AE=AD,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.(1)求证:BD⊥EC;(2)若AB=1,求AE的长;(3)如图2,连接AG,求证:EG-DG= AG.
　　　　图1　　　　　　　　图2
(1)证明 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠EAD=90°,AD=BC,AD∥BC,∴△EAF≌△DAB(SAS),∴∠E=∠BDA,∵∠BDA+∠ABD=90°,∴∠E+∠ABD=90°,∴∠EGB=90°,∴BD⊥EC.
(2)解 设AE=x,则EB=1+x,BC=AD=AE=x,∵AF∥BC,∠E=∠E,∴△EAF∽△EBC,
(3)证明 在EG上截取EH=DG,连接AH.∴△EAH≌△DAG(SAS),∴∠EAH=∠DAG,AH=AG.∵∠EAH+∠DAH=90°∴∠DAG+∠DAH=90°,∴∠GAH=90°,∴△GAH是等腰直角三角形,∴AH2+AG2=GH2即2AG2=GH2,∴GH= AG.∵GH=EG-EH=EG-DG,∴EG-DG= AG.
命题点2　菱形的性质与判定
3.(2015·安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(　　)
命题点3　正方形的性质与判定4.(2014·安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2 ,若直线l满足:①点D到直线l的距离为 ;②A,C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为(　　)A.1B.2C.3D.4
考点一　矩形的性质与判定(高频考点)　1.概念:有一个角是直角　的平行四边形是矩形. 2.性质:如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
考点二　菱形的性质与判定(高频考点)　1.概念:有一组邻边相等　的平行四边形是菱形. 2.性质:如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
考点三　正方形的性质与判定(高频考点)　1.概念:有一组邻边相等　且有一个角是直角　的平行四边形是正方形.2.性质:如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 
考法1矩形的性质与判定例1 (2020·四川乐山)如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度.
方法总结 1.矩形判定的一般思路首先判定四边形是否为平行四边形,再找直角或者对角线的关系.若角度容易求,则证明其一角为90°,便可判定是矩形;若对角线容易求,则证明其对角线相等即可判定其为矩形.2.应用矩形性质计算的一般思路(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段的长.(2)矩形对角线相等且互相平分,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系.(3)矩形中出现30°,60°,120°的角时,就会出现等边三角形和含有30°角的直角三角形,这时只要知道一条线段长就可以得到所有线段长,所有三角形的周长以及面积.
对应练1(2020·山东枣庄)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是(　　)A.3 B.4C.5D.6
答案 D解析 ∵将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,∴AF=AB,∠AFE=∠B=90°,∴EF⊥AC.∵∠EAC=∠ECA,∴AE=CE,∴AF=CF,∴AC=2AB=6.
对应练2(2020·四川遂宁)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:△BDE≌△FAE;(2)求证:四边形ADCF为矩形.
证明 (1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是线段AD的中点,∴AE=DE,∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF为矩形.
考法2菱形的性质与判定例2(2020·新疆建设兵团)如图,四边形ABCD是平行四边形,DE∥BF,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.(1)求证:AE=CF;(2)若BE=DE,求证:四边形BFDE为菱形.
证明 (1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠BCF=∠DAE.又∵DE∥BF,∴∠BFE=∠DEF,∴∠BFC=∠DEA.∴△BCF≌△DAE(AAS),∴CF=AE.
(2)由(1)得△BCF≌△DAE,∴BF=DE.又∵BF∥DE,∴四边形BFDE为平行四边形.又∵BE=DE,∴平行四边形BFDE为菱形.
方法总结 1.菱形判定的一般思路首先判定四边形是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定,这是判定菱形的最常见思路.也可以考虑其他判定方法,例如若能证明对角线互相垂直平分,也能判定该四边形是菱形.2.应用菱形性质计算的一般思路因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,结合它的对称性得出的一些结论来计算.
对应练3(2020·四川乐山)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为(　　)
答案 B解析 ∵四边形ABCD是菱形,O是对角线BD的中点,∴AO⊥BD,AD=AB=4,AB∥DC.∵∠BAD=120°,∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30°.∵OE⊥DC,
对应练4(2020·江苏无锡)如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE=_____________. 
答案 115°解析 ∵四边形ABCD是菱形,∠B=50°,∴AB∥CD,∴∠BCD=180°-∠B=130°,∠ACE= ∠BCD=65°.∵AE=AC,∴∠ACE=∠AEC=65°,∴∠BAE=180°-∠AEC=115°.
考法3正方形的性质与判定例3(2020·山东枣庄)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是_____________. 
解析 如图,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC.∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,
∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF.
方法总结 对于与正方形性质相关的计算问题,要合理应用其性质及由性质得到的一些结论:(1)四角相等均为90°以及四边相等.(2)对角线垂直且相等.(3)对角线平分一组对角得到45°角.(4)边长与对角线的长度比为1∶ .
对应练5(2020·天津)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是(　　)A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)
答案 D解析 ∵四边形OBCD是正方形,∴OB=BC=CD=OD,∠CDO=∠CBO=90°.∵O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),∴OD=6,∴OB=BC=CD=6,∴C(6,6).
对应练6(2020·甘肃天水)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为_____________. 
答案(-1,5)解析 如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE,FO交于点O',∵四边形OEFG是正方形,∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,在△OGM与△EOH中,
对应练7(2020·四川攀枝花)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,DE,AF交于点G,AF的中点为H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE;②DG= ;③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有_____________.(请填上所有正确结论的序号) 
答案①④解析 ∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD.∵E和F分别为BC和CD中点,∴DF=EC=2,∴△ADF≌△DCE(SAS).∴∠AFD=∠DEC,∠FAD=∠EDC.∵∠EDC+∠DEC=90°,∴∠EDC+∠AFD=90°,∴∠DGF=90°,即DE⊥AF,故①正确;
七巧板七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,顾名思义,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形(1 600种以上),例如:三角形、平行四边形、不规则多边形,玩家也可以把它拼成各种人物形象、动物、桥、房、塔等等,也可以是一些中、英文字母.七巧板是古代中国劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,到了明代基本定型,明、清两代在中国民间广泛流传.
用菱形的好手——蜜蜂蜂房的底部都是由完全相同的菱形组成的.18世纪初的法国学者马拉尔迪指出蜂房底部菱形的钝角是109°28',锐角是70°32'.另一位法国科学家雷奥米尔作出一个猜想,他认为用这样的角度来建造蜂房,在相同的容积下最节省材料.后来雷奥米尔向一位瑞士数学家柯尼希请教结果证实了其猜测,但计算的结果与猜想的数值却有两分之差.颇具戏剧性的是,1743年,苏格兰数学家马克劳林用初等几何方法证得最省材料的蜂房底部菱形的钝角是109°28',锐角是70°32',与猜想值完全相同.那两分的误差,竟然不是蜜蜂不准,而是数学家柯尼希算错了.于是“蜜蜂正确而数学家错误”的说法便不胫而走.后来才发现也不是柯尼希的错,原来是他所用的对数表印错了.
1.(2020·江苏常州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是_____________. 
2.(2019·江苏苏州)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔板”.图①是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”,图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形,该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_____________ cm(结果保留根号). 
　　　　图①　　　　　　　图②
3.(2020·湖北孝感)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案,记阴影部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S1=S2,则 的值为_____________. 
　　　　　图1　　　　　　　图2
解析 如图,由题意得AC=m,BD=n,AB=CD,△ABC是直角三角形,且m,n均为正数,则大正方形的面积为AC2=m2,小正方形的面积为BD2=n2.设AB=CD=a(a>0),