2024年中考数学复习课件---第21讲　矩形、菱形、正方形

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1.理解矩形、菱形、正方形、梯形的概念.2.探索并证明矩形、菱形的性质定理.3.探索并证明矩形、菱形的判定定理.4.正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
教材链接人教:八下P52~P69　　北师:九上P1~P29　　湘教:八下P58~P75
平行四边与特殊平行四边形之间的关系
面积：S=________（a、b分别表示矩形的长和宽）
具有平行四边的所有性质角：四个角都是________对角线：对角线互相平分且________对称性：及时中心对称图形，又是轴对称图形，有________条对称轴
边：有一个角是________的平行四边形是矩形（定义）角：有________个角是直角的四边形时矩形对角线：对角线________的平行四边形是矩形
面积：S=________=ah（m、n分别两条对角线的长，a为菱形的边长，h为菱形某一边上的高。
具有平行四边的所有性质边：四条边都相等
对角线互相_______且平分
每条对角线平分一组对角
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有________条对称轴
【满分技法】已知m，n，a，h中任意三个，可以用等面积法求出另一个。
对角线：对角线__________的平行四边形都是菱形
有一组邻边________的平行四边形是菱形（定义）
四条边都________的四边形是菱形
正方形具有菱形、矩形的所有性质边：四条边都_______角：四个角都是_______ 对角线相等且相互垂直平分对角线 每条对角线平分一组对角
有一组邻边_______，且有一个角是________的平行四边形是正方形（定义）边：有一组邻边相等的________是正方形角：有一个角是直角的________是正方形 对角线相等的_________是正方形对角线 对角线互相垂直的_________是正方形面积：S=a²=________（a表示正方形的边长，m表示对角线的长）
【拓展延伸】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
（1）从边、角的角度看
有一个角是_________
有一组邻边_________
【拓展延伸】对角线相等的平行四边形是矩形；对角线垂直的平行四边形是菱形；对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
（1）从对角线的角度看
对角线_________
例1 原创题 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC,BD交于点 O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接 OE.(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=1,△OEC的面积为　　　　;
(3)设DE交OC于点F,若∠BDE=15°,AD=8,求DF的长.
方法指导1.矩形判定的一般思路:先看是否为平行四边形,再找直角,或证明对角线相等,即可判定为矩形。2.利用矩形性质计算的一般思路:矩形的四个角都是直角,对角线相等且相互平分,在求线段长度时,常放在直角三角形中求解。
1.如图,在△ABC中,AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点,△ADE≌△CFE,则四边形ADCF一定是( 　　)A.菱形　　　　　　B.矩形C.正方形D.无法确定
例2 如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;
证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB.∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD=AB,∴ ▱ABCD是菱形.　
方法指导1.解决与菱形相关的计算问题时,一定要想到菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分.2.在计算角度时注意互余角的应用,在计算线段长时注意勾股定理的应用.
4.(2022·黔西南州兴义市模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为　　　　.
例3 正方形ABCD的对角线相交于点O,过点B作对角线AC的平行线与以点A为圆心,AC为半径的弧交于点E,过点A作AH⊥BE于点H.(1)判断四边形AOBH的形状并说明理由;
(2)求∠AEB的度数.
方法指导以正方形为背景的计算题,解题过程应充分利用正方形中相等的线段、角,通过相似、全等、勾股定理或直角三角形边角关系进行推导求解.
(1)求证:矩形DEFG为正方形;
(2)求证:CE+CG=8.
（2017~2022）
(贵阳6年4考,遵义6年3考,毕节6年4考)
 2.(2018·遵义10题3分)如图,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为(　　)A.10　　B.12　　C.16　　D.18
3.(2019·安顺17题4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为　　　　. 
4.(2020·黔东南州20题3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ=　　　　. 
5.(2022·黔东南州15题3分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是　　　　.　 
6.(2022·六盘水19题10分)如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分∠ACD.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形?请写出证明过程.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形?请写出证明过程.
解:当△ABC满足AB=AC时,四边形AECF是矩形.理由:由(1),可知∠CAE=∠ACF,∴AE∥CF.∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴平行四边形AECF是矩形.
7.(2021·贵阳19题10分)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.(1)求证:△ABN≌△MAD;(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
8.(2018·贵阳5题3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为(　　)A.24　 B.18　 C.12　　D.9
(贵阳6年5考,遵义6年2考,毕节6年2考)
11.(2018·毕节24题12分)如图,在▱ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP,BQ,PQ. (1)求证:△APD≌△BQC;(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.
(1)求证:△APD≌△BQC;
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵CQ∥DB,∴∠BCQ=∠DBC,∴∠ADB=∠BCQ.∵DP=CQ,∴△ADP≌△BCQ.　
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.
∵CQ∥DB,且CQ=DP,∴四边形CQPD是平行四边形,∴CD=PQ,CD∥PQ.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴AB=PQ,AB∥PQ,∴四边形ABQP是平行四边形.∵△ADP≌△BCQ,∴∠APD=∠BQC.∵∠APD+∠APB=180°,∠ABP+∠BQC=180°,∴∠ABP=∠APB,∴AB=AP,∴四边形ABQP是菱形.
12.(2017·贵阳10题3分)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,以AB,BC,DC为边向外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,若S1=3,S3=9,则S2的值为( 　　)A.12B.18 C.24　 D.48
(贵阳6年3考,遵义6年3考,毕节6年4考)
14.(2022·贵阳21题10分)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.
(1)求证:△ABE≌△FMN;
(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.
15.(2022·遵义19题12分)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,BC上.(1)求证:△ADE≌△CDG;(2)若AE=BE=2,求BF的长.
(1)求证:△ADE≌△CDG;