第2讲 根的判别式与根系关系-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版上册 学案

第2讲  根的判别式与根系关系

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1.一元二次方程根的判别式；

2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．

【板块一】一元二次方程根的判别式

方法技巧

1.不解方程，判断一元二次方程根的情况；

2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围；

3.解决一元二次方程的整数根的问题；

4.求代数式的最值；

5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题；

题型一   用于参数方程根的判定

【例1】关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根大于，求的取值范围．

题型二 判别式求参数的取值范围

【例2】若关于的方程有实数根，求的取值范围．

【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【例4】若关于的方程只有个不相等的实数根，求的值或取值范围.

题型三  判别式用于整数根问题

例5 当m是什么整数时，关于x的方程与的根都是整数？

题型四 判别式法求极值

例6 若x，y是实数，且,试确定m的最小值

针对练习1

1、当k＝      时，关于x的二次三项式是完全平方式

2、已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值

3、m为何值时，关于x的方程

（1）有两个实根？

（2）只有一个实根？

（3）有实根？

4、已知关于x的一元二次方程，其中a,b,c分别为△ABC的三边长

（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

5、若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，求m的值或取值范围.

板块二 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

方法技巧

1、求方程中字母系数的值或取值范围

2、求代数式的值

3、结合根的判别式，判断根的符合特征；

利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：①a≠0,②判别式△≥0

题型一  根的定义与根系关系结合求值

（一）对称式求值

例1 若的值

（二）非对称式求值

例2  设方程的两个根是，求的值

题型二  求方程中待定系数的值

（一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值

例3 已知关于x的方程

（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；

（2）若两实数根满足，求m的值

（二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验

例4 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得

成立，求其实数a的可能值

题型三 利用根系关系求最值

例5 若关于x的方程有两个实数根，求的最小值

题型四  一元二次方程根的分布

例6  当m为何值时，关于x的一元二次方程的两根都大于2？

例7  已知关于x的一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围

针对练习2

1、若实数a,b满足（   ）

A. B. C. D.

2、已知a,b是关于x的方程的两个根，则（    ）

A.365 B.245 C.210 D.175

3、已知是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为    

4、已知方程的两个根为α，β，求的值

5、已知a,b是方程的两个实数根，求的值

6、已知关于x的方程的两根，给出四个结论中：①；②；③；④若，且a＜b,，则正确结论的序号是（    ）

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④

7．已知a≥2，m2－2m＋2＝0，n2－2an＋2＝0，且m≠n，则(m－1) 2＋(n－1)2的最小值是(    )

A．6 B．－3 C．3 D．0

8．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2

(1)求实数k的取值范围；

(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．

9．已知x1，x2是关于x的方程x2－x＋t＝0的两个非负实数根．设y＝x14＋x24的最大值为M，最小值为m，求M－m．

10．已知关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0．

(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；

(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．

(1)若(x1－1)(x2－1)＝19，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．