第26讲 解直角三角形及其应用-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版下册学案

第26讲  解直角三角形及其应用

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1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2．直角三角形边角之间的关系：Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：(1)a2＋b2＝c2；(2)∠A＋∠B＝90°；(3)sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．

3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．

【板块一】解直角三角形及实际应用

方法技巧

1．灵活运用边角关系求边与角；

2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决；

3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解．

▶题型一　可直接解直角三角形

【例1】在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：

(1)c＝2，∠A＝30°；

(2)a＝3，b＝9；

(3)∠A＝2∠B，c－b＝4．

▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解

【例 2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6，点E是边AB上一动点，且∠DEC＝120°，求AE的长．

▶题型三　“化斜为直“解斜三角形

【例3】在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，求BC的长．

▶题型四　方位角、俯角、仰角、坡角等的应用

【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)

2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．

【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)

针对练习1

1．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为     海里．

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△ABC．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．

4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC．(结果取整数)(参考数据：tan48°≈1．11，tan58≈1．60)

5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得点B，E，D在同一水平线上，如图所示。该小组在标杆的F处，通过平面镜E恰好观测到旗相顶点A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39．3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1．8米．问旗杆的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39．3°≈0．82，tan84．3°≈10．02)

方法技巧

与锐角三角函数相关的问题，一般将锐角转化到直角三角形中，根据定义用线段比表示锐角三角函数，再运用相似比进行转换。

题型一   与三角函数、相似等相关的计算

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，BN是△ABC的中线，CH⊥BN于点I，交AB于点H，求的值

【例2】如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且AE⊥BD于点F，则sin∠EFC的值为     ．

题型二    与三角函数，相似等相关的证明

【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E是BC边的中点，EF⊥AC，垂足为点F，EF与CD交于点G，tan∠ABC＝2，求证：AC＝4EG．

【例4】如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上(不与点B，C重合)，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．

(1)求证：△BFG∽△DEA；

(2)连接BE，DF，设∠EDF＝，∠EBF＝，求证：tan＝ktan．

针对练习2

1．如图，在△ABC中． ＝ ，cos∠BAC＝ ，求证：AB＝BC．

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，且tan∠BAD＝，若AC＝6，BD＝，求CD的长．

3．如图，在口ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．求证：cos∠AFE＝．

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，点P为边AC上一点，且∠PBA＝90°，＝，

(1)求tan∠APB的值；

(2)若PB＝2，求AC的长．

5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝BA，点E是BC上一点，线段CE的垂直平分线交BD于点F，连接AF，EF，且EF＝BE，FD＝14，tan∠ABD＝2，求AF的长．