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2020-2021学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题，（本题满分14分)等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
2．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（4分）如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
4．（4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（ ）（结果保留π）．
A． B． C． D．
5．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形（ ）
A．（3，0） B．（7，3）
C．（11，6） D．（11，6）或（3，0）
7．（4分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜0）有两个不相等的实数根（ ）
A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
9．（4分）如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，Q，M的AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
10．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，若AB＝4（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 ．
12．（5分）如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是 ．
13．（5分）设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝ ．
14．（5分）已知⊙O的两条半径OA与OB相互垂直，C为优弧AB上一点，且满足AB2+OB2＝BC2，则∠OAC＝ 度．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
16．（8分）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系（﹣3，2），
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长比宽多了多少步？
18．（8分）如图，已知某二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点A（4，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点，若点P到y轴的距离不大于4
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点的图象交于点E（1，5）和点F．
（1）求k，b的值以及点F的坐标；
（2）求△EOF的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，过点E作直线
BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
（3）求证：CD＝HF．
六、（本题满分12分）
21．（12分）市扶贫办为了全面了解某贫困县对扶贫工作的满意度情况（即达到基本满意及以上的户数占总体的百分比），进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 ；
（3）市扶贫办从该县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
八、（本题满分14分)
23．（14分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．
（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；
（2）连接DE，
①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；
②如图3，若AB＝15，CF＝3
2020-2021学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，
此时，由垂径定理知，
连接OA，AM＝，
由勾股定理知，OM＝6．
故选：B．
3．（4分）如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
【解答】解：如图，因为DF＝DE，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，此时A，F．
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠EDB＝90°，
∵∠EDB＝∠FDT，
∴∠ADF+∠FDT＝90°
∴红、蓝两张纸片的面积之和＝△ADT的面积＝．
故选：A．
4．（4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（ ）（结果保留π）．
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理＝＝，
由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，
∴线段AB扫过的图形面积＝＝＝．
故选：B．
5．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
【解答】解：水中捞月是不可能事件，
故选：C．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形（ ）
A．（3，0） B．（7，3）
C．（11，6） D．（11，6）或（3，0）
【解答】解：x2﹣7x+12＝7，
解得x1＝3，x5＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝BC＝＝5，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∵∠CBM+∠OBA＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵CM⊥OB，
∴∠BMC＝90°＝∠AOB，
在△BCM和△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，
∴OM＝7，
∴C（7，3），
点P与点B重合时，P5（3，0），
点P与点B关于点C对称时，点C是BP的中点，y），
∴＝7，，
∴x＝11，y＝6，
则P6（11，6）．
故选：D．
7．（4分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（5+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（6+x）2＝100．
故选：A．
8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜0）有两个不相等的实数根（ ）
A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜2）有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×a×（﹣）＝4+8a＞0，
解得：a＞﹣2，
∵a＜3，
∴﹣2＜a＜0．
故选：C．
9．（4分）如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，Q，M的AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【解答】解：由题意可知，∠BCN＝60°，∠ACN＝30°，
∴∠ACB＝∠ACN+∠BCN＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心是斜边AB的中点，
∵点Q是AB中点，
∴△ABC的外心是点Q，
故选：B．
10．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，若AB＝4（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在△ABE中，BE＝＝，
∵ABCD是正方形，
∴BE＝MN，
∴S四边形MBNE＝BE•MN＝x2+3，
∴阴影部分的面积S＝16﹣（x3+8）＝﹣x2+8．
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，顶点是（5，自变量的取值范围是0＜x＜4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 （1，﹣2） ．
【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（5，
故答案为：（1，﹣2）．
12．（5分）如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是 0＜b＜2 ．
【解答】解：由双曲线过A（1，则k＝2，
∵B在双曲线上，
∴ab＝5，b＝，
当a＞1时，7＜b＜2．
故答案为：0＜b＜2．
13．（5分）设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝ 30 ．
【解答】解：a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
两式相加得a﹣c＝4，
原式＝a3﹣2ab+b2+a7﹣2ac+c2+b5﹣2bc+c2
＝（a﹣b）6+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（6+）2+82+（2﹣）2
＝7+4+16+7﹣6
＝30．
故答案为：30．
14．（5分）已知⊙O的两条半径OA与OB相互垂直，C为优弧AB上一点，且满足AB2+OB2＝BC2，则∠OAC＝ 15或75 度．
【解答】解：如图，设圆的半径是r，
则AB＝r，OB＝rr，
cos∠CBD＝
∴∠CBD＝30°，而∠BCA＝，
在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．
作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，BE，AC，OE，
在直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，∠AOE＝30°，
∴∠OAE＝180°﹣30°）＝75°．
故答案为：15或75．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
【解答】解：x2﹣2x﹣15＝8，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝8，
可得x﹣5＝0或x+5＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣3．
16．（8分）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系（﹣3，2），
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心
【解答】解：
（1）直角坐标系如图；
（2）画法如图：
结论：点P就是所求圆心．
圆心坐标为（﹣2，﹣1）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长比宽多了多少步？
【解答】解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），
∴36﹣24＝12（步），
则该矩形的长比宽多12步．
18．（8分）如图，已知某二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点A（4，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点，若点P到y轴的距离不大于4
【解答】解：（1）∵二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
∵二次函数的图象经过点A（7，5）．
∴5＝7a﹣4，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣7）2﹣4＝x4﹣2x﹣3；
（2）由题意可得点P到y轴的距离为|m|，
则﹣4≤m≤4，
∵点P（m，n）是该二次函数y＝x2﹣8x﹣3的图象上一点，
∴﹣4≤n≤21．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点的图象交于点E（1，5）和点F．
（1）求k，b的值以及点F的坐标；
（2）求△EOF的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．
【解答】解：（1）将点E（1，5）代入y＝﹣x+b和y＝，得
b＝4，k＝5，
由题意，联立方程组得，
，
解得或，
∴点F的坐标为（5，5）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，
∴A（6，0），3），
∴S△EOF＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE＝5×6﹣6×1＝18﹣7＝12；
（3）观察函数图象可知：
反比例函数值大于一次函数值时x的范围为：
0＜x＜1或x＞4．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，过点E作直线
BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
（3）求证：CD＝HF．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）证明：如图，连接DE．
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
六、（本题满分12分）
21．（12分）市扶贫办为了全面了解某贫困县对扶贫工作的满意度情况（即达到基本满意及以上的户数占总体的百分比），进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 95% ；
（3）市扶贫办从该县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%＝100（户），
∴C类别户数为100﹣（60+20+5）＝15（户），
补全图形如下：
（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是，
故答案为：95%；
（3）画树状图如下：
由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，
∴这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得：
解得：k＝﹣1，b＝120．
所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120．
（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：Q＝（x﹣50）（﹣x+120）＝﹣x2+170x﹣6000；
Q＝﹣x4+170x﹣6000＝﹣（x﹣85）2+1225；
∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价．
∴50≤x≤70，
∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润．
（3）依题意得：﹣x2+170x﹣6000≥600，
解得：60≤x≤110，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（4+40%）＝70，
故60≤x≤70的整数．
八、（本题满分14分)
23．（14分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．
（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；
（2）连接DE，
①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；
②如图3，若AB＝15，CF＝3
【解答】（1）证明：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）①证明：如图2，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F，
∴F为CE′的中点；
②解：如图3，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝22＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）5，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝4，
∴DE＝＝＝3．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/7 10:18:41；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
2020-2021学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
2．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（4分）如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
4．（4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（ ）（结果保留π）．
A． B． C． D．
5．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形（ ）
A．（3，0） B．（7，3）
C．（11，6） D．（11，6）或（3，0）
7．（4分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜0）有两个不相等的实数根（ ）
A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
9．（4分）如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，Q，M的AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
10．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，若AB＝4（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 ．
12．（5分）如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是 ．
13．（5分）设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝ ．
14．（5分）已知⊙O的两条半径OA与OB相互垂直，C为优弧AB上一点，且满足AB2+OB2＝BC2，则∠OAC＝ 度．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
16．（8分）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系（﹣3，2），
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长比宽多了多少步？
18．（8分）如图，已知某二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点A（4，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点，若点P到y轴的距离不大于4
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点的图象交于点E（1，5）和点F．
（1）求k，b的值以及点F的坐标；
（2）求△EOF的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，过点E作直线
BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
（3）求证：CD＝HF．
六、（本题满分12分）
21．（12分）市扶贫办为了全面了解某贫困县对扶贫工作的满意度情况（即达到基本满意及以上的户数占总体的百分比），进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 ；
（3）市扶贫办从该县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
八、（本题满分14分)
23．（14分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．
（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；
（2）连接DE，
①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；
②如图3，若AB＝15，CF＝3
2020-2021学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，
此时，由垂径定理知，
连接OA，AM＝，
由勾股定理知，OM＝6．
故选：B．
3．（4分）如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
【解答】解：如图，因为DF＝DE，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，此时A，F．
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠EDB＝90°，
∵∠EDB＝∠FDT，
∴∠ADF+∠FDT＝90°
∴红、蓝两张纸片的面积之和＝△ADT的面积＝．
故选：A．
4．（4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（ ）（结果保留π）．
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理＝＝，
由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，
∴线段AB扫过的图形面积＝＝＝．
故选：B．
5．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
【解答】解：水中捞月是不可能事件，
故选：C．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形（ ）
A．（3，0） B．（7，3）
C．（11，6） D．（11，6）或（3，0）
【解答】解：x2﹣7x+12＝7，
解得x1＝3，x5＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝BC＝＝5，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∵∠CBM+∠OBA＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵CM⊥OB，
∴∠BMC＝90°＝∠AOB，
在△BCM和△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，
∴OM＝7，
∴C（7，3），
点P与点B重合时，P5（3，0），
点P与点B关于点C对称时，点C是BP的中点，y），
∴＝7，，
∴x＝11，y＝6，
则P6（11，6）．
故选：D．
7．（4分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（5+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（6+x）2＝100．
故选：A．
8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜0）有两个不相等的实数根（ ）
A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜2）有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×a×（﹣）＝4+8a＞0，
解得：a＞﹣2，
∵a＜3，
∴﹣2＜a＜0．
故选：C．
9．（4分）如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，Q，M的AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【解答】解：由题意可知，∠BCN＝60°，∠ACN＝30°，
∴∠ACB＝∠ACN+∠BCN＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心是斜边AB的中点，
∵点Q是AB中点，
∴△ABC的外心是点Q，
故选：B．
10．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，若AB＝4（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在△ABE中，BE＝＝，
∵ABCD是正方形，
∴BE＝MN，
∴S四边形MBNE＝BE•MN＝x2+3，
∴阴影部分的面积S＝16﹣（x3+8）＝﹣x2+8．
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，顶点是（5，自变量的取值范围是0＜x＜4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 （1，﹣2） ．
【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（5，
故答案为：（1，﹣2）．
12．（5分）如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是 0＜b＜2 ．
【解答】解：由双曲线过A（1，则k＝2，
∵B在双曲线上，
∴ab＝5，b＝，
当a＞1时，7＜b＜2．
故答案为：0＜b＜2．
13．（5分）设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝ 30 ．
【解答】解：a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
两式相加得a﹣c＝4，
原式＝a3﹣2ab+b2+a7﹣2ac+c2+b5﹣2bc+c2
＝（a﹣b）6+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（6+）2+82+（2﹣）2
＝7+4+16+7﹣6
＝30．
故答案为：30．
14．（5分）已知⊙O的两条半径OA与OB相互垂直，C为优弧AB上一点，且满足AB2+OB2＝BC2，则∠OAC＝ 15或75 度．
【解答】解：如图，设圆的半径是r，
则AB＝r，OB＝rr，
cos∠CBD＝
∴∠CBD＝30°，而∠BCA＝，
在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．
作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，BE，AC，OE，
在直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，∠AOE＝30°，
∴∠OAE＝180°﹣30°）＝75°．
故答案为：15或75．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
【解答】解：x2﹣2x﹣15＝8，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝8，
可得x﹣5＝0或x+5＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣3．
16．（8分）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系（﹣3，2），
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心
【解答】解：
（1）直角坐标系如图；
（2）画法如图：
结论：点P就是所求圆心．
圆心坐标为（﹣2，﹣1）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长比宽多了多少步？
【解答】解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），
∴36﹣24＝12（步），
则该矩形的长比宽多12步．
18．（8分）如图，已知某二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点A（4，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点，若点P到y轴的距离不大于4
【解答】解：（1）∵二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
∵二次函数的图象经过点A（7，5）．
∴5＝7a﹣4，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣7）2﹣4＝x4﹣2x﹣3；
（2）由题意可得点P到y轴的距离为|m|，
则﹣4≤m≤4，
∵点P（m，n）是该二次函数y＝x2﹣8x﹣3的图象上一点，
∴﹣4≤n≤21．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点的图象交于点E（1，5）和点F．
（1）求k，b的值以及点F的坐标；
（2）求△EOF的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．
【解答】解：（1）将点E（1，5）代入y＝﹣x+b和y＝，得
b＝4，k＝5，
由题意，联立方程组得，
，
解得或，
∴点F的坐标为（5，5）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，
∴A（6，0），3），
∴S△EOF＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE＝5×6﹣6×1＝18﹣7＝12；
（3）观察函数图象可知：
反比例函数值大于一次函数值时x的范围为：
0＜x＜1或x＞4．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，过点E作直线
BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
（3）求证：CD＝HF．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）证明：如图，连接DE．
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
六、（本题满分12分）
21．（12分）市扶贫办为了全面了解某贫困县对扶贫工作的满意度情况（即达到基本满意及以上的户数占总体的百分比），进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 95% ；
（3）市扶贫办从该县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%＝100（户），
∴C类别户数为100﹣（60+20+5）＝15（户），
补全图形如下：
（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是，
故答案为：95%；
（3）画树状图如下：
由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，
∴这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得：
解得：k＝﹣1，b＝120．
所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120．
（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：Q＝（x﹣50）（﹣x+120）＝﹣x2+170x﹣6000；
Q＝﹣x4+170x﹣6000＝﹣（x﹣85）2+1225；
∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价．
∴50≤x≤70，
∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润．
（3）依题意得：﹣x2+170x﹣6000≥600，
解得：60≤x≤110，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（4+40%）＝70，
故60≤x≤70的整数．
八、（本题满分14分)
23．（14分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．
（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；
（2）连接DE，
①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；
②如图3，若AB＝15，CF＝3
【解答】（1）证明：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）①证明：如图2，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F，
∴F为CE′的中点；
②解：如图3，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝22＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）5，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝4，
∴DE＝＝＝3．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/7 10:18:41；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
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