第13讲 双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第13讲 双变量问题

一．选择题（共5小题）

1．（2021•海淀区校级月考）若，则　　

A． B． C． D．

2．（2021•全国月考）已知实数，满足，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

3．（2021•鼓楼区校级二模）已知，，，若，则下列结论一定成立的是　　

A． B． C． D．

4．（2021春•顺义区期末）已知函数，（其中．对于不相等的实数，，设，，给出下列三个结论：

①对于任意不相等的实数，，都有；

②对于任意的及任意不相等的实数，，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数，，使得．

其中，所有正确结论的序号是　　

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

5．（2021•龙凤区校级月考）已知，不等式对于任意恒成立，则的取值范围是　　

A．， B．， C． D．，

二．多选题（共1小题）

6．（2021•武进区校级期中）已知正实数，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

三．解答题（共45小题）

7．（2021•扬州月考）已知函数，为的导函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求证：对任意的，，且，有．

8．（2021•浙江月考）已知且，函数．

（Ⅰ）当时，设的导函数，求的单调区间；

（Ⅱ）若函数恰有两个互异的零点，．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）求证：．

9．（2021•南平月考）已知函数．

（1）求f（x）的单调区间与极值．

（2）设m，n为两个不相等的正数，且mlnn﹣nlnm＝m﹣n，证明：mn＞e4．

10．（2021•广州月考）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，求证：．

11．（2021•和平区校级开学）已知函数．

（Ⅰ）若在，处导数相等，证明：；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；

（Ⅲ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

12．（2021春•浙江月考）已知函数

（1）若函数有极值，求实数的取值范围；

（2）当时，若在，处导数相等，证明：；

（3）若函数在上有两个零点，，证明：．

13．设函数，．

（1）曲线在点，（2）处的切线与轴平行，求实数的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）证明：若，则对任意，，，有．

14．（2012春•顺庆区校级月考）已知函数是奇函数，且 （1）．

（1）求的解析式；

（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；

（3）若，，且．求证．

15．（2021•湖北月考）已知函数的定义域为．

（1）当取得最小值时，记函数在处的切线方程为．若恒成立且，求的最大值；

（2）若有两个极值点和，求证：．

16．（2009•卢湾区二模）已知函数，．

（1）证明：函数在区间上为增函数，并指出函数在区间上的单调性；

（2）若函数的图象与直线有两个不同的交点，，其中，求的取值范围．

17．（2021•商丘二模）已知直线与函数的图象交于两个不同的点，，其横坐标分别为，，且

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明．

18．（2021•西湖区校级模拟）设函数有两个极值点，，且．

（1）求的取值范围，并讨论的单调性．

（2）证明：．

19．（2010•辽宁）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．

20．（2015•南通校级模拟）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若对任意、恒有，求的取值范围．

21．已知函数，．其中．．

（1）讨论的单调性；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；

（3）设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．

22．（2015•天津）已知函数，，其中，且．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；

（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．

23．（2021•呼和浩特二模）已知函数．

①讨论的单调性；

②设，证明：当时，；

③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．

24．（2021•定远县期末）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，求证：．

25．（2021•临沂期中）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

26．（2021春•新乡期末）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．

27．（2021•湖北月考）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，证明：

28．（2021•登封市校级月考）已知函数有两个零点．

（1）求的取值范围；

（2）已知图象与图象关于对称，证明：当时，．

（3）设，是两个零点，证明：．

29．（2010•湖南）已知函数，对任意的，恒有．

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）若对满足题设条件的任意，，不等式（c）（b）恒成立，求的最小值．

30．（2009•海南）已知函数．

（1）如，求的单调区间；

（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．

31．（2021春•深圳月考）已知函数，，，．

（Ⅰ） 若直线与的图象相切，求实数的值；

（Ⅱ） 设，讨论曲线与曲线公共点的个数．

（Ⅲ） 设，比较与的大小，并说明理由．

32．（2006•四川）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当时，．

33．（2013•揭阳二模）已知，函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解；

（3）若存在均属于区间，的，且，使，证明：．

34．（2021•金安区校级月考）已知函数．

（1）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围．

35．（2021•信阳月考）已知函数，其中为正实数．

（Ⅰ）若函数在处的切线斜率为2，求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若函数有两个极值点，，求证：．

36．（2021•和平区校级月考）已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若函数有两个极值点，，求证：．

37．（2021•茂名月考）已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若，是函数的两个极值点，证明：．

38．（2021•沈阳月考）已知函数有两个零点，，且．

（1）求证：；

（2）求证：．

39．（2021•海淀区校级月考）已知，函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点， （1）处的切线方程；

（Ⅱ）求的极值点个数；

（Ⅲ）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围．

40．（2021•重庆月考）已知函数有三个不同的极值点，，，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求的最大值．

41．（2021•浙江月考）已知，函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若有两个极值点，且，试把表示成的函数，并证明此函数存在极值点，，且．

42．（2021•广州月考）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，函数存在两个零点，，求证：．

43．（2021•长治月考）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）设有两个极值点，，求证：．

44．（2021•河北月考）已知，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，且，证明：．

45．（2021•涪城区校级开学）已知函数．

（1）讨论在的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，证明：．

46．（2021•光明区月考）已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．

47．（2021春•洛阳期中）已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）若“，，”为真命题，求实数的取值范围．

48．（2021•河南月考）已知函数，．

（Ⅰ）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值；

（Ⅱ）证明：对于任意两个正数，，．

49．（2021•朝阳区校级月考）已知函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若关于的不等式在，上恒成立．求的取值范围；

（Ⅲ）若实数满足且，证明：．

50．（2021春•浙江期中）已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个零点，．

（ⅰ）求的范围；

（ⅱ）若，求证：．

51．（2021春•丽水期中）已知函数，，．

（Ⅰ）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数有3个不同的零点，，．

（ⅰ）求证：；

（ⅱ）求证：．