高考数学考前回归课本知识技法精细过（五）：平面向量教案

考数学考前30天回归课本知识技法精细过（五）

第一节　平面向量的概念及其线性运算

一、必记3个知识点

1．向量的有关概念

2.向量的表示方法

(1)字母表示法：如a，等．

(2)几何表示法：用一条⑯____________表示向量．

3．向量的线性运算

二、必明3个易误点

1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．

2．在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．

三、技法

1. 向量有关概念的5个关键点

(1)向量：方向、长度．

(2)非零共线向量：方向相同或相反．

(3)单位向量：长度是一个单位长度．

(4)零向量：方向没有限制，长度是0.

(5)相等向量：方向相同且长度相等.

2. 平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

3．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．

(3)比较、观察可知所求.

4. 共线向量定理的应用

(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

[提醒]　证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.

参考答案

①     大小　②方向　③模　④长度　⑤零　⑥0　⑦1个单位长度　⑧相同　⑨相反　

⑩方向相同或相反　⑪平行　⑫相等　⑬相同　⑭相等　⑮相反　⑯有向线段　

⑰三角形　⑱平行四边形　⑲b＋a　⑳a＋(b＋c)　三角形　|λ||a|　相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb

第二节　平面向量基本定理及坐标表示

一、必记3个知识点

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个①____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝②____________.

我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组③____________.

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴④____________的两个单位⑤____________i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝⑥____________，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作⑦____________，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其⑧________相同，⑨________相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐标运算

(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________，||＝⑪ ____________________.

(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝⑫____________，a－b＝⑬______________，λa＝⑭________________，a∥b(b≠0)的充要条件是⑮________________.

(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为⑯________________或⑰________________.

(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔⑱__________.

二、必明3个易误点

1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．

2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.

三、技法

1. 平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

2. 求解向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．

(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．

(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.

3. 利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.

4. 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线.

参考答案

①不共线　②＋　③基底　④同向　⑤向量　⑥xi＋yj　⑦a＝(x，y)　⑧坐标　

⑨坐标　⑩(－，－)　⑪　⑫(＋，＋)　⑬(－，－)　⑭(λ，λ)　⑮－＝0　⑯±　

⑰± (x，y)　⑱＝且＝

第三节　平面向量的数量积与应用举例

一、必记4个知识点

1．平面向量的数量积的定义

(1)已知两个①____________a、b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的②________.

很显然，当且仅当两非零向量a、b同方向时，θ＝③________，当且仅当a、b反方向时，θ＝④________，特别地，0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．

(2)如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作⑤________.

(3)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积．记作a·b，即a·b＝⑥________________.

规定0·a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时⑦________＝0.

(4)a·b的几何意义

a·b等于a的长度与b在a的方向上的⑧____________.

2．向量数量积的性质

(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝⑨____________.

(2)a⊥b⇒⑩________且a·b＝0⇒⑪____________.(a，b为非零向量)

(3)a·a＝⑫________，|a|＝⑬ ____________.

(4)cos〈a，b〉＝⑭________________.

(5)|a·b|⑮________|a||b|.

3．数量积的运算律

(1)交换律a·b＝⑯________.

(2)分配律(a＋b)·c＝⑰________________.

(3)对λ∈R，λ(a·b)＝⑱________________＝⑲________________.

4．数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

(1)a·b＝⑳________________.

(2)a⊥b⇔________________.

(3)|a|＝____________.

(4)cos〈a，b〉＝____________________.

二、必明2个易误点

1．若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．

三、技法

1. 平面向量数量积应用的技巧

⑴．求两向量的夹角，cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．

⑵．两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

⑶．求向量的模的方法

①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

2. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等.

参考答案

①     非零向量　②夹角　③0°　④180°　⑤a⊥b　⑥|a|·|b|·cos θ　⑦a·b　⑧投影的乘积　

⑨|a|cos〈a，e〉　⑩a·b＝0　⑪a⊥b　⑫|a|2　⑬　⑭　⑮≤　⑯b·a　⑰a·c＋b·c　⑱(λa)·b　⑲a·(λb)　⑳　＝0