高考数学考前回归课本知识技法精细过（二）：函数教案

这是一份高考数学考前回归课本知识技法精细过（二）：函数教案，共23页。教案主要包含了必记3个知识点，必明3个易误点，技法等内容，欢迎下载使用。

第一节 函数及其表示
一、必记3个知识点
1．函数与映射的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的⑥________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑦________.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素
⑧________、⑨________和⑩________.
(3)相等函数
如果两个函数的⑪________和⑫________完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：⑬____________、⑭__________、⑮____________.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因⑯____________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的⑰________，其值域等于各段函数的值域的⑱________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
二、必明3个易误点
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．易误把分段函数理解为几种函数组成．
三、技法
1.求分段函数的函数值
(1)基本步骤
①确定要求值的自变量属于哪一区间．
②代入该区间对应的解析式求值．
(2)两种特殊情况
①当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．解分段函数与方程或不等式的综合问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.
3．函数问题常见方法说明
参考答案
①非空集合 ②任意 ③唯一确定 ④任意 ⑤唯一确定 ⑥定义域 ⑦值域 ⑧定义域 ⑨值域 ⑩对应关系 ⑪定义域 ⑫对应关系 ⑬解析法 ⑭列表法 ⑮图象法 ⑯对应关系 ⑰并集 ⑱并集
第二节 函数的单调性与最值
一、必记2个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是⑤________或⑥________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的⑦________.
(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当⑧________时，f(x)在区间D上为增函数；当⑨________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．
2．函数的最值
(1)函数最值的定义
(2)两条结论：
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；
②区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、必明2个易误点
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“，”“和”．
2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
三、技法
1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法
(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
2．熟记函数单调性的三个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
3．求函数的最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝eq \r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．
(4)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，eq \r(x)≥0，－1≤sin x≤1等)确定函数的值域．
(5)分离常数法：形如求y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法.
4．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
参考答案
= 1 \* GB3 ①f(x1)f(x2) ③上升的 ④下降的 ⑤增函数 ⑥减函数 ⑦单调区间
⑧f′(x)>0 ⑨f′(x)<0 ⑩f(x)≤M ⑪f(x0)＝M ⑫f(x)≥M ⑬f(x0)＝M
第三节 函数的奇偶性与周期性
一、必记3个知识点
1．函数的奇偶性
2.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧________(填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________，两个奇函数的积函数是⑩________.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝⑬________.
3．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝⑭________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中⑮__________________的正数，那么这个⑯________就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明2个易误点
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
三、技法
1.判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
3.求函数周期的方法
4.函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
5.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解.
参考答案
①任意一个 ②f(－x)＝f(x) ③y轴 ④任意一个 ⑤f(－x)＝－f(x) ⑥原点 ⑦相同 ⑧相反 ⑨奇函数 ⑩偶函数 ⑪偶函数 ⑫奇函数 ⑬0 ⑭f(x) ⑮存在一个最小 ⑯最小正数
第四节 二次函数与幂函数
一、必记2个知识点
1．幂函数
(1)定义：形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1.
(2)性质
(ⅰ)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(ⅱ)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
(ⅰ)一般式：f(x)＝②________________________；
(ⅱ)顶点式：f(x)＝③________________________；
(ⅲ)零点式：f(x)＝④________________________.
(2)二次函数的图象和性质
二、必明2个易误点
1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f(x)为二次函数．
2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝不是幂函数．
三、技法
1.幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
2.二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
3．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
参考答案
= 1 \* GB3 ①y＝xα(α∈R) ②ax2＋bx＋c(a≠0) ③a(x－m)2＋n(a≠0)
④a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ⑤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) ⑥eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))
⑦eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) ⑧eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) ⑨b＝0 ⑩eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
第五节 指数与指数函数
一、必记4个知识点
1．根式
(1)根式的概念
(2)一个重要公式
(eq \r(n,a))n＝⑨________(注意a必须使eq \r(n,a)有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是：＝⑩____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(2)正数的负分数指数幂是：＝⑪___________＝⑫___________(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(3)0的正分数指数幂是⑬________，0的负分数指数幂无意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝⑭________(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝⑮________(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝⑯________(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象与性质
二、必明2个易误点
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1还是0三、技法
1.
[注意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.
2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断.
3.应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
[提醒] 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论.
参考答案
①xn＝a ②正数 ③负数 ④两个 ⑤相反数 ⑥a ⑦a ⑧－a ⑨a ⑩eq \r(n,am) ⑪ ⑫eq \f(1,\r(n,am)) ⑬0 ⑭ar＋s ⑮ars ⑯arbr ⑰R ⑱(0，＋∞) ⑲增函数 ⑳减函数
第六节 对数与对数函数
一、必记4个知识点
1．对数的概念
(1)对数的定义
如果①________________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作②________，其中③________叫做对数的底数，④________叫做真数．
(2)几种常见对数
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
(ⅰ)algaN＝⑩________(a>0且a≠1)；
(ⅱ)lgaaN＝⑪________(a>0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
(ⅰ)换底公式：⑫________________(a，b均大于零且不等于1)；
(ⅱ)lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝⑬________.
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(ⅰ)lga(MN)＝⑭________________；
(ⅱ)lgaeq \f(M,N)＝⑮________________；
(ⅲ)lgaMn＝⑯________________(n∈R)；
(ⅳ)lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数eq \(○,\s\up1(28))________互为反函数，它们的图象关于直线eq \(○,\s\up1(29))________对称．
二、必明2个易误点
1．在运算性质lgaMn＝nlgaM中，易忽视M>0.
2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
三、技法
1.对数运算的一般思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算．
(3)利用式子lg2＋lg5＝1进行化简.
2.对数型函数图象的考查类型及解题思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.
3.比较对数值大小的方法
4.求解对数不等式的两种类型及方法

5.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．(分类讨论)
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
参考答案
①ax＝N(a>0且a≠1) ②x＝lgaN ③a ④N ⑤lgaN ⑥10 ⑦lgN ⑧e ⑨lnN ⑩N ⑪N ⑫lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) ⑬lgad ⑭lgaM＋lgaN ⑮lgaM－lgaN ⑯nlgaM ⑰(0，＋∞) ⑱R ⑲(1,0) ⑳1 eq \(○,\s\up1(21))0 eq \(○,\s\up1(22))y>0 eq \(○,\s\up1(23))y<0 eq \(○,\s\up1(24))y<0 eq \(○,\s\up1(25))y>0 eq \(○,\s\up1(26))增函数 eq \(○,\s\up1(27))减函数 eq \(○,\s\up1(28))y＝lgax
eq \(○,\s\up1(29))y＝x
第七节 函数的图象
一、必记2个知识点
1．列表描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交点)，描点，连线．
2．图象变换法作图
(1)平移变换
(2)对称变换
(ⅰ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝①________；
(ⅱ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝②________；
(ⅲ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝③________；
(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝④________.
(3)翻折变换
(ⅰ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝⑤________.
(ⅱ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝⑥________.
(4)伸缩变换
y＝⑦________.
(ⅱ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0y＝⑧________.
二、必明2个易误点
1．图象变换的根本是点的变换，如函数y＝f(2x)的图象到函数y＝f(2x＋2)的平移变换，是点(x，y)到对应点(x＋1，y)，而不是到点(x＋2，y)或其他．
2．明确一个函数的图象本身关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，后者是两个不同的函数的对称关系．
三、技法
1.图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq \f(1,x)的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
2.识图3种常用的方法
3.函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
参考答案
①－f(x) ②f(－x) ③－f(－x) ④lgax ⑤|f(x)| ⑥f(|x|) ⑦f(ax) ⑧af(x)
第八节 函数与方程
一、必记4个知识点
1．函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使①________的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系
由函数的零点的概念可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与②________的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔③________________________⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④__________的一条曲线，并且⑤________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得⑥________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间⑦______，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧__________的方法叫做二分法．
二、必明2个易误点
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式．
2.
由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
三、技法
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
2.判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
3.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3种方法
参考答案
①f(x)＝0 ②x轴 ③函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ④连续不断 ⑤f(a)·f(b)<0 ⑥f(c)＝0 ⑦一分为二 ⑧零点近似值
第九节 函数模型及其应用
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
2.函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度比较
(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度⑧________y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时有⑨________.
(2)对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有lgax＞xn，但由于y＝lgax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x＞x0时，⑩________.
(3)y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们⑪________不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，有⑫________________.
二、必明2个易误点
1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域．
2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性．
三、技法
1.一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型．
解决此类问题应注意三点：
①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
(2)以分段函数的形式考查．
解决此类问题应注意以下三点：
①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.
2.应用函数y＝x＋eq \f(a,x)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝eq \f(b,x)叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq \f(b,x)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋eq \f(b,x)的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋eq \f(b,x)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.
3.应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
参考答案
①增函数 ②增函数 ③增函数 ④越来越快 ⑤越来越慢 ⑥y轴 ⑦x轴 ⑧快于 ⑨ax＞xn ⑩lgax＜xn ⑪增长速度 ⑫ax＞xn＞lgax
函数
映射
两集合A，B
A，B是两个非空数集
A，B是两个①________
对应关系
f：A→B
按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的②________
一个数x，在集合B中有③________的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的④________一个元素x，在集合B中都有⑤________的元素y与之对应
名称
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1图象描述
自左向右看图象是③________
自左向右看图象是④________
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有⑩________；
(2)存在x0∈I，使得⑪________.
(1)对于任意的x∈I，都有⑫________；
(2)存在x0∈I，使得⑬________.
结论
M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果函数f(x)的定义域内①______x都有②________________，那么函数f(x)是偶函数
关于③______对称
奇函数
如果函数f(x)的定义域内④______x都有⑤________________，那么函数f(x)是奇函数
关于⑥______对称
方法
解读
适合题型
定义法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数
递推法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在⑤____________上单调递减；
在⑥____________上单调递增
在⑦____________上单调递增；
在⑧____________上单调递减
奇偶性
当⑨________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
= 10 \* GB3 ⑩____________________
对称性
图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)成轴对称图形
根式的概念
符号表示
备注
如果①________，那么x叫做a的n次方根.
eq \r(n,a)
n>1且
n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个②________，负数的n次方根是一个③________.
eq \r(n,a)
零的n次
方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有④________________，它们互为⑤________________.
±eq \r(n,a)
负数没有
偶次方根
a>1
0图象
定义域
⑰____________
值域
⑱____________
性质
(1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(2)在(－∞，＋∞)上是⑲________
(2)在(－∞，＋∞)上是⑳________
题型
求解策略
比较幂值
的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数
不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型
函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
⑤________
常用对数
底数为⑥________
⑦________
自然对数
底数为⑧________
⑨________
a>1
0图象
性质
(1)定义域：⑰________
(2)值域：⑱________
(3)过点⑲________，即x＝⑳________时，y＝eq \(○,\s\up1(21))________
(4)当x>1时，eq \(○,\s\up1(22))________
当0(4)当x>1时，eq \(○,\s\up1(24))________
当0(5)是(0，＋∞)上的
eq \(○,\s\up1(26))________
(5)是(0，＋∞)上的
eq \(○,\s\up1(27))________
若底数相同，真数不同
若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
类型
方法
形如
lgax>lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0形如
lgax>b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参
数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结
合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝lgax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上
的增减性
①________
②________
③________
增长速度
④________
⑤________
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐
表现为与
⑥________平行
随x增大逐渐
表现为与
⑦________平行
随n值变化
而不同