专题3.17 可化为一元一次方程的绝对值方程（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题3.17 可化为一元一次方程的绝对值方程（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共34页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．阅读以下例题：解方程＝1.
解：①当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x＝1，它的解是 x＝；
②当5x＜0时，原方程可化为一元一次方程-5x＝1，它的解是 x＝-．所以原方程的解是x＝和x＝-．
请你模仿上面例题的解法，解方程＝2．
2．（1）阅读下列材料并填空
例：解方程|x+2|+|x+3|=5
解：① 当x＜－3时，x+2＜0 ，x+3＜0，
所以|x+2|=－x－2，|x+3|=－x－3
所以原方程可化为 =5
解得 x=
② 当－3≤x ＜－2时 ，x+2＜0 ，x+3≥0，
所以|x+2|=-x-2，|x+3|=x+3
所以原方程可化为 －x－2+x+3＝5
1＝5
所以此时原方程无解
③ 当x≥－2时 ，x+2≥0 ，x+3＞0，
所以|x+2|= ，|x+3|=
所以原方程可化为 =5
解得 x=
（2）用上面的解题方法解方程
|x+1|－|x-2|=x-6
3．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且．
现将A、B之间的距离记作，定义．
（1）的值
（2）的值
（3）设点P在数轴上对应的数是x，当时，求x的值；
4．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）解方程．
5．阅读下面的解题过程：解方程：．
解：（1）当时，原方程可化为一元一次方程，解得；
（2）当时，原方程可化为一元一次方程，解得．
请同学们仿照上面例题的解法，
解方程：（1）
（2）．
6．已知（a2-1）x2-（a+1）x+8=0是关于x的一元一次方程．
（1）求代数式199（a+x）（x-2a）+3a+4的值；
（2）求关于y的方程a│y│=x的解．
7．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图1，∣AB∣＝∣OB∣＝∣b∣＝∣a－b∣；
当A、B两点都不在原点时，
如图2，点A、B都在原点的右边
∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣－∣a∣=b－a=∣a－b∣；
①如图3，点A、B都在原点的左边，
∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣－∣a∣=－b－（－a）=∣a－b∣；
②如图4，点A、B在原点的两边，
∣AB∣＝∣OB∣+∣OA∣＝∣a∣+∣b∣= a +（-b）=∣a-b∣；
（2）回答下列问题：
①数轴上表示－3和－5的两点之间的距离是___ __
数轴上表示3和－3的两点之间的距离是___ ___；
②数轴上表示x和－3的两点A和B之间的距离是__ __,
如果∣AB∣＝4，那么x为__ __；
8．的几何意义：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．根据的几何意义解答下列问题：
（1）①的几何意义是数轴上表示数 的点与 之间的距离．
②方程，根据几何意义可解得m的值为 .
（2）式子能取得 值(填“最大”或“最小”)，其值为 ．
（3）已知a,b互为相反数，且，计算的值．
9．解方程：｜3x｜=1．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x＝1，它的解是x=；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x＝1，它的解是x=-．
请你模仿上面例题的解法，解方程：2｜x-3｜+5＝13．
10．已知关于的方程的解满足，则的值．
11．阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值．
解：当时，即时：原式；
当时，即时：原式．
这种解题的方法叫“分类讨论法”．
请你用“分类讨论法”解一元一次方程：．
12．先阅读下列解题过程，然后解答问题
解方程：|x+3|＝2.
解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3＝2，解得x＝﹣1
当x+3＜0时，原方程可化为：x+3＝﹣2，解得x＝﹣5
所以原方程的解是x＝﹣1，x＝﹣5
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0；
（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b ①无解；②只有一个解；③有两个解．
（3）
13．阅读以下例题：
解方程：|3x|＝1.
解：①当3x＞0时，方程化为3x＝1，所以x＝；
②当3x＜0时，方程化为－3x＝1，所以x＝－.
所以原方程的解为x1＝，x2＝－.
请仿照上面例题的解法，解方程：
14．阅读下列例题
解方程：|x|+|2x﹣1|＝5．
解：①当x≥0.5时，原方程可化为：x+2x﹣1＝5，它的解是x＝2；
②当0≤x＜0.5时，原方程可化为：x﹣2x+1＝5，解之，得x＝﹣4，
经检验x不合题意，舍去．
③当x＜0时，原方程可化为：﹣x﹣2x+1＝5，它的解是x＝﹣．
所以原方程的解是x＝2或x＝﹣．
（1）根据上面的解题过程，写出方程2|x﹣1|﹣x＝4的解．
（2）根据上面的解题过程，解方程：2|x﹣1|﹣|x|＝4．
（3）方程|x|﹣2|x﹣1|＝4是否有解．
15．（给出定义）
数轴上顺次有三点A、C、B,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍,我们就称点C是(A、B)的“梦想点”例如:图①中,点A、B表示的数分别为-2、2,表示数1的点C是(A、B)的“梦想点”；图②中,点A、B表示对的数分别为-2、2，表示-1的点C是(B、A)的“梦想点.
（解决问题）
(1)若数轴上M、N两点所表示的数分别为且满足求出(M、N)的“梦想点”表示的数；
(2)如图③,在数轴上点A、B表示的数分别为-15和65,点P从点A出发沿数轴向右运动:
①若点P运动到点B停止,则当P、A、B中恰好有一个点为其余两个点的“梦想点”时,求这个点表示的数；
②若点P运动到B后,继续沿数轴向右运动的过程中,是否还存在点P、A、B中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况?若存在,请直接写出此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长；若不存在,请说明理由.
16．先看例子，再解类似的题目.
例：解方程：.
解法一：当时，原方程化为.解方程，得.当时，原方程化为.解方程，得.所以原方程的解是或.
解法二：移项，得.合并同类项，得.由绝对值的意义，得或.所以原方程的解是或.
问题：用你发现的规律解方程：.
17．已知与方程的解相同，求a的值．
18．已知是关于的一元一次方程.
（1）求代数式；
（2）求关于的方程的解.
19．关于x的方程是一元一次方程，求关于y的方程的解．
20．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 ；
（3）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是 ．
21．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x＋3|＝2．
解：当x＋3≥0时，原方程可化为x＋3＝2，解得x＝－1；
当x＋3＜0时，原方程可化为x＋3＝－2，解得x＝－5．
所以原方程的解是x＝－1或x＝－5．
（1）解方程：|3x－2|－4＝0．
（2）已知关于x的方程|x－2|＝b＋1．
①若方程无解，则b的取值范围是 ．
②若方程只有一个解，则b的值为 ．
③若方程有两个解，则b的取值范围是 ．
22．探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系．
（1）观察数轴，填空：点A与点B的距离是________；点C与点B的距离是________．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为，点N对应的数为，那么点M与点N之间的距离可表示为________（用，表示）．
（2）根据你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示和2的两点之间的距离是3，则求的值：
（3）根据你发现的规律，利用逆向思维解决下列问题：
①若，则的值是多少？
②若，则的值是多少？
23．阅读下面材料：点，在数轴上分别表示有理数，．，两点之间的距离表示为．设点表示原点，当，两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1所示，；
当，两点都不在原点时．
（1）如图2所示点，都在原点右边，；
（2）如图3所示点，都在原点左边，；
（3）如图4所示点，在原点两边，．
综上所述，数轴上，两点之间的距离表示为．
图1
图2
图3
图4
根据阅读材料回答下列问题：
（1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________．
（3）数轴上有表示的点和表示-1的点，如果那么等于________．
（4）求代数式的最小值．
24．如果关于x的方程，的解相同，求m的值．
25．进入初一，李华同学紧跟课堂落实知识，完成作业及时订正，因此对数学运算非常感兴趣，并自主探究了一种新运算“”，规则如下：对两个有理数a，b，定义
(1)计算2021=_________．
(2)若a1=|x-1|， a2=|x-2|， 若，则所有满足条件的x的和为___________
26．对于有理数，，定义一种新运算“”，规定．
（1）计算的值；
（2）①当，在数轴上的位置如图所示时，化简；
②当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
（3）已知，求的值．
27．如图，点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为．例如：数轴上表示与的两点之间的距离为．因为，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示与5的两点之间的距离是______；
（2）若数轴上点表示的数满足，则______；
（3）若数轴上点表示的数满足，求的值．
28．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示-3和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于
（2）如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，求a的值
（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求的值．
29．对于有理数，定义一种新运算“*”，规定：．
（1）计算的值；
（2）已知在数轴上的位置如图所示，若，求的值．
30．阅读下列例题：
例．解方程
解：当，即时，，∴
当，即时，，∴
∴方程的解为或．
请你参照例题的解法，求方程的解．
31．点、在数轴上所对应的数分别是、，其中、满足．
（1）求、的值．
（2）数轴上有一点，使得，求点所对应的数．
（3）点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是________；的最小值是________；取最小时，点对应的数的取值范围是________．
32．阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式．
通过以上阅读，请你解决问题：
（1）零点值是_________和__________；
（2）化简代数式；
（3）解方程；
（4）的最小值为_________，此时的取值范围为____________．
33．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
参考答案
1．x＝5和x＝1
【分析】
①当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，②当x-3＜0时，原方程可化为-（x-3）=2，求出方程的解即可．
【详解】
解：①当x－3≥0时，原方程可化为一元一次方程x－3＝2，
它的解是x＝5,
②当x－3＜0时，原方程可化为一元一次方程-(x－3)＝2,
它的解是x＝1,
∴原方程的解为x＝5和x＝1.
【点拨】考查对含绝对值符号的一元一次方程，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能去掉绝对值符号得出一元一次方程是解此题的关键．
2．（1）-x-2-x-3，-5，x+2，x+3，x+2+x+3，0；（2）当x＜－1时，无解；当-1≤x ＜2时，无解；当x≥2时，x=9.
【详解】
解：（1）①当x＜-3时，x+2＜0，x+3＜0，
所以|x+2|=-x-2，|x+3|=-x-3
所以原方程可化为：-x-2-x-3=5
解得：x=-5
②当-3≤x＜-2时，x+2＜0，x+3≥0，
所以|x+2|=-x-2，|x+3|=x+3
所以原方程可化为-x-2+x+3=5
1=5
所以此时原方程无解
③当x≥-2时，x+2≥0，x+3＞0，
所以|x+2|=x+2，|x+3|=x+3
所以原方程可化为x+2+x+3=5
解得 x=0
故答案为-x-2-x-3，-5，x+2，x+3，x+2+x+3，0
（2）令x+1=0，x-2=0时，
∴x=-1或x=2．
当x＜-1时，
∴x+1＜0，x-2＜0，
∴|x+1|=-x-1，|x-2|=-x+2，
∴-x-1-（-x+2）=x-6
∴x=3（不符合题意，所以无解）
当-1≤x＜2时，
∴|x+1|=x+1，|x-2|=-x+2，
∴x+1+x-2=x-6
∴x=-5（不符合题意，所以无解）
当x≥2时，
∴|x+1|=x+1，|x-2|=x-2，
∴x+1-x+2=x-6
∴x=9．
综上所述，x的解为：x=9．
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题中分类思想的运用，去绝对值的方法．
3．（1）2014 （2分）
（2）5 （2分）
（3）三种情况 x ＜-4 无解 （ 2分）
-4 ≤ x≤1 x= -（2分）
x＞ 1 无解 （2分）
【详解】
试题分析：（1）根据非负数的和为0，各项都为0，可求出a，b的值；（2）把a，b的值代入计算即可；（3）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；
试题解析：
（1）因为|a+4|+（b-1）2=0，所以a=-4，b=1，所以=2014；
（2）把a=-4，b=1代入|AB|，得|AB|=|a-b|=5；
（3）当P在点A左侧,即x＜-4时，|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-5≠2，无解．
当P在点B右侧，即x＞ 1时，|PA|-|PB|=|AB|=5≠2．所以上述两种情况的点P不存在，无解．
当P在A、B之间，即-4 ≤ x≤1时，|PA|=|x-（-4）|=x+4，|PB|=|x-1|=1-x，
因为|PA|-|PB|=2，所以x+4-（1-x）=2．所以x= -，即x的值为-.
考点：1.非负数的性质；2.绝对值；3.解一元一次方程.
4．（1）分别令和，分别求出x的值即可；（2）分、和三种情况分别化简即可；（3）根据（2）的结果，解方程即可．
【详解】
试题分析：
试题解析：解：（1）分别令和，分别求得和．
所以和的零点值分别为和．
（2）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，原式
（3）当时，，解得；
当时，，解得．
所以原方程的解为或．
考点：新概念、整式的加减、一元一次方程．
5．（1）x=1和x=3；（2）x=5和x=－3．
【解析】
试题分析：（1）分别根据x－2≥0和x－2＜0两种情况将绝对值去掉，转化成一元一次方程，从而分别求出方程的解；（2）分别根据x－1≥0和x－1＜0两种情况将绝对值去掉，转化成一元一次方程，从而分别求出方程的解．
试题解析：（1）①当x－2≥0时，原方程可化为一元一次方程x－2=1
解得：x=3
②当x－2＜0时，原方程可化为一元一次方2－x=1
解得：x=1
综上所述，原方程的解为：x=1和x=3
（2）①当x－1≥0时，原方程可化为3（x－1）－2=10
解得：x=5
②当x－1＜0时，原方程可化为3（1－x）－2=10
解得：x=－3
综上所述，原方程的解为：x=5和x=－3
考点：（1）解一元一次方程；（2）分类讨论思想
6．（1）1997；（2）y=±4．
【解析】
试题分析：先由一元一次方程的定义可以确定的值,然后将的值代入原方程，解出一元一次方程的解，将代入和求解即可.
试题解析：由题意，得且
解得：且
所以
故原方程为
解得
将代入中，
得原式
将代入中，得解得
7．① 2、6；②|x+3| 1或-7
【详解】
试题分析：①仿照已知的解法求出所求距离即可；
②仿照已知的解法列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
试题解析：①数轴上表示－3和－5的两点之间的距离是|-3-（-5）|=2，数轴上表示3和－3的两点之间的距离是|3-（-3）|=6．
②数轴上表示x和-3的两点A和B之间的距离是|x-（-3）|=|x+3|，如果|AB|=4，那么x为1或-7．
点睛：本题考查实数与数轴，绝对值，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为方程解决，学会用绝对值的几何意义解决实际问题.
8．（1）①数m的点 数3的点 ②m=4或m=2
（2）最小 3（3）b=-3;2.
【详解】
分析：（1）①根据两点之间的距离可作答；②根据绝对值的意义可求解；（2）求|x+1|+|x-2|的最值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤2时|x+1|+|x-2|有最小值．（3）由于a、b的符号不能确定，分情况讨论即可算出.
本题解析：
（1）①数m的点 数3的点
②m=4或m=2
（2）最小 3
（3）若a＞0＞b则2a=6得a=3．此时b=-3.
若b＞0＞a则2b=6得b=3．此时
9．7或-1.
【详解】
试题分析：根据绝对值的定义，将方程|x-3|=4分为①x-3≥0，②x-3＜0两种情况转化方程求解．
试题解析：
①当x≥3时，原方程可化为2（x-3）＋5＝13，它的解是x＝7；
②当x＜3时，原方程可化为2（3-x）＋5＝13，它的解是x＝-1．
【点睛】理解例题及运用分类讨论的思想解一元一次方程是解题关键．
10．m=或m=-2.
【详解】
试题分析: 解此题分两步：（1）求出的解；（2）把求出的解代入方程mx+2=2（m-x），把未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可．
试题解析:
解：因为，所以x=-或
当x=-时，原方程为-m+2=2(m+),解得m=
当x=时，原方程为m+2=2(m+),解得m=10
答：m=或m=10
点睛：此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．或
【详解】
试题分析：分为两种情况，当2x﹣1≥0或2x﹣1＜0，先去掉绝对值符号，求出即可．
试题解析：解：当2x﹣1≥0时，原方程可化为：2x﹣1=3，解得：x=2，当2x﹣1＜0时，原方程化为﹣（2x﹣1）=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x=2或x=﹣1．
点睛：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．
12．（1）方程无解；（2）①无解，b＜﹣1；②只有一个解，b=﹣1；③有两个解，b＞﹣1.
【分析】
（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值号，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）运用分类讨论进行解答．
【详解】
解：（1）|3x﹣2|+x=0； 当x≥0时，此方程不成立；
当x＜0时，原方程化为﹣3x+2+x=0，解得：x=1，不合题意，
所以此方程无解
（2）|x﹣2|=b+1 ①无解b+1＜0，b＜﹣1；②只有一个解b+1=0，b=﹣1；③有两个解b+1＞0，b＞﹣1.
【点拨】本题考核知识点：绝对值，解一元一次方程.解题关键点：理解绝对值的意义，列出方程.
13．①x＝15；②x1＝15，x2＝3.
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
①当x－12＞0时，方程化为 (x－12)＝6，解得x＝15；
②当x－12＜0时，方程化为－ (x－12)＝6，解得x＝3，
所以原方程的解为x1＝15，x2＝3.
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
14．（1）原方程的解是x＝6或x＝﹣；（2）原方程的解是x＝6或x＝-2；（3）原方程无解．
【解析】
【分析】
（1）分x≥1和x＜1解出方程；
（2）分x≥1，0＜x＜1，x＜0解出方程；
（3）结合（2）的方法和结论，找出答案．
【详解】
（1）2|x﹣1|﹣x＝4
①当x≥1时，原方程可化为：2x﹣2﹣x＝4，它的解是x＝6；
②当x＜1时，原方程可化为：2﹣2x﹣x＝4，解得x＝﹣；
所以原方程的解是x＝6或x＝﹣．
（2）2|x﹣1|﹣|x|＝4．
①当x≥1时，原方程可化为：2x﹣2﹣x＝4，它的解是x＝6；
②当0≤x＜1时，原方程可化为：2﹣2x﹣x＝4，解得x＝﹣，
经检验x不合题意，舍去．
③当x＜0时，原方程可化为：2﹣2x+x＝4，它的解是x＝-2．
所以原方程的解是x＝6或x＝-2．
（3）|x|﹣2|x﹣1|＝4
①当x≥1时，原方程可化为：x﹣2x+2＝4，它的解是x＝﹣2；
经检验x不合题意，舍去．
②当0≤x＜1时，原方程可化为：x﹣2+2x＝4，解得x＝2，
经检验x不合题意，舍去．
③当x＜0时，原方程可化为：﹣x﹣2+2x＝4，它的解是x＝6．
经检验x不合题意，舍去．
所以原方程无解．
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解此题的关键是去掉绝对值符号，题目比较典型，难度适中．
15．（1）-1；
（2）①45或5；②存在，B是（A，P）的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为 ；B是(P，A)的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为640.
【分析】
（1）由绝对值的非负性求出m、n的值，然后设所求数为x，根据“梦想点”的定义列出方程，解方程即可；
（2）①根据“梦想点”的定义可知分2种情况：P为（A,B）的梦想点；P为(B，A)的梦想点. 设点P表示的数为y，根据梦想点的定义列出方程，进而得出P点表示的数；
②假设存在满足条件的点，根据“梦想点”的定义可知分2种情况：B是(A，P)的梦想点；B是(P，A)的梦想点．设点P表示的数为y，根据梦想点的定义列出方程，进而得出P点表示的数，进而求出长方形的周长即可.
【详解】
解：（1）∵|m+7|+2|n-1|=0，
∴m=-7，n=1.
设所求数为x，由题意得
x−（-7）=3（1-x），
解得x=-1；
（2）①设点P表示的数为y，分两种情况：
P是（A，B）的梦想点，
由题意，得y-（-15）=3×（65-y），
解得y=45；
P是（B，A）的梦想点，
由题意，得65-y=3[y-（-15）]，
解得y=5；
故这个点P表示的数为45或5；
②B是（A，P）的梦想点，
由题意，得65−（-15）=3（y−65），
解得y=,
PA=65−（-15）=80，PB= −65= ，
此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长为：2×（80+）= ；
B是(P，A)的梦想点，
由题意得y−65=3[65−（-15）]
y=305，
PA=65−（-15）=80，PB=305−65=240，
此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长为:2×(80+240)=640.
所以，若点P运动到B后,继续沿数轴向右运动的过程中,存在点P、A、B中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况，B是（A，P）的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为 ；B是(P，A)的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为640.
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解“梦想点”的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．或
【解析】
【分析】
解法一：讨论x≥0与x＜0时，两种情况即可求出解；
解法二：方程变形后，利用绝对值的代数意义化简，即可求出解．
【详解】
解法一：当x⩾0时，原方程化为2x−3=5，解得：x=4；
当x<0时，原方程化为−2x−3=5，解得：x=-4；
解法二：方程变形为2|x|=8，即|x|=4，解得：x=±4.
则方程的解为4或−4.
【点拨】本题考查解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握计算法则是解题关键
17．
【分析】
求出第一个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可.
【详解】
解：解方程得，
把代入方程，得，
所以．
【点拨】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．
18．（1）2017；（2）.
【分析】
（1）根据“是关于的一元一次方程”，得到关于的一元一次方程，解之即可得到的值，代入原方程，解之即可得到的值，再将和的值代入整式中，计算求值即可；
（2）结合（1）的答案，把和的值代入方程，得到关于的方程，再根据绝对值的定义，解之即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：，，
解得：，
把代入原方程中，得：，
解得：，
把，代入整式得：
原式
；
（2）把，代入方程中，得：，
.
【点拨】本题考查了一元一次方程的定义和解法以及绝对值的性质，解题的关键：（1）正确掌握一元一次方程的解法和代数式求值；（2）正确掌握绝对值的定义．
19．
【分析】
根据一元一次方程的概念可以确定k的值，然后算出一元一次方程的解，一元一次方程的解和k的值代入，计算y的值即可.
【详解】
∵是一元一次方程
∴
解之得：k=-2
将k=-2代入得：
4x+8=0
解得x=-2
将x=-2，k=-2代入得：

整理得：
所以或
解得
【点拨】本题考查了利用一元一次方程的定义求参数的值，解一元一次方程，去绝对值，解决本题的关键是解y的值的时候注意考虑问题的全面性.
20．（1）7；（2）|x﹣2|；（3）﹣3、﹣2、﹣1、0、1．
【分析】
（1）根据距离公式即可解答；
（2）根据距离公式即可解答；
（3）利用绝对值和数轴求解即可．
【详解】
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是：5﹣（﹣2）＝7，
故答案为：7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，
故答案为：|x﹣2|；
（3）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，故：
①当x＜-3时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：-x-3-x+1=4，
解得，x=-3，
所以，此方程无解；
②当-3≤x＜1时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：x+3-x+1=4
所以，4=4，
此时，整数x=-3，-2，-1，0；
③当x≥1时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：x+3+x-1=4,
解得，x=1；
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1．
【点拨】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是会去绝对值符号，利用数轴的特点解答．
21．（1）x＝2或；（2）①b＜－1；②－1；③b＞－1．
【分析】
（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
【详解】
解：（1）当3x－2≥0时，原方程可化为3x－2＝4，
解得x＝2；
当3x－2＜0时，原方程可化为3x－2＝－4，
解得．
所以原方程的解是x＝2或．
（2）∵|x﹣2|≥0，
∴当b＋1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
当b＋1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
当b＋1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解
故答案为：①b＜－1；②－1；③b＞－1．
【点拨】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
22．（1）2，5，；（2）x=5或-1；（3）①或；②或7
【分析】
（1）根据数轴进行观察，即可得到两点之间的距离；
（2）根据数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，可得|x-2|=3，进而得到x的值；
（3）根据发现的规律，即可得到x的值．
【详解】
（1）根据数轴进行观察，可得点A与点B的距离是2；点C与点B的距离是5；
根据数轴与距离发现规律：两点之间距离等于较大的数减去较小的数，大小不确定时可添加绝对值；故点M与点N之间的距离可表示为
（2）∵数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，
∴ ，
∴或
（3）①表示的意思是x和2的两点之间的距离是5，而与2距离5个单位长度的是7或-3，
∴或.
②
故答案为：（1）2，5，；（2）x=5或-1；（3）①或；②或7.
【点拨】本题主要考查了两点间的距离，数轴以及绝对值的性质，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
23．（1）3；（2）4；（3）1或-3；（4）90．
【分析】
（1）直接根据数轴上两点之间的距离|AB|=||，代入数值即可求解；
（2）直接根据数轴上两点之间的距离|AB|=||，代入数值即可求解；
（3）求出AB两点间的距离表达式，然后令|AB|=2求得x的值即可；
（4）把原式看作是点x到各点的距离之和，即可得当x=10时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|有最小值，将x=10代入原式求出最小值即可．
【详解】
（1）由题意得，-2和-5的两点之间的距离为．
故答案为：3；
（2）1和-3的两点之间的距离是．
故答案为：4；
（3）由题意得：，
∴，
解得：或．
故答案为：1或-3；
（4）∵可以看成是点到各点的距离之和，
∴当的值为1和19的中点所表示的数时，有最小值，
∴当时，有最小值，
此时可得：
．
故最小值为90．
【点拨】本题主要考查了数轴和绝对值及两点间的距离，读懂题干，掌握数轴两点的距离公式、绝对值的性质是解题的关键．
24．
【分析】
先解出第一个方程，再代入求解即可；
【详解】
，
，
，
把代入得，
，
解得，
∴．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确分析计算是解题的关键．
25．（20；（2）4
【分析】
（1）根据公式代入计算即可；
（2）根据公式将a1、a2代入化简，再列得关于x的方程求解即可．
【详解】
（1），
故答案为：20；
（2）由题意得，
当x<1时，原式==2-x，∴2-x=0.5，解得x=1.5；
当时，原式==2-x，∴2-x=0.5，解得x=1.5；
当x>2时，原式==x-2，∴x-2=0.5，解得x=2.5；
∴所有满足条件的x的和为1.5+2.5=4，
故答案为：4．
【点拨】此题考查有理数的混合运算，列代数式，解一元一次方程，正确理解公式将对应的数代入计算是解题的关键．
26．（1）6；（2）①；②不一定，举例见解析；（3）或
【分析】
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）①根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；②当时，不一定有或者，举例即可；
（3）分类讨论的正负，利用新定义将已知等式化简，即可求出的值．
【详解】
解：（1）根据题中的新定义得：；
（2）①从，在数轴上的位置可得，，
；
②由得：，
不一定有或者，
例如：取，，，则，
此时等式成立，但且；
（3）当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．（1）7；（2）或4；（3）
【分析】
（1）根据题目给出的方法，算出即可；
（2）可以理解为数轴上点表示的数到表示1的点的距离是3，即可得到的值；
（3）可以理解为数轴上点表示的数到表示2的点和到表示的点的距离和，即可求出结果．
【详解】
解：（1），
故答案是：7；
（2）可以理解为数轴上点表示的数到表示1的点的距离是3，
则x的值是或4，
故答案是：或4；
（3）可以理解为数轴上点表示的数到表示2的点和到表示的点的距离和，
∵，
∴距离和就是到2的距离，
∴．
【点拨】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解数轴上两点之间距离的公式．
28．（1）3；5；（2）1或-5；（3）6
【分析】
（1）根据数轴上两点间的距离公式直接求解；
（2）根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求解即可；
（3）表示在-4与2之间的数到-4和2的距离的和，根据数轴上两点间的距离公式即可求解．
【详解】
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是，
表示-3和2两点之间的距离是，
故答案为：3；5；
（2）根据题意可得，
即，
解得或；
（3）表示在-4与2之间的数到-4和2的距离的和，值为6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查数轴与绝对值，理解题意是解题的关键．
29．（1）12；（2）
【分析】
（1）根据定义列式计算，注意运算顺序，先算绝对值内的运算，然后求绝对值，最后算加法；
（2）根据定义列方程，然后根据数轴上点的位置化简绝对值，从而求解．
【详解】
解：（1）；
（2）∵
∴
，
由图可知a＜-1＜0＜b
∴a+1＜0，a-2＜0
∴，
解得：
【点拨】本题考查有理数的混合运算及绝对值的化简，解一元一次方程，正确理解题目中的计算规则，掌握相关概念正确化简计算是解题关键．
30．或．
【分析】
①当时得到方程，②当时得到方程，求出两个方程的解即可．
【详解】
∵，
①当，即时，，
解得：；
②当，即时，，
解得：；
∴原方程的解是或．
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解此题的关键是去掉绝对值符号，题目比较典型，难度适中．
31．（1），；（2）6或；（3）8；-1；
【分析】
（1）由非负性可求得x，y的值；
（2）分或或三种情况讨论，利用两点之间的距离公式列方程即可求解；
（3）由中点可求D点表示的数是-1，根据题意分类讨论，当时，有最小值，当时，有最小值，利用绝对值的性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∴，；
（2）设M点的数为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
解得：；
当时，；
当时，，
解得：；
∴M点的数为或；
（3）∵点D是AB的中点，
∴点D表示的数为，
由数轴知：
当点在线段AB上时，，
有最小值，
∴的最小值为；
当点在点D左侧时，，
有最小值，
∴的最小值为；
∴的最小值为，
此时点对应的数的取值范围是：．
故答案为：；；．
【点拨】本题考查了数轴与绝对值，解一元一次方程；熟练掌握数轴上点的特点，结合绝对值的性质，解绝对值方程是解题的关键．
32．（1）3，﹣4；（2）当时，；当时，；当时，；（3）或；（4）2025，
【分析】
（1）令和，求出x的值即可得出的零点值；
（2）由题意可得：零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和，分三种情况求出的值即可；
（3）在（2）的情况下，分别建立方程求解即可；
（4）首先根据题意求解出原式中对应的零点值，再根据材料过程进行不同范围分类讨论，最后即可得出结果．
【详解】
解：（1）令和，解得：和，
故答案为：3，﹣4．
（2）当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，．
（3）当时，，解得；
当时，，方程无解；
当时，，解得；
∴方程的解为或．
（4）中的零点值分别为：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025，
故答案为：2025，．
【点拨】本题考查化简绝对值，仔细阅读材料，明确绝对值的代数意义是解题关键．
33．（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解
【分析】
（1）分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
（2）分类讨论：x＜-3，-3≤x≤1，x＞1，分别求解方程，再根据x的范围算出a的取值，从而分类讨论得出解的情况．
【详解】
解：（1）当x＜1时，方程可化为：，
解得x=-1，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：，
解得x=，符合题意．
所以，原方程的解为：x=-1或x=；
（2）当x＜-3时，方程可化为：
，
解得：，
则，解得：，
当-3≤x≤1时，方程可化为： ，
当x＞1时，方程可化为：，
解得：，
则，解得：，
综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏.