专题3.18 一元一次方程的有解、无解、无穷多个解的问题（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题3.18 一元一次方程的有解、无解、无穷多个解的问题（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．当a＝0时，方程ax+b＝0（其中x是未知数，b是已知数）的解的情况是（ ）
A．唯一解B．无解C．有无数多个解D．无解或有无数多个解
2．下列结论：
①若是关于x的方程的一个解，则；
②若有唯一解，则；
③若，则关于x的方程的解为；
④若，则一定是关于x的方程的解．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②④C．②③D．①③④
3．关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（ ）
A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1
4．关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+=-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．B．1
C．2D．以上答案都不对
5．阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
二、填空题
6．已知关于的方程有无数个解，那么_________．
7．若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么_______．
8．若关于x的方程有无数解，则3m+n的值为____；
9．当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
10．若关于x的方程有唯一解，则应满足的条件是_________________．
三、解答题
11．一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数）的方程，称为一元一次方程的最简形式．
关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：
当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x；
当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；
当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．
讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．
12．对于两个实数a、b，我们规定一种新运算“*”：a*b=2a（b -1）
（1）解方程：3*x-2*4=0
（2）当a、b满足什么条件时，关于x的方程
①无解；
②有唯一解；
③有无数个解．
13．（1）当取何值时，关于的方程和的解相同．
（2）已知关于的方程无解，求的值．
14．已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．
解关于x的方程：
已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
关于的方程，通过代值检验发现当时，方程的解为；当时，方程的解为；当时，方程无解．试讨论与方程的解有什么关系？
18．已知：关于x的方程: (其中a、b、k为常数)
（1）如果该方程无解，则k的值一定为多少？
（2）如果该方程有解，且不论K为何值时，它的解总是1，试求a, b的值。
19．已知kx﹣m=（2k﹣1）x+4是关于x的一元一次方程，当k，m为何值时：
（1）方程只有一个解；
（2）方程无解；
（3）方程有无数个解．
20．已知关于x的方程3x﹣5+a=bx+1，问当a、b取何值时．
（1）方程有唯一解；（2）方程有无数解；（3）方程无解．
21．关于的方程，分别求为何值时，原方程：
（1）有唯一解
（2）有无数多解
（3）无解
若关于x的方程|2x－2013|+m=0无解，|3x－2014|+n=0只有一个解，|4x－2015|+k=0有两个解．请用“<”将m、n、k由小到大排列．
23．求关于x的方程2x﹣5+a=bx+1，
（1）有唯一解的条件；
（2）有无数解的条件；
（3）无解的条件．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义即可判断求解.
解：当a=0时，b≠0时，方程为b=0，与b≠0矛盾，故无解；
当a=0时，b=0时，方程为b=0，当x取任意值皆可，故有无数解，
故选D.
【点拨】此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟知方程解得含义.
2．B
【分析】根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
解：①当x=1时，代入方程a+bx+c=0即可得到a+b+c=0，成立，故命题正确；
②，去括号得：ax-a=bx-b，即(a-b)x=a-b，因方程有唯一解，所以，故命题正确；
③方程ax+b=0，移项得：ax=-b，则x=-，∵b=2a，∴=2，则x=-2，故命题错误；
④把x=-1代入方程ax+b+c=1，得到-a+b+c=1，则x=-1一定是方程ax+b+c=1的解，故命题正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．C
【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．
解：根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．
解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，
得a+1≠0，
解得a≠﹣1．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零．
4．B
【解析】
【分析】首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程有无数解，对一次项系数进行讨论求得m、n的值，再相加即可求解．
解：

∵关于x的方程有无数解，
∴m+1=0，n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴m+n=-1+2=1．
故选B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，正确对方程进行化简是关键．
5．A
解：要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得，x=，因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．
故选A．
点拨：此类方程要用字母表示未知数后，清楚什么时候是无解，然后再求字母的取值．
6．．
【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得的值．
解：化简得：，
即：，
根据题意得：
解得：
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
7．1.5
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．高于一次的项系数是0，据此可得出且，再用表示，代入原方程，即可得出的值．
解：方程是关于的一元一次方程，且有唯一解，
则且，
因为，，
把代入，得
，
所以，，
解得．
故答案为：1.5．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
8．0
【分析】根据方程有无数解，求出m、n的值，代入3m+n计算即可．
解：，
移项得：mx+x=-1，
合并同类项得：(m+1)x=-1，
∵该方程有无数解，
∴m+1=0，-1=0，
解得
m=-1，n=3，
∴3m+n =-3+3=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如ax=b）的解的情况：①当a≠0时，方程有唯一解x=，②当a=0，b≠0时，方程无解，③当a=0，b=0时，方程有无数个解．
9．2
【分析】由一元一次方程无解的条件确定出a的值，先移项、合并同类项，最后再依据未知数的系数为0求解即可．
解：移项得：mx﹣2x＝﹣m，
合并同类项得：（m﹣2）x＝﹣m．
∵关于 x的方程mx+m＝2x无解，
∴m﹣2＝0．
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．
【分析】根据隐含条件，，，先去分母、去括号、移项，再合并，保证未知数的系数不等于0即可．
解：，，
两边同乘以得，
整理后，得
因方程有唯一解，
故，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，一元一次方程有唯一解的条件是：未知数的系数不等于0．
11．当a≠4 时，有唯一解x，当a＝4 时，无解．
【分析】分a-4＝0即a＝4和a-4≠0即a≠4两种情况分别求解可得．
解：根据题意，当a-4≠0时，即a≠4，有唯一解x，
当a-4＝0时，即a＝4，此时无解．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
12．（1）x=3；（2）①，；②；③，
【分析】（1）方程利用新运算法则整理后，求出解即可；
（2）已知方程利用新运算整理后，根据方程无解，有唯一解，有无数个解确定出a与b的关系式即可．
解：（1）方程整理得：，
去括号得：，
解得：；
（2）已知方程整理得：，
整理得：，
①当方程无解时，，且，即，，
②当方程有唯一解时，，即，
③当方程有无数个解时，，．
【点拨】本题考查了实数的运算，以及一元一次方程的解，弄清题中的新运算是解本题的关键．
13．（1）k=；（2）a=3
【分析】（1）根据解方程，可得方程的解，根据方程的解相同，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
（2）方程整理后，由方程无解求出a的值即可．
解：（1）解，得：x=1，
把x=1代入，得：
，
解得：k=；
（2）方程a（2x-1）=6x-4，
整理得：（2a-6）x=a-4，
由方程无解，得到2a-6=0，即a=3．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于k的方程是解题关键．
14．（1） ；（2）．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值；
（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值．
解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，
解得：m＝3，
当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，
解得：x＝﹣n，
，
2（2x+1）﹣10＝5（x+n），
4x+2﹣10＝5x+5n，
4x﹣5x＝5n+8，
﹣x＝5n+8，
解得：x＝﹣5n﹣8，
∴﹣5n﹣8＝﹣n，
∴n＝﹣2；
（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，
∴y＝，
∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，
∴，
∴a＝﹣4．
【点拨】本题考查一元一次方程、同解方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
15．当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．
【分析】先把原方程化为最简形式，再考虑有解、无解、无穷多解的模式进行分类讨论即可得答案．
解：，
移项、整理得：，
当，即时，方程有唯一解为：；
当，即时，方程无解．
【点拨】本题主要考查了含字母系数的一元一次方程的解法，解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．
16．z=0
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
解：关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=，
∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=，
∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，
∴b=0，
关于z的方程az=b可以简化为：z=，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．
17．当时，有唯一解，当时，方程无解．
【解析】
【分析】我们知道方程ax=b的解有三种情况：1、当a≠0时，有唯一解；2、当a=0，且b≠0时，无解；3、当a=0且b=0时，有无数个解；然后化简方程得到ax=b形式即可分析．
解：化简方程，得，
当时，有唯一解，
当时，方程无解．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是明确ax=b有解，无解及有无数个解的条件．
18．（1）k=；(2)b=-4,a=6.5
【解析】
试题分析：（1）将方程整理后由方程无解可求出k的值.
（2）根据方程的解的定义，把x=1代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值
试题解析：（1）把方程整理后，得：
(4k-1)x=12-4a-bk
∵方程无解
∴4k-1=0
解得：k=；
（2）把x=1代入方程得，
化简，得（4+b）k=13-2a，
由于k可以取任意值，则，
解得：.
19．（1）k≠1时方程只有一个解；（2）k=1，m≠﹣4时方程无解；k=1，m=﹣4时方程有无数个解．
【分析】先化简kx﹣m=（2k﹣1）x+4得(k-1)x=-m-4,再讨论方程解的情况.
解：化简kx﹣m=（2k﹣1）x+4得（k﹣1）x=﹣m﹣4，
（1）当k≠1时方程只有一个解，即x=．
（2）当k=1，m≠﹣4时方程无解．
（3）当k=1，m=﹣4时方程有无数个解．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解及一元一次方程的定义,解题的关键是讨论一元一次方程解的情况,
20．（1）b≠3，方程有唯一解，b≠3；（2）a=6，b=3，方程有无数解；（3），a≠6，b=3，方程无解．
【解析】
【分析】（1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可；
（2）根据方程有无数解确定出条件即可；
（3）根据方程无解确定出条件即可．
解：方程整理得：（b﹣3）x=a﹣6，
（1）由方程有唯一解，得到b﹣3≠0，即b≠3；
（2）由方程有无数解，得到b﹣3=0，a﹣6=0，即a=6，b=3；
（3）由方程无解，得到b﹣3=0，a﹣6≠0，即a≠6，b=3．
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，ax+b=0是一元一次方程的通式，若a≠0,b≠0，此时有唯一解x=-b/a（包含a≠0,b=0,此时x=0），若a=0,b=0,此时有无数解，若a=0,b≠0,此时无解．
21．（1）m≠3时方程有唯一解；
（2）当m=3,n=-4时方程有无数多解；
（3）当m=3, n≠-4时方程无解．
【解析】
【分析】方程ax=b的解有三种情况：当a=0,b≠0方程无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解.根据以上三条可解本题.
解： ，
（3-m）x=n+4，
（1）当3-m≠0时，即m≠3时方程有唯一解；
（2）当3-m=0且n+4=0时，即m=3,n=-4时方程有无数多解；
（3）当3-m=0且n+4≠0时，即m=3, n≠-4时方程无解．
【点拨】本题考查了一元一次方程三种解的情况，熟知当a=0,b≠0方程ax=b无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解是解此题的关键．
22．k【解析】
试题分析：根据绝对值的意义，由方程的解的情况判断出m、n、k的取值范围，然后比较即可.
试题解析：因为方程|2x－2013|+m=0无解，
所以-m＜0，
即m＞0.
因为|3x－2014|+n=0有一个解，
所以n=0.
因为|4x－2015|+k=0有两个解，
所以-k＞0，
即k＜0.
所以k＜n＜m.
23．答案见解析.
解：试题分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论．
试题解析：解：将原方程移项得2x﹣bx=1﹣a+5
合并同类项得：（2﹣b）x=﹣a+6．
（1）当2﹣b≠0，即b≠2时，方程有唯一解：x=；
（2）当2﹣b=0且﹣a+6=0时，即b=2且a=6时，方程有无数个解；
（3）当2﹣b=0且﹣a+6≠0时，即b=2且a≠6时，方程无解．
点拨：本题主要考查了解一元一次方程，需要注意的是该题采用逆向思维，解答时需要认真思考所给条件．