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2021-2022学年浙江省金衢六校联盟高二（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省金衢六校联盟高二（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省金衢六校联盟高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）复数z＝1﹣2i，则z所对应的点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线
C．f（x）的一个零点为
D．f（x）在区间的最小值为1
4．（5分）化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1
6．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
7．（5分）函数f（x）的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知F是双曲线的左焦点，圆O：x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限的交点为P，若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R， B．∃x＞0，lnx＝x
C．∀x∈R，x2+x≥﹣1 D．∃x＞0，x2＝2x
（多选）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
（多选）11．（5分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（ ）
A．△PF1F2的周长为8
B．△PF1F2的最大面积为
C．存在点P使得
D．|PM|+|PF1|的最大值为5
（多选）12．（5分）已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程是x＝﹣2，则p＝ ．
14．（5分）已知A（﹣3，0），B（1，0），则以AB为直径的圆的方程为 ．
15．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣3））＝ ．
16．（5分）已知点P在圆x2+y2＝2上，已知A（4，0），B（﹣4，0），则的值为 ．
五、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17．（10分）设函数．
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的最大值；
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，a＝4，且b+c＝5，求△ABC的面积．
18．（12分）某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分．现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．
（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；
（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦长最短，并求这条最短弦的长．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．
（1）求证：AB∥平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．
（1）若f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求a，b的值；
（2）若f（2）＝5，a，b均正实数，求的最小值；
（3）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值．
22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，﹣2）为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且PF1∥QF2，求四边形F1PQF2面积的最大值．
2021-2022学年浙江省金衢六校联盟高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）复数z＝1﹣2i，则z所对应的点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：复数z＝1﹣2i对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，
故选：D．
2．（5分）“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当b＞0，由1得a＞b＞0，
当b＜0时，a＜b＜0，
∴“a＞b＞0”是“1”的充分不必要条件．
故选：B．
3．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线
C．f（x）的一个零点为
D．f（x）在区间的最小值为1
【解答】解：函数的最小正周期为π，故A错误；
又f（）＝2cos（2）＝﹣1，既不是最大值，也不是最小值，故B错误；
∵f（）＝2cos（2）＝2cos0＝2，∴x不是f（x）的一个零点，故C错误；
∵x∈，∴2x∈[0，]，∴2cos（2x）∈[1，2]，f（x）在区间的最小值为1，故D正确．
故选：D．
4．（5分）化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BC1，设立方体的棱长为2，则BC1＝2，C1F＝1，
在Rt△BC1F中可得BF＝3，
易证B1E∥C1F，所以∠BFC1是连线BF与B1E所成的角，
在Rt△BC1F中可得cos∠BFC1．
故选：C．
5．（5分）直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1
【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a＝0得，
此直线在x轴和y轴上的截距分别为 和2+a，
由 2+a，
得a＝1 或 a＝﹣2，
故选：D．
6．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，
可得△ABC的周长为4a，
故选：C．
7．（5分）函数f（x）的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数f（x）是奇函数，排除A，C，
当x→+∞时，f（x）＞0，排除D，
故选：B．
8．（5分）已知F是双曲线的左焦点，圆O：x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限的交点为P，若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，PF的中点为M在渐近线yx上，
由x2+y2＝a2+b2＝c2，知∠FPF'＝90°，
因为O为FF'的中点，所以OM∥PF'，所以OM⊥PF，即OM垂直平分线段PF，
所以焦点F（﹣c，0）到渐近线yx的距离为|FM|b，
所以|PF|＝2b，|PF'|2a，
由双曲线的定义知，|PF|﹣|PF'|＝2a，即2b﹣2a＝2a，
所以b＝2a，
所以离心率e．
故选：A．
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R， B．∃x＞0，lnx＝x
C．∀x∈R，x2+x≥﹣1 D．∃x＞0，x2＝2x
【解答】解：对于A：当x＞0时，满足，当且仅当x＝1时，等号成立，
当x＜0时，满足x（﹣x）≤﹣22，
当且仅当x＝﹣1时，等号成立，故A错误；
对于B：由于函数y＝x和函数y＝lnx的图象，
如图所示：
不存在实数，使lnx＝x．故B错误；
对于C：由于x2+x≥﹣1，整理得，故C正确；
对于D：当x＝2或4时，x2＝2x成立，故D正确；
故选：CD．
（多选）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），
对于A，（0，0，﹣2），（﹣2，2，1），
∵2≠0，∴直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；
对于B，（0，2，﹣1），（﹣1，2，0），（﹣2，2，1），
设平面AEF的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（2，1，2），
∵0，A1G⊄平面AEF，
∴直线A1G与平面AEF平行，故B正确；
对于C，连接AD1，FD1，∵E，F分别是BC，CC1的中点，
∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，
AD12，EF，AE，
梯形AEFD1的高为h．
∴面AEF截正方体所得的截面面积为：
S•，故C正确；
对于D，由B知平面AEF的法向量（2，1，2），
∴点A1到平面AEF的距离h，
点D到平面AEF的距离d，
∴点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（ ）
A．△PF1F2的周长为8
B．△PF1F2的最大面积为
C．存在点P使得
D．|PM|+|PF1|的最大值为5
【解答】解：根据题意可得a＝3，b＝2，c2＝a2﹣b2＝1，
对于A：△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝8，故A正确，
对于B：△PF1F2的最大面积为|F1F2|×b＝bc＝2，故B正确，
对于C：若要存在点P使得0，⊥，
即点P在以F1F2为直径的圆上，且|F1F2|＝2，
所以点P为以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长2r1，
所以不存在点P，故C错误，
对于D：|PM|+|PF1|＝|PM|+2a﹣|PF2|＝6+|PM|﹣|PF2|≤6+|MF2|＝6+1＝7，
所以|PM|+|PF1|最大值为7，故D错误，
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
【解答】解：由函数f（x），作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝﹣2，﹣2＜x1＜﹣1；
当y＝1时，|log2x|＝1，有 ；
所以；
由f（x3）＝f（x4）有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3+log2x4＝0；
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）∈（0，1）；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程是x＝﹣2，则p＝ 4 ．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px的准线方程是x＝﹣2，
所以2，
所以p＝4．
故答案为：4．
14．（5分）已知A（﹣3，0），B（1，0），则以AB为直径的圆的方程为 （x+1）2+y2＝4 ．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴线段AB的中点C（﹣1，0 ），则以AB为直径的圆的半径为AC＝2，
故以AB为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝4，
故答案为：（x+1）2+y2＝4．
15．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣3））＝ 2 ．
【解答】解：由分段函数知，
f（﹣3）＝|﹣3﹣1|＝4，
f（f（﹣3））＝f（4）2，
故答案为：2．
16．（5分）已知点P在圆x2+y2＝2上，已知A（4，0），B（﹣4，0），则的值为 ﹣14 ．
【解答】解：因为P在圆x2+y2＝2上，
所以设P（cosθ，sinθ），
所以（4cosθ，sinθ），（﹣4cosθ，sinθ），
所以（4cosθ）（﹣4cosθ）sinθ（sinθ）＝﹣16+2cos2α+2sin2α＝﹣14．
故答案为：﹣14．
五、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17．（10分）设函数．
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的最大值；
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，a＝4，且b+c＝5，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）根据周期公式得，T＝π，f（x）max＝1；
（2）∵sin（2A），且A为锐角，
∴．
由余弦定理得，，即a2＝（b+c）2﹣3bc，
又a＝4，b+c＝5，解得：bc＝3，
∴．
18．（12分）某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分．现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图得众数为：75，
平均数为：45×0.010×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.030×10+85×0.025×10+95×0.005×10＝71，
[40，70）的频率为（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，
[70，80）的频率为0.030×10＝0.3，
∴中位数为：7073.3．
（2）由频率分布直方图得出在区间[40，50）和[90，100]内的成绩样本数据分别有4个和2个，
从6个样本选2个共有为n（Ω）15个结果，
记事件A＝“调查对象来自不同分组”的结果，
n（A）8，
所以调查对象来自不同分组的概率．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．
（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；
（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦长最短，并求这条最短弦的长．
【解答】解：（1）直线方程可化为y﹣3＝k（x﹣4），则直线过定点P（4，3），
又圆C标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，圆心为C（3，4），半径为r＝2，
而，所以点P在圆内，
所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点．
（2）由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短．
，所以k＝1时弦长最短．
弦长为．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．
（1）求证：AB∥平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由题意BC＝OA，又BC∥OA，
所以BCOA是平行四边形，所以AB∥OC，
又AB⊄平面POC，OC⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（5分）
（2）BC＝OD，BC∥OD，所以BCDO是平行四边形，
所以OB∥DC，OB＝CD，而CD⊥AD，
所以OB⊥AD，以OB，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设平面ABP的一个法向量为，
则，
取x＝1，则y＝﹣1，z＝1，即，，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值，，
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．
（1）若f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求a，b的值；
（2）若f（2）＝5，a，b均正实数，求的最小值；
（3）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值．
【解答】解：（1）由已知可知方程x2+ax+b＝0的两个根为﹣1，2，
由韦达定理得﹣1+2＝﹣a，（﹣1）⋅2＝b，故a＝﹣1，b＝﹣2；
（2）由题意得2a+b＝1，55+29，
当且仅当时取等号，即的最小值为9；
（3）若a＝2，f（x）＝x2+2x+b，
不等式f（x）⋅（x﹣2）≥0恒成立．
①当x＞2时，x﹣2＞0，此时f（x）＝x2+2x+b≥0，
即b≥﹣x2﹣2x对于x＞2恒成立，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1在[2，+∞）单调递减，
当x＝2时，y＝﹣x2﹣2x的最大值为﹣8，
所以b≥﹣8；
②当0＜x＜2时，x﹣2＜0，此时f（x）≤0，即f（x）＝x2+2x+b≤0；
即b≤﹣x2﹣2x对于0＜x＜2恒成立，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1在（0，2）单调递减，此时y＝﹣x2﹣2x＞﹣22﹣2×2＝﹣8，
所以b≤﹣8，
综上所述，b＝﹣8．
22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，﹣2）为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且PF1∥QF2，求四边形F1PQF2面积的最大值．
【解答】解：（1）由题知：A（﹣a，0），B（a，0），
∵，∴a2＝6，
又b2＝4，∴椭圆．
（2）延长QF2交椭圆于N点，连接F1N，F1Q，如下图所示：
∵，
∴设直线，Q（x1，y1），N（x2，y2）．
由，得，∴，，
∴．
∵，∴，
根据对称性得：|PF1|＝|NF2|，且PF1∥NF2，∴，
∴，
∴四边形F1PQF2面积的最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 9:57:07；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
2021-2022学年浙江省金衢六校联盟高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）复数z＝1﹣2i，则z所对应的点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线
C．f（x）的一个零点为
D．f（x）在区间的最小值为1
4．（5分）化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1
6．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
7．（5分）函数f（x）的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知F是双曲线的左焦点，圆O：x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限的交点为P，若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R， B．∃x＞0，lnx＝x
C．∀x∈R，x2+x≥﹣1 D．∃x＞0，x2＝2x
（多选）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
（多选）11．（5分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（ ）
A．△PF1F2的周长为8
B．△PF1F2的最大面积为
C．存在点P使得
D．|PM|+|PF1|的最大值为5
（多选）12．（5分）已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程是x＝﹣2，则p＝ ．
14．（5分）已知A（﹣3，0），B（1，0），则以AB为直径的圆的方程为 ．
15．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣3））＝ ．
16．（5分）已知点P在圆x2+y2＝2上，已知A（4，0），B（﹣4，0），则的值为 ．
五、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17．（10分）设函数．
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的最大值；
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，a＝4，且b+c＝5，求△ABC的面积．
18．（12分）某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分．现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．
（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；
（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦长最短，并求这条最短弦的长．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．
（1）求证：AB∥平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．
（1）若f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求a，b的值；
（2）若f（2）＝5，a，b均正实数，求的最小值；
（3）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值．
22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，﹣2）为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且PF1∥QF2，求四边形F1PQF2面积的最大值．
2021-2022学年浙江省金衢六校联盟高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）复数z＝1﹣2i，则z所对应的点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：复数z＝1﹣2i对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，
故选：D．
2．（5分）“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当b＞0，由1得a＞b＞0，
当b＜0时，a＜b＜0，
∴“a＞b＞0”是“1”的充分不必要条件．
故选：B．
3．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线
C．f（x）的一个零点为
D．f（x）在区间的最小值为1
【解答】解：函数的最小正周期为π，故A错误；
又f（）＝2cos（2）＝﹣1，既不是最大值，也不是最小值，故B错误；
∵f（）＝2cos（2）＝2cos0＝2，∴x不是f（x）的一个零点，故C错误；
∵x∈，∴2x∈[0，]，∴2cos（2x）∈[1，2]，f（x）在区间的最小值为1，故D正确．
故选：D．
4．（5分）化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BC1，设立方体的棱长为2，则BC1＝2，C1F＝1，
在Rt△BC1F中可得BF＝3，
易证B1E∥C1F，所以∠BFC1是连线BF与B1E所成的角，
在Rt△BC1F中可得cos∠BFC1．
故选：C．
5．（5分）直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1
【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a＝0得，
此直线在x轴和y轴上的截距分别为 和2+a，
由 2+a，
得a＝1 或 a＝﹣2，
故选：D．
6．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，
可得△ABC的周长为4a，
故选：C．
7．（5分）函数f（x）的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数f（x）是奇函数，排除A，C，
当x→+∞时，f（x）＞0，排除D，
故选：B．
8．（5分）已知F是双曲线的左焦点，圆O：x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限的交点为P，若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，PF的中点为M在渐近线yx上，
由x2+y2＝a2+b2＝c2，知∠FPF'＝90°，
因为O为FF'的中点，所以OM∥PF'，所以OM⊥PF，即OM垂直平分线段PF，
所以焦点F（﹣c，0）到渐近线yx的距离为|FM|b，
所以|PF|＝2b，|PF'|2a，
由双曲线的定义知，|PF|﹣|PF'|＝2a，即2b﹣2a＝2a，
所以b＝2a，
所以离心率e．
故选：A．
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R， B．∃x＞0，lnx＝x
C．∀x∈R，x2+x≥﹣1 D．∃x＞0，x2＝2x
【解答】解：对于A：当x＞0时，满足，当且仅当x＝1时，等号成立，
当x＜0时，满足x（﹣x）≤﹣22，
当且仅当x＝﹣1时，等号成立，故A错误；
对于B：由于函数y＝x和函数y＝lnx的图象，
如图所示：
不存在实数，使lnx＝x．故B错误；
对于C：由于x2+x≥﹣1，整理得，故C正确；
对于D：当x＝2或4时，x2＝2x成立，故D正确；
故选：CD．
（多选）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），
对于A，（0，0，﹣2），（﹣2，2，1），
∵2≠0，∴直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；
对于B，（0，2，﹣1），（﹣1，2，0），（﹣2，2，1），
设平面AEF的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（2，1，2），
∵0，A1G⊄平面AEF，
∴直线A1G与平面AEF平行，故B正确；
对于C，连接AD1，FD1，∵E，F分别是BC，CC1的中点，
∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，
AD12，EF，AE，
梯形AEFD1的高为h．
∴面AEF截正方体所得的截面面积为：
S•，故C正确；
对于D，由B知平面AEF的法向量（2，1，2），
∴点A1到平面AEF的距离h，
点D到平面AEF的距离d，
∴点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（ ）
A．△PF1F2的周长为8
B．△PF1F2的最大面积为
C．存在点P使得
D．|PM|+|PF1|的最大值为5
【解答】解：根据题意可得a＝3，b＝2，c2＝a2﹣b2＝1，
对于A：△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝8，故A正确，
对于B：△PF1F2的最大面积为|F1F2|×b＝bc＝2，故B正确，
对于C：若要存在点P使得0，⊥，
即点P在以F1F2为直径的圆上，且|F1F2|＝2，
所以点P为以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长2r1，
所以不存在点P，故C错误，
对于D：|PM|+|PF1|＝|PM|+2a﹣|PF2|＝6+|PM|﹣|PF2|≤6+|MF2|＝6+1＝7，
所以|PM|+|PF1|最大值为7，故D错误，
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
【解答】解：由函数f（x），作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝﹣2，﹣2＜x1＜﹣1；
当y＝1时，|log2x|＝1，有 ；
所以；
由f（x3）＝f（x4）有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3+log2x4＝0；
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）∈（0，1）；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程是x＝﹣2，则p＝ 4 ．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px的准线方程是x＝﹣2，
所以2，
所以p＝4．
故答案为：4．
14．（5分）已知A（﹣3，0），B（1，0），则以AB为直径的圆的方程为 （x+1）2+y2＝4 ．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴线段AB的中点C（﹣1，0 ），则以AB为直径的圆的半径为AC＝2，
故以AB为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝4，
故答案为：（x+1）2+y2＝4．
15．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣3））＝ 2 ．
【解答】解：由分段函数知，
f（﹣3）＝|﹣3﹣1|＝4，
f（f（﹣3））＝f（4）2，
故答案为：2．
16．（5分）已知点P在圆x2+y2＝2上，已知A（4，0），B（﹣4，0），则的值为 ﹣14 ．
【解答】解：因为P在圆x2+y2＝2上，
所以设P（cosθ，sinθ），
所以（4cosθ，sinθ），（﹣4cosθ，sinθ），
所以（4cosθ）（﹣4cosθ）sinθ（sinθ）＝﹣16+2cos2α+2sin2α＝﹣14．
故答案为：﹣14．
五、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17．（10分）设函数．
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的最大值；
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，a＝4，且b+c＝5，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）根据周期公式得，T＝π，f（x）max＝1；
（2）∵sin（2A），且A为锐角，
∴．
由余弦定理得，，即a2＝（b+c）2﹣3bc，
又a＝4，b+c＝5，解得：bc＝3，
∴．
18．（12分）某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分．现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图得众数为：75，
平均数为：45×0.010×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.030×10+85×0.025×10+95×0.005×10＝71，
[40，70）的频率为（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，
[70，80）的频率为0.030×10＝0.3，
∴中位数为：7073.3．
（2）由频率分布直方图得出在区间[40，50）和[90，100]内的成绩样本数据分别有4个和2个，
从6个样本选2个共有为n（Ω）15个结果，
记事件A＝“调查对象来自不同分组”的结果，
n（A）8，
所以调查对象来自不同分组的概率．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．
（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；
（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦长最短，并求这条最短弦的长．
【解答】解：（1）直线方程可化为y﹣3＝k（x﹣4），则直线过定点P（4，3），
又圆C标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，圆心为C（3，4），半径为r＝2，
而，所以点P在圆内，
所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点．
（2）由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短．
，所以k＝1时弦长最短．
弦长为．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．
（1）求证：AB∥平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由题意BC＝OA，又BC∥OA，
所以BCOA是平行四边形，所以AB∥OC，
又AB⊄平面POC，OC⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（5分）
（2）BC＝OD，BC∥OD，所以BCDO是平行四边形，
所以OB∥DC，OB＝CD，而CD⊥AD，
所以OB⊥AD，以OB，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设平面ABP的一个法向量为，
则，
取x＝1，则y＝﹣1，z＝1，即，，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值，，
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．
（1）若f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求a，b的值；
（2）若f（2）＝5，a，b均正实数，求的最小值；
（3）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值．
【解答】解：（1）由已知可知方程x2+ax+b＝0的两个根为﹣1，2，
由韦达定理得﹣1+2＝﹣a，（﹣1）⋅2＝b，故a＝﹣1，b＝﹣2；
（2）由题意得2a+b＝1，55+29，
当且仅当时取等号，即的最小值为9；
（3）若a＝2，f（x）＝x2+2x+b，
不等式f（x）⋅（x﹣2）≥0恒成立．
①当x＞2时，x﹣2＞0，此时f（x）＝x2+2x+b≥0，
即b≥﹣x2﹣2x对于x＞2恒成立，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1在[2，+∞）单调递减，
当x＝2时，y＝﹣x2﹣2x的最大值为﹣8，
所以b≥﹣8；
②当0＜x＜2时，x﹣2＜0，此时f（x）≤0，即f（x）＝x2+2x+b≤0；
即b≤﹣x2﹣2x对于0＜x＜2恒成立，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1在（0，2）单调递减，此时y＝﹣x2﹣2x＞﹣22﹣2×2＝﹣8，
所以b≤﹣8，
综上所述，b＝﹣8．
22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，﹣2）为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且PF1∥QF2，求四边形F1PQF2面积的最大值．
【解答】解：（1）由题知：A（﹣a，0），B（a，0），
∵，∴a2＝6，
又b2＝4，∴椭圆．
（2）延长QF2交椭圆于N点，连接F1N，F1Q，如下图所示：
∵，
∴设直线，Q（x1，y1），N（x2，y2）．
由，得，∴，，
∴．
∵，∴，
根据对称性得：|PF1|＝|NF2|，且PF1∥NF2，∴，
∴，
∴四边形F1PQF2面积的最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 9:57:07；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
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