2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）设集合U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁UA＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，1} B．{﹣2，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
2．（4分）双曲线y2﹣x2＝1的离心率是（　　）
A． B．1 C． D．2
3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．4
4．（4分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），则y＝f（|x|﹣1）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）若a，b∈R，则“a+|b|＞1”是“|a|+|b|≥1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知，，则tanθ＝（　　）
A．3﹣2 B．3+2 C． D．
8．（4分）已知等比数列{an}前n项和Sn满足Sn＝1﹣A•3n+1（A∈R），数列{bn}是递增的，且bn＝An2+Bn，则实数B的取值范围为（　　）
A． B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．
9．（4分）已知平面向量，，，满足，|对任意实数λ恒成立，，则|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）已知方程1有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），则下列不等式不成立的是（　　）
A．x1•x2＞e2 B．x1+x2＞2e C．x1﹣k＜e D．x2﹣k＞e
二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．）
11．（6分）设复数z满足（1﹣i）z＝1+2i（i是虚数单位），则|z|＝　 　，z的虚部为 　 　．
12．（6分）已知（1+x）+（1+x）2+⋅⋅⋅+（1+x）n＝a0+a1x+⋅⋅⋅+anxn，若a1+a2+⋅⋅⋅+an﹣1＝1021﹣n，则n＝　 　，a7＝　 　．
13．（6分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2＝bc，则A＝　 　；若a＝2，则△ABC面积的最大值为 　 　．
14．（6分）袋中装有质地，大小相同的5个红球，m个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为，则m＝　 　；记取出的红球个数为X，则E（X）＝　 　．
15．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最大值是 　 　．
16．（4分）已知抛物线y2＝4x，过点N（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，2，则线段AB长为 　 　．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，点E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折到△A'BE的位置，在翻折过程中，A'不在平面BCDE内时，记二面角A'﹣DC﹣B的平面角为α，则当α最大时，cosα的值为 　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．（14分）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若α∈[0，π]，f（α），求α的值．
19．（15分）如图，菱形ABCD与正三角形DEF所在平面互相垂直，∠BCD＝60°，E，G分别是线段AB，CF的中点．
（1）求证：BG∥平面DEF；
（2）求直线BC与平面DEG所成角的正弦值．

20．（15分）设正项数列{an}的前n项之和bn＝a1+a2+⋅⋅⋅+an，数列{bn}的前n项之积cn＝b1b2⋅⋅⋅bn，且bn+cn＝1．
（1）求证：为等差数列，并分别求{an}、{bn}的通项公式；
（2）设数列{an•bn+1}的前n项和为Sn，不等式Snλ﹣3对任意正整数n恒成立，求正实数λ的取值范围．
21．（15分）如图，A，B为椭圆1的左、右顶点，直线y＝kx+m交椭圆于C，D两点，直线AC的斜率是直线BD的斜率3倍．
（1）若P为椭圆上异于A，B的一点，证明直线PA和PB的斜率之积为常数；
（2）证明：直线CD过定点．

22．（15分）已知函数|（a，b∈R）．
（1）若a＝1，b＝﹣1，求y＝f（x）的值域；
（2）若b＝0，当x∈[0，4]时，f（x）的最大值为，求a的值；
（3）当x∈[0，4]时，记f（x）最大值为M（a，b），求证：当a2+b2时，3≤M（a，b）≤7．

2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）设集合U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁UA＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，1} B．{﹣2，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【解答】解：∵U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{x|﹣1＜x＜1，x∈U}＝{0}，
∴∁UA＝{﹣2，﹣1，1}．
故选：A．
2．（4分）双曲线y2﹣x2＝1的离心率是（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：双曲线y2﹣x2＝1的离心率：e．
故选：C．
3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（0，2），
由z＝x+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．
故选：D．
4．（4分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为1的圆柱，挖去一个高为的圆锥；
如图所示：

所以．
故选：A．
5．（4分）已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），则y＝f（|x|﹣1）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），则y＝f（|x|﹣1）＝loga（|x|﹣1），
因为y＝f（|x|﹣1）是偶函数，故图象关于y轴对称，则选项A，D错误；
由选项B，C的图象可知，0＜a＜1，
当x＝4时，y＝f（|4|﹣1）＝loga（|4|﹣1）＝loga3＜loga1＝0，
故选项C错误，选项B正确．
故选：B．
6．（4分）若a，b∈R，则“a+|b|＞1”是“|a|+|b|≥1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若a+|b|＞1时，∵|a|≥a，∴|a|+|b|≥1，∴充分性成立，
②当a＝﹣3，b＝2时，满足|a|+|b|≥1，但a+|b|＝﹣1，∴必要性不成立，
∴a+|b|＞1是|a|+|b|≥1的充分不必要条件，
故选：A．
7．（4分）已知，，则tanθ＝（　　）
A．3﹣2 B．3+2 C． D．
【解答】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，解得tanθ．
故选：B．
8．（4分）已知等比数列{an}前n项和Sn满足Sn＝1﹣A•3n+1（A∈R），数列{bn}是递增的，且bn＝An2+Bn，则实数B的取值范围为（　　）
A． B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．
【解答】解：根据题意，a1＝S1＝1﹣9A；a2＝S2﹣S1＝（1﹣27A）﹣（1﹣9A）＝﹣18A；a3＝S3﹣S2＝（1﹣81A）﹣（1﹣27A）＝﹣54A，
由{an}是等比数列，得a22＝a1•a3，即（﹣18A）2＝﹣54A（1﹣9A），整理得3A2﹣A＝0．解得A或A＝0（舍去），
所以bnn2+Bn，由于n∈N+，数列{bn}是递增数列，所以bn+1﹣bn（n+1）2+B（n+1）n2﹣Bn＞0，
故Bn，由于n∈N+，所以B＞﹣1．
所以实数B的取值范围为（﹣1，+∞）．
故选：C．
9．（4分）已知平面向量，，，满足，|对任意实数λ恒成立，，则|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，|对任意实数λ恒成立，
所以（）2≥（）对任意实数λ恒成立，
∴λ22λ．
设，
整理可得tλ2+4λ+20．对任意实数λ恒成立．
∴0，
∴t2﹣8t+16≤0，
∴t＝4．即||＝2．cos，，
如图，设（2，0），（1，），（x，y）
∵，则（2﹣x，﹣y）•（1﹣2x，2y）＝1．
整理可得（x）2+（y）2．
||等价于圆：（x）2+（y）2上的点到点（1，）的距离，
所以||的最大值等于．
故选：D．

10．（4分）已知方程1有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），则下列不等式不成立的是（　　）
A．x1•x2＞e2 B．x1+x2＞2e C．x1﹣k＜e D．x2﹣k＞e
【解答】解：方程1有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），
所以lnx+2kx＝0在（0，+∞）上有两个根，
即﹣2k在（0，+∞）上有两个根，
令y＝﹣2k，g（x）（x＞0），
则y＝﹣2k与g（x）（x＞0）有两个交点，
g′（x），
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）≤g（e），又g（1）＝0，

所以0＜a，1＜x1＜e，x2＞e，
对于A，令，则x2＝tx1，
所以，
所以，
则，下面证明lnx1+lnx2＞2，
即证，即证，即证，
令，
所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，
所以，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于 C，D，设，则，
令p（x）＝2x2+1﹣lnx，则，
当x＞1时，p′（x）＞0，p（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以p（x）＞p（1）＝3＞0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
因为1＜x1＜e＜x2，所以h（x1）＜h（e）＜h（x2），即，
所以，故C正确；
所以，故不一定成立，故D错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．）
11．（6分）设复数z满足（1﹣i）z＝1+2i（i是虚数单位），则|z|＝　　，z的虚部为 　　．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝1+2i，
∴，
∴，z的虚部为．
故答案为：，．
12．（6分）已知（1+x）+（1+x）2+⋅⋅⋅+（1+x）n＝a0+a1x+⋅⋅⋅+anxn，若a1+a2+⋅⋅⋅+an﹣1＝1021﹣n，则n＝　9　，a7＝　45　．
【解答】解：在等式（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n＝a0+a1x+…+anxn 中，令x＝0，可得a0＝n，而an＝1．
再令x＝1，可得a0+a1+a2+…+an﹣1+an＝2+22+23+…+2n2n+1﹣2，
所以a1+a2+…+an﹣1＝1021﹣n＝2n+1﹣2﹣n﹣1，即2n＝512，
所以n＝9，
所以a745．
故答案为：9；45．
13．（6分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2＝bc，则A＝　　；若a＝2，则△ABC面积的最大值为 　　．
【解答】解：∵b2+c2﹣a2＝bc，
又∵由余弦定理，可得b2+c2﹣a2＝2bc•cosA，
∴cosA，
∵A为三角形的内角，
∴，
∵a＝2，
∴b2+c2＝4+bc≥2bc，
∴bc≤4，
当bc取得最大值4时，△ABC的面积最大，即．
故答案为：，．
14．（6分）袋中装有质地，大小相同的5个红球，m个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为，则m＝　3　；记取出的红球个数为X，则E（X）＝　　．
【解答】解：由题意可知，，即，
所以m2+9m﹣36＝0，解得m＝3或m＝﹣12（舍），
故袋中装有大小相同的5个红球，3个白球，
记取出的红球个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，
所以P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



故ξ的数学期望E（X）＝012．
故答案为：3；．
15．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最大值是 　　．
【解答】解：由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1且b＝1﹣a，
则，
∵a∈（0，1），∴3a2﹣4a+2＝3（a）2∈[，2），
∴的最大值．
故答案为：．
16．（4分）已知抛物线y2＝4x，过点N（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，2，则线段AB长为 　3　．
【解答】解：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，
联立，整理可得：y2﹣4my﹣8＝0，
y1+y2＝4m①，y1y2＝﹣8②，
因为2，则由相似三角形可得2③，
由①②③可得：y2＝﹣4m，y22＝4，
所以可得m2，
所以弦长|AB|••3，
故答案为：3．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，点E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折到△A'BE的位置，在翻折过程中，A'不在平面BCDE内时，记二面角A'﹣DC﹣B的平面角为α，则当α最大时，cosα的值为 　　．

【解答】解：取BC中点F，由已知可得AF⊥BE，故在翻折过程中A′的射影H在AF上，且A′的轨迹是以AF为直径的圆，
在矩形ABCD内作HG⊥CD，垂足为G，连接A′G，则∠A′GH是二面角A'﹣DC﹣B的平面角，即α＝∠A′GH，，
又由AF⊥BE，故A′F⊥BE，则∠A′OF为二面角A′﹣BE﹣C的平面角，设∠A′OF＝θ，
由于上下对称，故只考虑θ∈（0，π）即可，
由AB＝a，可得，，
故，
令，易得，
由正切函数的单调性可知，当α最大时，，此时．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．（14分）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若α∈[0，π]，f（α），求α的值．
【解答】解：




（1）单调递减区间为，k∈Z；
（2）由f（α），得sin，
∴，或，k∈Z
∵α∈[0，π]，∴．
19．（15分）如图，菱形ABCD与正三角形DEF所在平面互相垂直，∠BCD＝60°，E，G分别是线段AB，CF的中点．
（1）求证：BG∥平面DEF；
（2）求直线BC与平面DEG所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：取线段DF中点H，连HG，HE，
由已知得HG∥EB且HG＝EB，所以四边形GBEH是平行四边形，
所以GB∥HE，而HE⊂平面DEF，于是BG∥平面DEF．
（2）由已知可得DE⊥DC，过D作平面ABCD的垂线为z轴，分别以DE，DC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，
如图，又设菱形边长为2，则，正三角形DEF高为，
由已知平面ABCD⊥平面DEF，得，，，C（0，2，0），，D（0，0，0），
则，，，
设平面DEG的法向量为，
则，解得，
取，
设直线BC与平面DEG所成角为θ，则sinθ，

20．（15分）设正项数列{an}的前n项之和bn＝a1+a2+⋅⋅⋅+an，数列{bn}的前n项之积cn＝b1b2⋅⋅⋅bn，且bn+cn＝1．
（1）求证：为等差数列，并分别求{an}、{bn}的通项公式；
（2）设数列{an•bn+1}的前n项和为Sn，不等式Snλ﹣3对任意正整数n恒成立，求正实数λ的取值范围．
【解答】证明：（1）由题意知：当n≥2时，，代入bn+cn＝1得：，
所以
由得：，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，
当n≥2时，
当n＝1时，也符号上式，
所以
解：（2）由（1）得：
所以
显然{Sn}单调递增，所以
由题意得：，即，
又λ＞0，所以λ的取值范围为．
21．（15分）如图，A，B为椭圆1的左、右顶点，直线y＝kx+m交椭圆于C，D两点，直线AC的斜率是直线BD的斜率3倍．
（1）若P为椭圆上异于A，B的一点，证明直线PA和PB的斜率之积为常数；
（2）证明：直线CD过定点．

【解答】解：（1）证明：设P点的坐标（x0，y0），则，
所以，
所以kPA•kPB•．
（2）证明：设C点坐标（x1，y1），设D点坐标（x2，y2），
由（1）可得，
又kAC＝3kBD，
所以
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
所以，，
，
所以
，
整理得2k2﹣3km+m2＝0，
所以（k﹣m）（2k﹣m）＝0，
所以m＝2k或m＝k，
当m＝2k时，直线y＝kx+m＝kx+2k，直线过定点（﹣2，0）（舍），
当m＝k时，直线y＝kx+m＝kx+k，直线过定点（﹣1，0）．
22．（15分）已知函数|（a，b∈R）．
（1）若a＝1，b＝﹣1，求y＝f（x）的值域；
（2）若b＝0，当x∈[0，4]时，f（x）的最大值为，求a的值；
（3）当x∈[0，4]时，记f（x）最大值为M（a，b），求证：当a2+b2时，3≤M（a，b）≤7．
【解答】解：（1）若a＝1，b＝﹣1，，
当0≤x≤1，，此时，此时；
当x＞1时，，此时；
综上，．
（2）若b＝0，，x∈[0，4]单调递增，
则f（x）的最大值为，无解，舍；
当a≤﹣4，，则，得，舍；
当﹣4＜a＜0，，
故f（x）的最大值为得．
综上，．
（3）证明：，
此时．
又因为，，得出|a±b|≤1，
所以M（a，b）＝f（x）max＝|a+b+6|，﹣1≤a+b≤1，5≤|a+b+6|≤7，
所以3≤M（a，b）≤7．
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