19数列（解析版）练习题

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数列专练1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－3Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.【答案】　(1)当n≥2时，由an＝2－3Sn      ①，得an－1＝2－3Sn－1      ②，①－②即得4an＝an－1，而当n＝1时，a1＝2－3a1，故a1＝.因而数列{an}是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为an＝·()n－1＝()2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝log2an＝1－2n(n∈N*)．数列{an＋bn}的前n项和Tn＝a1＋b1＋a2＋b2＋…＋an＋bn＝(a1＋…＋an)＋(b1＋…＋bn)＝＋＝－n2－×()n，(n∈N*)．2.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.【答案】　(1)因为2Sn＝(n＋1)an，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1，所以当n≥2时，＝，所以＝.因为a1＝2，所以an＝2n.(2)因为an＝2n，令bn＝，n∈N*，所以bn＝＝＝－.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.因为>0，所以1－<1.因为f(n)＝在n∈N*上是递减函数，所以1－在n∈N*上是递增的，所以当n＝1时，Tn取最小值.所以≤Tn<1.3．已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)，且λan>2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】　(1)因为an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5，所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，所以{an}是首项为a1＝1，公差为6的等差数列．所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2(n∈N*)，由λan>2n＋n＋2λ得λ>＝＋，所以当n＝1，2时，取最大值，故λ的取值范围为(，＋∞)．4．已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．【答案】　(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因为q≠1，所以a2＝a3.由a3＝qa1，得q＝2.当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝(2)由(1)得bn＝＝，n∈N*.设数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，上述两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－－，整理，得Sn＝4－，n∈N*.5．已知数列{an}的前n项的和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.(1)证明：数列{}是等比数列；(2)求通项公式an与前n项的和Sn；(3)设bn＝n(2－Sn)，n∈N*，若集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．【答案】　(1)因为a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0.又因为＝，∶＝(n∈N*)为常数，所以{}是以为首项，为公比的等比数列．(2)由{}是以为首项，为公比的等比数列，得＝×()n－1＝()n.所以an＝n×()n.由错位相减法得Sn＝2－()n－1－n()n.(3)因为bn＝n(2－Sn)(n∈N*)，所以bn＝n()n－1＋n2()n.因为bn＋1－bn＝(3－n2)()n＋1，所以b2>b1，b2>b3>b4>….因为集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，且b1＝b4＝，b2＝2，b3＝，b5＝，所以<λ≤.